场与物质相互作用的量子理论改课件

1、1第10章 场与物质相互作用的量子理论10.1 量子力学的三种图像10.2 辐射场与原子的相互作用10.3 原子发射和吸收的跃迁几率10.5 激光器的库理论10. 6 激光的光子统计2022/7/3110.1 量子力学的三种图象 量子力学对微观系统状态及其运动规律存在三种等价的描述方式，称之为图像(picture)，或表象，或绘景，它们是：1Schrdinger图像2Heisenberg图像3相互作用(Interaction)图像2022/7/3123如果把力学量平均值和概率分布随时间的演化，全都归之为态矢随时间的演化，而力学量算符不随时间演化，这种描述方式就是Schrdinger图像；反之，

2、全都归之为力学量算符随时间的演化而态矢保持不变，得到Heisenberg图像；部分归之为态矢变化，部分归之为算符变化，则是相互作用图像。2022/7/31410.1.1 Schrdinger图像在该图像中，体系的状态矢量|(t)是随时间t演化的，其演化的方式遵守Schrdinger方程而力学量算符 不随时间演化： 。力学量平均值随时间的演化由态矢来承载：10-1-210-1-12022/7/315令其中算符 把t0时刻的态|(t0)变换成t1时刻的态|(t1) ，称为时间演化算符，它代表一个连续变换（t0和t1任意），把态矢随时间变化而变化用一个变换算符的作用来体现。（10-1-3）式代入（1

3、0-1-2）式得到10-1-7哈密顿算符不显含时间t时，可以得到：10-1-810-1-32022/7/31610.1.2 Heisenberg图像Schrdinger图像和Heisenberg图像下的态矢和力学量算符分别带有上标S和H。在Heisenberg图像中，力学量平均值随时间的演化，完全归之于力学量算符随时间的演化，而态矢保持不变。对于力学量平均值，有10-1-112022/7/317其中分别是Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。不显含时间的哈密顿算符算符，在两种图像下是相等的，这是因为哈密顿算符与时间演化算符是对易的。10-1-910-1-142022/7/318假设力学

4、量算符不显含t，即利用(10-1-9)式，有有利用(10-1-8)式，即10-1-122022/7/319总之，在Heisenberg图像中，态矢不随时间演化，而力学量算符是随时间演化的，其演化的方式遵守Heisenberg方程。于是，我们得到在Heisenberg图像下，力学量算符随时间演化的Heisenberg方程。10-1-122022/7/3110当一个量子系统的哈密顿算符算符可以分解成两部分：10.1.3 相互作用图像其主要部分 不含时间（通常是自由部分），而微扰部分 只对系统产生较小的影响（通常是相互作用部分），这时就可以采用相互作用图像。相互作用图像下的态矢和算符（带上标I），可

5、由Schrdinger图像下的态矢和算符作如下幺正变换得到：2022/7/3111其中的幺正变换算符 是由哈密顿算符的主要部分来定义的时间演化算符，它同样满足前面给出的演化算符的一切性质。由(10-1015)式中的第一式有10-1-1510-1-1610-1-192022/7/3112如果哈密顿算符的主要部分和微扰部分对易，即有则相互作用图像下的态矢又可以表达为2022/7/3113利用(10-1-15)上式式以及Schrdinger方程不难验证，在相互作用图像下，态矢和算符分别满足以下方程（算符不显含时间）：由定义(10-1-15) ，相互作用图像下哈密顿算符的微扰项与自由项分别为2022/

6、7/3114因此，在相互作用图像下，态矢和算符都随时间演化，其中态矢的演化遵从Schrdinger方程，且由哈密顿算符算符中的相互作用项（微扰项）推动；算符的演化遵从Heisenberg方程，且由哈密顿算符算符中的自由项推动10-1-2010-1-212022/7/3115以上三种图像是对同一物理内容的不同描述方式，在物理本质上是相互等价的。例如，在三种图像中，算符之间的对易关系不会变，算符的平均值不会变，态矢之间的内积不会变，测不准关系不会变，等等。如果对未微扰系统（ ）已经有充分了解，加上微扰 之后，取相互作用图像是合适的，此时算符的运动方程由未微扰系统的Heisenberg方程来描述，它

