新高考数学二轮专题《立体几何》第10讲 立体几何翻折与旋转问题（解析版）

1、第10讲 立体几何翻折与旋转问题一选择题（共9小题） 1把正方形沿对角线折成直二面角，对于下列结论：；是正三角形；与成角；与平面成角则其中正确结论的个数是A1个B2个C3个D4个【解答】解：取的中点，则，面，故正确设正方形边长为，则，为等边三角形，故正确为与面所成的角为，以为坐标原点，、分别为，轴建立直角坐标系，则，0，0，故正确为与面所成的角为，故不正确故选：2如图，已知四面体为正四面体，分别是，中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为ABCD1【解答】解：补成正方体如图：由于，故截面为平行四边形，可得；又，且；

2、，当且仅当时取等号故选：3矩形中，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为ABCD【解答】解：由题意，初始状态，直线与直线成的角为0，时，平面，直线与直线成的角为，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为，故选：4已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中A存在某个位置，使得直线与直线垂直B存在某个位置，使得直线与直线垂直C存在某个位置，使得直线与直线垂直D对任意位置，三对直线“与”，“ 与”，“ 与”均不垂直【解答】解：如图，依题意，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，这与已知矛盾，排除；，若存在某个位置，使得

3、直线与直线垂直，则平面，平面平面取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故正确；，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除，由上所述，可排除故选：5在中，是边上的动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：把沿翻折，形成了一个圆锥过点作，则与所成的角等于与所成的角，设与所成的角的大小为，设则，中，又故选：6如图，在中，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是A，B，C，D，【解

4、答】解：由题意得，取中点，翻折前，在图1中，连接，则，翻折后，在图2中，此时，平面，又，为中点，在中：，；由可得如图3，翻折后，当与在一个平面上，与交于，且，又，此时综上，的取值范围为，故选：7如图，在直二面角中，、均是以为斜边的等腰直角三角形，取中点，将沿翻折到，在的翻折过程中，下列不可能成立的是A与平面内某直线平行B平面C与平面内某直线垂直D【解答】解：连结，当平面与平面重合时，平面，平面内必存在与平行和垂直的直线，故，可能成立；在平面内过作的平行线，使得，连结，则当平面与平面重合时，平面，故平面内存在与平行的直线，即平面内存在与平行的直线，平面，故可能成立若，又，则为直线和的公垂线，设，

5、则经计算可得，与矛盾，故不可能成立故选：8如图，在中，为的中点将沿着翻折至，使得，则的取值不可能为ABCD【解答】解：如图所示，把继续旋转，一直旋转到平面里面，这时在位置，这时，此时，是直线和所成的最小角，不成立，的取值不可能为故选：9在斜边长为5的等腰直角三角形中，点在斜边（不含端点）上运动，将沿翻折到位置，且使得三棱锥体积最大，则长为A2BC3D4【解答】解：如图，为等腰直角三角形，且斜边，则，设，则，则要使三棱锥体积最大，则平面平面，再设 到平面的距离为，则，可得三棱锥体积当时，有最大值，有最小值，此时有最大值为长为故选：二填空题（共7小题）10将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四

6、面体，点，分另，的中点，则下列命题中正确的是（将正确的命题序号全填上）；是异面直线与的公垂线；平面；垂直于截面【解答】解：设的中点为，连接，则，与相交，与为异面直线，故错误；由可得，同理可得，是异面直线与的公垂线，故正确；由中位线定理可得，平面，故正确；，同理可得：，平面故正确故答案为：11在中，已知，是边上一点，将沿折起，得到三棱锥，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围为【解答】解：中由余弦定理得：已知，所以为等腰直角三角形，如下图所示沿折起，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上时，如图，面，都于垂直，折叠前在图中于点，在图中过作于，动点与无限接近时，折痕接近，这时接近，在

7、图中，是的斜边，所以，中，；故答案为：，12如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是（写出所有正确的命题的编号）线段的长是定值；点在某个球面上运动；存在某个位置，使；存在某个位置，使平面【解答】解：取中点，连接，则，平面平面，平面，故正确由，定值，定值，由余弦定理可得，所以是定值，故正确是定点，是在以为球心，为半径的球上，故正确，若成立，则由，可得面，而这与矛盾故错误取中点，连接，则平面平面，可得正确；故正确的命题有：，故答案为：13如图，在中，为的中点，将沿着翻折至，使得，则的取值可能为（填上正确的所有序号）【解答】解：如图，设在平面上的射影为

8、，则由题意知，点在直线的垂线上，要使，则，因此只需考虑其临界情况，即当时，点与点关于直线对称，又，是以为底角的等腰三角形，因此当时，有，的取值可能为，故答案为：14如图，矩形中，沿对角线将折起得到，且点在平面上的射影落在边上，记二面角的平面角的大小为，则的值等于【解答】解：，又，平面，又，平面是二面角的平面角在中，故答案为：15已知中，为的中点，现将沿折成三棱锥，当二面角大小为时，【解答】解：如图，取中点，连接，设，再设，由，可得，在中，可得，在中，求得，则，有，为二面角的平面角为，在中，由余弦定理可得，即则在中，求得，故答案为：16已知直角梯形，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接

