新高考数学二轮专题《导数》第18讲 导数解答题之多元变量消元思想（解析版）

1、第18讲 导数解答题之多元变量消元思想1已知函数（）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（）若在定义域上有两个极值点，证明：【解析】解：（），令则，对称轴当时，故在单调递减当时，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当，时，当，时，这时不是单调函数综上，的取值范围是（）由（）知，当，有极小值点和极大值，且，令，则当时，（a）在单调递减，所以，故2已知函数（1）若，求的图象在，（1）处的切线方程；（2）若在定义域上是单调函数，求的取值范围；（3）若存在两个极值点，求证：【解析】解：（1），函数，可得，（1），切线方程为；（2）依题意有或在上恒成立，即或在上恒成立，显然不可能恒成立，解得；（3）

2、由，得，即，是的两根，由已知，3设函数（1）若在定义域上为单调函数，求的取值范围；（2）设，为函数的两个极值点，求的最小值【解析】解：（1）设，即时，恒成立，在上为减函数；，即时，在上有两相异实根，在上不是单调函数，不合题意，综上，；（2）由（1）知，为的两根，设（a），则（a），（a）在，上单调递减，在上单调递增，（a）（4），的最小值为4已知函数为常数）（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围【解析】解：（1），设，是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，在定义域上恒成立，即在上恒成立又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，或，解得：

3、实数的取值范围为，；（2）由（1）知的两个极值点，满足，所以，不妨设，则在，上是减函数，令，则，又，即，解得，设，则，在，上单调递增，（2），（4），即，所以的取值范围为，5已知函数，（）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（）若函数存在两个极值点，且证明：【解析】解：（）函数的定义域为，求导：，令，则，当时，即，则恒成立，则在上单调减函数，当时，即，则的两个根为，当时，函数单调递减，当，函数单调递增，不符合题意，综上可知：函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围，；（）证明：由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，由，则，且，则，同理可得：，则，令

4、，求导，由，则，则，则在，上单调递增，则，则，成立6已知函数（1）若曲线在点， （2）处的切线与直线平行，求实数的值（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围（3）设、，且，求证：【解析】（1）解：，（2分） 在点， （2）处的切线与直线平行，（4分）（2）证：由得： 在定义域上是增函数，在上恒成立，即恒成立（6分）当且仅当时，等号成立，即的取值范围是，（8分）（3）证：不妨设，则要证，即证，即（10分）设由（2）知 在上递增， （1）故，成立（12分）7已知函数（1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求的值；（2）求证函数在上为单调增函数；（3）设，且，求证：【解析】解：（1），曲线在

5、点，（2）处的切线与直线平行，解得；（2）证明：，函数在上为单调增函数；（3）不妨设，则，要证，即证，只需证，即证，只需证，设，由（2）得，在上是单调增函数，（1），即，即不等式成立8已知函数在点，处的切线方程为（）求函数的解析式；（）设，求证：在，上恒成立；（）已知，求证：【解析】解：（）将代入切线方程得，化简得解得：，（）由已知得在，上恒成立化简即在，上恒成立设，即在，上单调递增，（1）在，上恒成立（），由（）知有整理得当时，9已知函数为常数）（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值【解析】解：（1），当时，由，解得，即当时，单调递增；由解得，即当时，单

6、调递减；当时，即在上单调递增；当时，故，即在上单调递增所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为（2）由得，由已知有两个互异实根，由根与系数的关系得，因为，是的两个零点，故由得：，解得，因为，得，将代入得：，所以，设，因为，所以，所以，所以，所以构造，得，则在，上是增函数，所以，即的最小值为10已知函数（）讨论函数的单调区间；（）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值【解析】解：函数，；当时，由解得，即当时，单调递增；由解得，即当时，单调递减；当时，即在上单调递增；当时，故，即在上单调递增；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时， 的单调递增区间为； （5分），则，