7、的解是熟悉的、已知的，而态矢量的运动方程只含一个影响较小的微扰算符，便于近似求解。2022/7/311610.2 辐射场与原子的相互作用10.2.1 Schrdinger图像下的哈密顿算符EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统考虑由光场和原子共同组成的系统，其中原子是二能级的，上下能级本征态分别是|a和|b，分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b 。2022/7/3117上下能级的本征态矢量|a和|b满足正交归一和完备性关系，例如= =1, = =0。在以|a和|b作为基矢量的表象下， |a=1|a+0 |b，|b= 0|a+1 |b。将一个矢量用基矢量展开时，展开系数即是

8、该矢量的坐标，由坐标构成的列矩阵，就是矢量的矩阵表示。 因此|a和|b在其自身表象下的矩阵表示为10-2-12022/7/3118上升算符和下降算符定义上升算符 和下降算符 如下：10-2-410-2-32022/7/3119即上升算符 把下能级本征态|b变为上能级本征态|a ，下降算符 则把上能级本征态|a变为下能级本征态|b 。显然上升算符和下降算符互为复共轭转置，即互为厄米共轭。利用 和态矢的正交归一性，易证10-2-52022/7/3120在原子的量子力学状态|=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值与原子的密度矩阵元对应(书上pp. 106-107)：10-2-62022/

9、7/312. 系统的Hamiltonian算符由单模光场和二能级原子组成的系统，其总的Hamiltonian算符包括自由光场的贡献(带下标f)、纯原子的贡献(带下标a)，以及光场与原子之间的相互作用的贡献(带下标af，相互作用采用电偶极矩近似)，即有假设单模光场的频率为，二能级原子上下能级本征态分别是|a和|b，分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b，则有10-2-72022/7/312122其中原子的Hamiltonian算符在它自身的表象下，还可以表达为10-2-910-2-810-2-102022/7/3123显然有以下本征方程考虑到原子的固有电偶极矩(平均)为零，即故光场与原子之间相互作

10、用项 对应的矩阵为2022/7/3124即其中定义光场与原子之间的耦合系数g为2022/7/3125于是10-2-142022/7/3126于是相互作用项又可以表达成考虑到上升算符和下降算符满足即10-2-152022/7/3127在上面相互作用包含的四项中 表示原子从上能级跃迁到下能级，同时吸收光场的一个光子； 表示原子从下能级跃迁到上能级，同时吸收光场的一个光子； 表示原子从上能级跃迁到下能级，同时光场增加一个光子； 表示原子从下能级跃迁到上能级，同时光场增加一个光子。2022/7/3128我们考虑的是由光场和原子构成的孤立系统，无外界作用，为了满足能量守恒，相互作用项只能取为：综上所述，

11、在全量子化理论下，由光场和原子构成的系统的总能量算符为10-2-1710-2-182022/7/312910.2.2 相互作用图像下的相互作用能在上面得到的由光场和原子构成的系统的总哈密顿算符中，前两项对应系统的自由项（定态哈密顿算符），第三项对应相互作用项（微扰项），即有10-2-192022/7/3130因此，采用相互作用图象时，变换算符为相互作用图象下的态矢和算符可由(10-1-15)式得到10-2-2010-1-152022/7/3131我们考虑的系统其状态由光场状态和原子状态共同决定（光场状态用单模光子数态|n描述，原子状态用上下能级本征态|a和|b描述）。态矢对应概率振幅，根据同时

12、发生事件的概率相乘原理，可以用|a, n |a|n表示原子处于上能级而光场光子数为n的本征态，而用|b, n+1 |b|n+1表示原子处于下能级而光场光子数为(n+1)的本征态，显然2022/7/3132其中展开系数Ca, n (t)和Cb, n+1(t)假定为时间的缓变函数。相互作用图像下的相互作用能为在相互作用图像下，利用系统定态哈密顿算符 的两个本征态|a, n和|b, n+1，可把系统的一般态矢表示为10-2-2110-1-1510-2-172022/7/3133把(10-2-20)式代入(10-2-17)式，可得其中，0为二能级原子的共振跃迁频率：10-2-2910-2-272022