9、球的体积为；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为 【解答】解：已知直角梯形，沿折叠成三棱锥，如图：，取的中点，的中点，连结，当三棱锥体积最大时，平面平面，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：由题意，均在外接球上，为直径，过作，则，三棱锥的高为，三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为故答案为：；三解答题（共15小题）17如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：由题意，点、分别是、的中点，则，由于四边形为正方形，所以由于，则平面又因为平面，所以：平面平面（2）在平面中，过作于点

10、，连接，由于为面和面的交线，则面，故在三棱锥中，可以利用等体积法求，因为且，所以，又因为，所以，所以，由于，则平面，故，因为且面，所以面，所以设正方形边长为，则，在中，所以，故，又因为，所以，所以在中，即为与平面所成角的正弦值为：18如图，在矩形中，分别为，的中点，以为折痕把折起，点到达点的位置，使（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值【解答】证明：（1）、分别为，的中点，且，在矩形中，（1分）由翻折的不变性，又，有，即，（3分）又，平面，平面，（4分）平面，平面平面（5分）解：（2）过点作交于，由平面垂直性质定理得平面，过点作交于，连结，则，为二面角的平面角（8分），由等面积法求得在直

11、角中，即二面角的正弦值为（12分）19如图，四边形中，分别是线段，的中点以为折痕把折起，使点到达点的位置，为线段的中点（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接，由题意知，四边形为正方形，连接交于，连接，所以为中点，又因为为中点，所以，因为，分别为，中点，所以，因为，平面，平面，所以平面平面（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：，0，,，,设平面的法向量为,，令,所以直线与平面所成角的正弦值为20已知，分别为边，上的一点，且，如图所示，将沿折起为，使点位于点的位置，连接，（1）当时，记平面与平面的交线为，证明：；（2）若为直角三角

12、形，且将沿折成直二面角，求当为何值时，平面与平面所成的二面角为【解答】解：（1）证明：当时，分别为边，的中点，沿折起为，所以，所以，所以，又，同理可得，而，且都在平面内，所以平面，又在平面内，在平面内，不在内，平面，又平面与平面的交线为，；（2），以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，0，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，平面与平面所成的二面角为，解得21如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，（1）求二面角的余弦值；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若

13、存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题可知，二面角为直二面角，即，以为原点，、和分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，且、面，面，平面的法向量为，1，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为（2）设线段上存在点，满足题意，且，则，即点，由（1）知，平面的法向量为，而与平面所成的角为，解得或，故不存在点满足题意22已知直角三角形中，点，分别是边，上的动点（不含点），且满足（图将沿折起，使得平面平面，连结、（图求证：平面；求四棱锥体积的最大值【解答】证明：，即平面平面，且平面平面，平面，平面解：设，则，令，则，令得，当时，当

14、时，在上单调递增，在上单调递减，当，即，时，四棱锥体积最大此时23等边三角形的边长为3，点，、分别是边、上的点，且满足将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接、（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：由题知在图1中，在中，则，即得：，所以，即得，则在图2中，有，二面角的平面角，即得，且，平面，平面（2）解：由（1）知：，所以以为空间直角坐标系的原点，以、为，轴建立空间直角坐标系则，0，0，0，0，令平面的法向量为，由，得，记与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为（3）解：假设在

15、线段上存在点，使直线与平面所成的角为令，则，而平面的一个法向量为，1，则由，解得，在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，此时24如图1，是等腰直角三角形，分别是，上的点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的余弦值【解答】解：（1）证明：取中点，连结，为中点，在中，在中，平面，平面，平面平面（2）解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，3，3，2，设，是平面的法向量，则，令，得，3，设与平面所成角为，则，与平面所成角的余弦值为25如图1，是等腰直角三角形，分别是，上的点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得

16、（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：在图1中，易得，连结，在中，由余弦定理可得，由翻折不变性可知，同理可证，又，平面平面平面；（2）取中点，则以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系则，0，0，3，设平面的法向量为，又与平面所成角的正弦值为26已知如图一，分别为，的中点，在上，且，为中点，将沿折起，沿折起，使得，重合于一点（如图二），设为，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小【解答】（1）证明：如图一，分别为，的中点，所以，又，由，故，所以，故，又，平面，所以平面，又平面，故，如图，以直线，分别为，轴建立空间直角坐标系，0，2，0，2，1，故，又，平面，

17、故平面；（2）解：设平面的法向量为，由，得，设平面的法向量为，则，由，得，由，结合图象知二面角为钝角，故二面角为27等边的边长为3，点，分别为，上的点，且满足（如图，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点（不包括端点），使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：由题意可知，二面角成直二面角，即平面平面，平面平面，平面（2）由（1）可知，以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，则，0，0，0，则，0，令，则，即，由（1）知，1，为平面的一个法向量，则，令，解得，即，线段上存在点使得直线与平面所成

18、的角为，且28等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）正的边长为3，且，中，由余弦定理，得，折叠后，仍有二面角成直二面角，平面平面又平面平面，平面，平面；（2）假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为如图，作于点，连接、由（1）得平面，而平面所以、是平面内的相交直线，平面由此可得是直线与平面所成的角，即设，则，在中，所以，在中，由，得解之得，满足符合题意所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时29等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图（）求证：平面；（）若点在线段上，求直线与平面所成的角【解答】（）证明：因为等边的边长为3，且，所以，在中，由余弦定理得因为，所以折叠后