13、/7/313410.3 原子发射和吸收的跃迁几率EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统0=(Ea-Eb)/= a-b|n|n+12022/7/3135对于由单模辐射场与一个二能级原子构成的相互作用系统，在相互作用图像下，系统态矢的表达式(10-2-21)和系统Hamiltonian算符中的相互作用项表达式(10-2-29) ，即有（假定光场的初始光子数为n或者(n+1)）10.3.1 系统状态随时间演化的方程(10-2-21)(10-2-29)(10-2-27)2022/7/3136在相互作用图像下，有以下方程将(10-2-21)、(10-2-29)和(10-2-27)式

14、代入上式，再利用定态能量算符本征态的正交归一关系，可以求得(10.3.5)和(10.3.6)）。10-3-110-3-510-3-6就是系统处于态|a, n和|b, n+1 的几率振幅随时间变化的方程。2022/7/31371. 受激吸收几率假定系统在初始t=0时刻处在|b, n+1 的状态即初始时刻系统中的原子处于下能级而光场有(n+1)个光子。在t0时刻，由于光场与原子之间的相互作用，原子有一定的几率跃迁到上能级而光场相应减少一个光子，即代表该过程的几率振幅Ca, n (t)0 for t0.2022/7/3138为了具体地求出t0时的几率振幅Ca, n (t)，对 (10-3-5)式积分

15、，取一阶微扰近似，有系统从|b, n+1 态跃迁到|a, n态的几率为10-3-8系统受激吸收的几率正比于光场的初始光子数( n+1)，因此若初始光子数为零，原子就不会从下能级跃迁到上能级共振吸收时，=0，几率最大。2022/7/31392. 受激发射几率和自发发射几率假定系统在初始t=0时刻处在|a, n 的状态，即原子处于上能级而光场有n个光子的状态同理，对 (10-3-6)式积分，且取一阶微扰近似，有2022/7/3140系统从|a, n 态跃迁到|b, n+1态的几率为由于初始光场的光子数为n，故上式右端可分为跟初始光场中n个光子相关的部分和跟n个光子无关的部分，即10-3-910-3

16、-1010-3-112022/7/3141(10-3-10)中初始光场的光子数n成正比，是n个光子诱发的受激发射(stimulated emission)几率，n=0时该几率为0；(10-3-11)跟初始光场的光子数无关，即使初始光场处于光子数为0的真空态，该项仍然存在，故属于自发发射 (spontaneous emission)几率。10-3-1110-3-102022/7/3142初始光场的光子数相同的情况下，同一系统的受激发射几率与受激吸收几率相同，都是正比于初始光场的光子数自发发射几率等于一个光子引发的受激发射几率。自发发射在全量子理论中完全是自然出现的，这是因为量子场存在真空起伏，从

17、而存在零点能，零点能对处于上能级的原子产生干扰，使其产生向下能级的跃迁，这个过程中能量守恒（反之不存在“自发吸收”过程，因为违背能量守恒）。而经典电磁场不存在零点能，不能自然地解释自发发射共振发射时，=0，所有跃迁过程几率最大。2022/7/31433. 自发发射(10-3-11)式表达的是一个模式上的自发发射几率。所有模式（频率）上总的自发发射几率，等于对各个模式上的自发发射几率求和（频率连续分布时，对应连续求和，即积分）。体积V内从频率(+d)之间的光频范围内的模式数为（已考虑到两种偏振状态）10-3-122022/7/3144所有模式上总的自发发射几率为10-3-132022/7/314

18、5令x=(-0)t/2，考虑到被积函数中(sinx/x)2是一个在x=0 (即=0)附近的尖峰函数，且被积函数在0的区域上积分贡献近似为零，因此对被积函数中的2项取近共振近似=0并提出积分号之外。考虑到上式第三个等号右端积分的下限通常满足-0t/2|a增益损耗线性损耗，近似到二级微扰激光器的全量子理论模型2022/7/315960假设原子与辐射场在t=t0时刻开始发生耦合，由原子和辐射场构成的系统的密度算符，满足Schrdinger图像下的运动方程：10.5.1 场与物质密度算符的运动方程其中在Schrdinger图像下，原子与辐射场构成的系统其总Hamiltonian算符满足(10-2-7,

19、17,18)式，即10-5-22022/7/3161将Schrdinger图像下的密度算符方程变换到相互作用图象下的密度算符方程，有其中相互作用图像下的相互作用能量算符由(10-2-29)给出，即为其中是光场频率，0=a-b是原子的中心频率，a和b对应原子的上下能级能量。10-5-32022/7/3162对(10-5-3)式两边从初始时刻t=t0开始进行关于时间的积分，便得到以下递推关系例如，把上式的第二式代入第一式右边，得10-5-52022/7/3163这个过程可以重复进行下去，得到这称作“微扰级数展开”，因为只有相互作用能足够小，相当于在系统上附加的一个“微扰”时，展开的无穷级数才收敛。

20、此种求解方法只适用于微扰情形，故被称为“微扰方法”。2022/7/3164利用密度算符，可以把力学量算符的平均值表达如下（其中tr代表求迹运算）10.5.2 辐射场的约化密度矩阵考虑原子辐射场总系统的密度算符，设场的能量本征态为|fn，原子的能量本征态为|am，则体系总能量本征态为这两个态矢的并矢式：|am, fn|am|fn。以|am, fn 为基矢组，则一个只与场相关的算符平均值为10-5-62022/7/3165其中注意到与场相关的算符只作用于场的本征态，因而可以与原子的本征态互换位置。定义总系统的约化密度算符为10-5-710-5-810-5-92022/7/3166因此，当只计算与场

21、相关的算符平均值时，可以先把总密度算符对原子变量求迹，得到仅与场相关的约化密度算符，使得计算简化（形式上跟只有场存在时的计算是一样的）。若光场和原子两个系统独立，则总系统的密度算符，等于两个系统各自的密度算符之积：此时上述约化密度算符，就等于光场的密度算符。10-5-12022/7/31下面只考虑共振场情形（即=0=a-b）。前面已经表明，在二能级原子的能量本征态|a、|b下，利用上升和下降算符，可把相互作用能表达为（共振时它在相互作用图像下和在Schrdinger图像下的表达式是一样的，下面符号表达上已经去掉上标I）10.5.3 总密度算符的求解10-5-102022/7/316768原子的

22、一般状态|用它的能量本征态|a和|b展开为原子的密度算符为2022/7/3169增益原子初始时刻处于上能级，即有|(t0) =|a，因此初始时刻的密度算符为于是初始时刻场与原子整体系统的密度算符为10-5-1110-5-122022/7/3170于是把(10-5-10)和(10-5-12)式代入(10-5-5)式，可以求出各级近似。首先一级近似为10-5-132022/7/3171再把求得的上式继续代入(10-5-5)式，可以求出二级近似同理，可以给出三级和四级近似，见书上p.196，方程(10.5.15)和(10.5.16)。可看出偶次近似的非对角元为零，奇次近似的对角元为零。以上都是在原子

23、能量本征态下的矩阵表示。10-5-142022/7/3172实例：对于初始时刻t0泵浦到上能级|a的激活原子,假定它的寿命为，即平均来说大约经过时间之后，原子跃迁到下能级|b，并发射一个光子到辐射场中，使得原来的辐射场获得了增益。由于辐射场的密度算符（对应原子辐射场总系统的约化密度算符）描述了光子数占有概率，因此在时间内该密度算符的变化反映了辐射场的增益贡献。从t=t0到t=t0+时刻，增益使得辐射场密度算符的增量2022/7/3173其中对原子辐射场系统的总密度算符，计算近似到四级（考虑增益饱和非线性），即取于是把上式代入(10-5-17)式，得2022/7/3174最后一式中的 （ t=t

24、0+ ）由书上p.196方程(10.5.16)给出。把书上p.196方程(10.5.13)(10.5.16)代入上式，可得从t=t0到t=t0+时刻，增益使得辐射场密度算符的增量为10-5-1710-5-182022/7/3175反之，对于库中的损耗原子，它们在初始时刻t0处于下能级|b，即初始时刻原子辐射场系统的总密度算符为考虑损耗原子很多时的非饱和吸收，计算中只取二级线性近似，同理，从t= t0到t= t0 +时刻，损耗原子使得辐射场的密度算符（总系统的约化密度算符）变化为10-5-1910-5-2010-5-212022/7/3176(10-5-17，18)和(10-5-20，21)两式

25、分别代表了一个增益原子和一个损耗原子所带来的对辐射场的密度算符（即原子辐射场总系统的约化密度算符）的贡献10-5-1710-5-1810-5-2010-5-212022/7/317710.5.4 相互作用图像下约化密度算符的运动方程现在研究存在大量增益原子和损耗原子的情形下该密度算符的运动方程。假设a和b分别代表单位时间内注入到相互作用区域中的增益原子和损耗原子数量。由于大量原子的平均作用，可以认为在t0t0+这段时间间隔内，场的变化是很小的，从而取近似10-5-22，232022/7/3178令f表示辐射场开始出现明显变化的时间，则在时间间隔tf内，原子辐射场系统的约化密度算符（纯辐射场的密

26、度算符）的平均变化率，等于增益原子与损耗原子的贡献之和将(10-5-17，18)和(10-5-20，21)式代入上式右边，并且利用(10-5-22)式的近似，可得10-5-242022/7/3179讨论：以上计算是基于(1-05-22)式的“粗粒化近似”，即假定在时间间隔t内辐射场基本不变化，而辐射场随时间变化的微分，对应它在时间间隔t表示单模辐射场的态矢，|n (n=0,1,2)表示辐射场的粒子数本征态，辐射场的密度算符（原子辐射场系统的约化密度算符）及其在粒子数表象下的矩阵表示为（为方便计，把下标f去掉）显然nn代表光场有n个光子的概率10-5-272022/7/3181密度矩阵元随时间的

27、变化为把(10-5-25)式代入上式右边，并且利用(10-5-17，18)和(10-5-20，21)，以及10-5-282022/7/3182得到场的密度矩阵元的运动方程(10-5-30)2022/7/3183对角元nn代表辐射场中有n个光子的概率，对上面(10-5-30)式令m=n，得到对角元nn随时间的变化为以上给出的是微扰近似解。严格的解析解，即非微扰的强信号解，前人也已经给出，即(10-5-31)2022/7/3184当nB/A1时，对(10-5-32)式取近似则(10-5-32)式变成(10-5-31)式。在下一节中我们将知道，条件nB/A上的几率变化，它可以重新表达为或(10-5-

28、34)2022/7/3186由于nn代表场处于态|n上的几率，(10-5-34)式右边的正数项，让场处于态|n的几率增加，表示光场由其他态向态|n跃迁的过程；负数项让场处于态|n的几率减小，表示光场由态|n向其他态跃迁的过程 。a和b分别代表单位时间内注入的增益原子和损耗原子数量，由(10-5-26)式知A, Ba, Cb，故含系数A、B的项跟增益原子数成正比，含系数C的项与损耗原子数成正比。有了这些准备，我们来分析(10-5-34)或(5.23)式右边各项的物理意义。2022/7/31872022/7/3188系数A跟单位时间内注入的增益原子数a成正比，(10-5-34)式第1项和第4项表示

29、在场的作用下，增益原子对场的线性增益作用，其中第1项表示处于态|n-1的光场，由于增益原子受激发射而跃迁到态|n，使得场处于态|n的几率nn增加(故第1项为正)，此贡献与场处于初态|n-1的几率n-1,n-1成正比，这是因为增益原子受激发射几率与外场光子数成正比；(10-5-34)2022/7/3189第4项表示处于态|n的光场，由于增益原子受激发射而跃迁到态|n+1，使得场处于初态|n的几率nn减小(故第4项为负)，此贡献与场处于初态|n的几率nn成正比，这是因为原子受激发射几率与外场光子数成正比。n=0时，第4项不等于零，表示处于真空态|0的场，由于增益原子自发发射而跃迁到态|1，因此系数

30、A是与自发发射有关的量。(10-5-34)2022/7/3190系数B跟A一样，与增益原子数a成正比，但是跟含A的线性增益项相反， (10-5-34)式中含系数B的项是非线性损耗项（跟粒子数平方成正比），这是由原子增益饱和造成的非线性效应。接近增益饱和时，原来处于上能级的增益原子，纷纷跃迁为处于下能级的损耗原子，所以非线性损耗与初始的增益原子数成正比。故系数B反映原子的增益饱和性质。(10-5-34)2022/7/3191系数C跟单位时间内注入的损耗原子数b成正比，(10-5-34)式第3项和第6项表示在场的作用下，损耗原子对场的线性损耗作用，其中第3项表示处于态|n+1的光场，由于损耗原子受

31、激吸收而跃迁到态|n，使得场处于态|n的几率nn增加(故第3项为正)，此贡献与场处于初态|n+1的几率n+1,n+1成正比，这是因为损耗原子受激吸收几率与外场光子数成正比；(10-5-34)2022/7/3192第6项表示处于态|n的光场，由于损耗原子受激吸收而跃迁到态|n-1，使得场处于态|n的几率nn减小(故第6项为负)，此贡献与场处于初态|n的几率nn成正比，这是因为损耗原子受激吸收几率与外场光子数成正比。n=0时第6项为0，即处于真空态|0的光场，其零点能不足以引起损耗原子的“自发吸收”。(10-5-34)2022/7/3193辐射场的平均光子数及其随时间的变化为把(10-5-34)式

32、代入(10-5-36)式右端，并利用(10-5-35)式，可得(10-5-35)(10-5-36)(10-5-37)2022/7/3194在激光器中，当泵浦速率超过阈值时，腔内光子数急剧增加，使得远大于，于是上式可简化为由于光强In与平均光子数成正比，上式可与半经典理论中得到的单模场运动方程相比较(10-5-38)(10-5-39)2022/7/3195即有可见，(A-C)与线性净时间增益系数n对应，B与自饱和系数n对应，同时平均光子数运动方程比单模场运动方程多出一项正常数项A，使得=0时，腔内光子数仍然可以随时间增加而增加，即腔内辐射场可以从光子数为零的场建立起来，这是自发发射导致的，故常数

33、A与自发发射相关。因此全量子理论能够揭示激光器的自激振荡性质。2022/7/319610.6 激光的光子统计本节将讨论激光场在阈值以下和阈值以上时的光子统计规律，揭示激光振荡时辐射场从热辐射场演变为相干辐射场的过程与性质型2022/7/3197在稳态振荡的条件下，nn保持不变：dnn/dt=0(光场的平均光子数保持不变)，此时场在态|n-1和|n之间以及在态|n+1和|n之间的跃迁，分别处于动态平衡状态，从而有(10-6-1)两个方程其实对应同一个方程，它们都是反映光场在两个相邻能态之间的几率流量为0。从中得到以下递推关系从而有(10-6-2)2022/7/3198利用归一化条件(10-6-3

34、)2022/7/3199有激光光场在稳定状态下，处于各个光子数态|n的几率不再随时间变化， (10-6-3)式即为描述此时的激光光场的光子分布的。但要注意，这里只是近似到四级微扰下的解(10-6-4)(10-6-3)2022/7/31100激光振荡在阈以下时，单位时间内注入的增益原子少于损耗原子，即ab，此时远未达到饱和状态，故系数B=0，且有10.6.1 激光振荡在阈值以下的情况此时(10-6-3)式变为由于A/C1，n=0时的几率00最大，而n时， nn， nn 随n的变化曲线由图(10-3)中的实线表示(10-6-5)(10-6-6)2022/7/31101图(10-3) nn随n的变化曲线图实线：阈值以下；点划线：阈值；虚线：阈值以上nnn2022/7/31102此时(10-6-4)式变为于是(10-6-6)式变为上