从椭圆轨道到万有引力定律发展过程

1、从椭圆轨道到万有引力定律发展过程摘要：关键词：万有引力定律、实验、观察、向心力万有引力定律是牛顿的最著名科学发现之一，正是这个发现奠定了天体力学 的基础，导致牛顿建立他的“宇宙系统”，他将地球上的和天上的物质的运动规 律和相互作用统一起来，主要是通过探索和发现万有引力定律实现的。这是一项 前无古人的划时代重大突破。但此定律的发现是前人大量实验、观察的基础上， 经过精密审慎的思考、创造，反复实验、观测，敢于抛传统的陈腐观念才做到有 所发现的。牛顿在1665-1666年间因剑桥流行疫症而返故乡林肯郡的家中，一天在后花 园的苹果树下乘凉是，见到苹果落到地上。于是，他就想苹果为什么落到地上而 不到天上

2、呢？此时牛顿就开始对引力的思考了。第谷布拉赫是丹麦天文学家，素以观测精确著称于世，他一生观测火星的运 动，积累了大量观测资料。有人说他对天文学最大贡献之一是临终前将这些观测 资料交给了开普勒，他的助于、一位德国青年。这话说的很有见地，如果不是开 普勒的远见卓识，行星运动定律的发现也许要晚得多。1600年开普勒接受了第谷的建议，投入了火星运动的研究。按照传统的观念， 匀速圆周运动是最完美、理想的运动。开普勒用各种各样的圆轨道来计算火星的 位置，但是和第谷的观测结果比较，至少差到8个角分以上，8个角分相当于人 们看10米以外一个五分硬币所张的角度。从当时的观测精度来说，这个误差已 经很小了。可是开

3、普勒坚信第谷的观测精度在4个角分以下。因此他猜想到行星 的轨道可能是鸡蛋形的曲线，一头大一头下。经过多次的失败之后终于得出行星 的轨道是最简单的卵形曲线-椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。伟大的学者们几乎都有一个共同点，敢于蔑视和抛弃已经变得陈腐的传统观 念。在经过精密审慎的实验和思考后，如果发现事实和传统的观念有矛盾，就要 敢于对传统进行批判甚至彻底决裂。开普勒在科学思想上的英勇是引人注目的。 要知道甚至连哥白尼也没怀疑星球只应该沿圆周作匀速运动这一点。1609年开普勒发表了行星运动的第一、第二定律。1618年发表了第三定律。第一定律：行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。第

4、一定律给出了行星轨道的形状，告诉我们行星离太阳有时近，有时远。地 球就是在冬至附近离太阳近些，夏至附近远些。为了说明的需要我们下面给出一些定量的数学表达式。（图1）是行星p的轨 道椭图，s表示太阳，n是近日点，Sn是椭圆的长轴方向，MN是椭圆的一条准线。 根据椭圆的性质：椭圆上任意点到焦点的距离为到其同侧准线距离的e倍，应当 是Sn二e*nN，已知准线到椭圆中心的距离为a/e，从而推得准线到焦点的距离为 SN=a（1-e 2）/e，其中a和e分别是椭圆的半长轴和偏心率，同样应当有PS=e*PM=e（SN-SA），用r和9表示p的极坐标，有r=ea（ 1-e2）/e-rCos9 。习惯上用 p表

5、示a（1-e2），称为椭圆的半通经，从上式可以得到椭圆的极坐标方程r=p/（1+e Cos9 ）。第二定律：行星的向径单位时间扫过的面积是常数。这条定律告诉我们行星 在它的椭圆轨道上是如何运动的。为了要在相同的时间内扫过相同的面积行星在 近日点附近比远日点附近运动得要快些（图2）假设行星在时间At内从p运动到p，向径转过的角度为A9，扫过的面积 为A A，那么单位时间扫过的面积就应当是A A/ A t。在A t很小时，可以用三角 形Spp，的面积来代替AA。这个三角形的面积（图3）应为1/2Sp*SpSin （A9）=1/2r （r+Ar）Sin （A9）所以单位时间扫过的面积应当等于1/2r

6、 （r+ Ar）Sin（ A9）/ At当At很 小时，即At t 0时，Art 0，Sin（ A9）. A9，上式成为1/2r2w，w是行星 的瞬时角速度。这样第二定律的数学表达式应当是r 2w=h，h是一个常数，等于 面积速度（单位时间向径扫过的面积）之二倍。第三定律：行星轨道半长轴的立方和周期的平方之比对所有的行星都相同。 如果用a、T表示半长轴和周期，这条定律的数学表达式就是a 3/T 2=C，C对所 有的行星都相同。第三定律告诉我们行星的距离越远则周期越长，也就是运动的越慢，这和一 个旋转着的圆盘不同，圆盘上各点离中心无论多远都有相同的旋转周期，有同样 的角速度和不同的线速度，离开中

7、心越远，线速度越大。按照第三定律，行星离 开太阳越远，它的平均角速度和平均线速度都越来越小，科学家把这种和圆盘旋 转不同的运动叫做开普勒运动。开普勒定律的发现和应用，完全改变了当时天文计算的面貌。古希腊天文学 家拖勒玫所创立的旧的本轮均轮作图法被淘汰了。代替它们的是更简单准确的根 据椭圆运动而建立起来的运算法则。开普勒计算并刊布了行星运动表，他建立的 运算原理和表格的形式一直保留到现代。开普勒定律说明了行星运动的规律。很自然地会产生这样一个问题：什么原 因使行星沿着椭圆轨道？怎样的力使行星遵从第二定律和第三定律呢？开普勒 认为应该有某种原因存在着，他并且正确地指出太阳和行星会像磁铁一样互相吸

8、引，他还认为这种作用和距离的一次方成反比的。但在那个时期，科学还没发达到彻底解决这个问题的水平，因此开普勒的这 些深刻的思想不能得到进一步发展。此后半个世纪经过包括牛顿本人在内的许多 科学家如伽利略、惠更斯、胡克等人的努力，力学才得到充分的发展。牛顿集前 人之大成，建立了运动公理。牛顿根据这些力学公理和力的合成法则并应用他所 创立的微积分数学方程推出了支配行星运动的力的性质。从离心力概念向向心力概念转变，是发现引力与行星轨道半径的平方成反比 定律的重要步骤。牛顿对向心力下的定义是：把将一个物体推或拉力可看作一中 心的任一点力称作向心力。然后他提出了三个定理，并用几何法证明。定理1：一切绕一力心

9、周转的物体，扫过与时间成比例的面积。定理2：在圆周上匀速回转的物体的向心力，与在同一时间内描绘的圆弧的 平方除以圆半径成比例。定理3：如果绕中心s周转的物体p如图描出曲线APQ，如果直线PR在某 点P上与曲线相切，如果从曲线QP的任一点Q做平行于SP的切线。并且做垂线 QT全线SP，那么向心力将与SP2*QT2 /QP的比值成反比，比值的量只能由P和 Q点重合时的极限情况求出。牛顿运用几何法和极限法相结合的方法，同时用了开普勒第二定律证明了定 理3,然后用定理3证明了如下三个问题。 问题1:如果一个物体在一圆周上回转，求趋向圆周内某一点的向心力定律。 问题2：设一物体在古代人的椭圆上回转，求指

10、向椭圆中心的向心力定律。 问题3：设一物体在一椭圆上回转，求指向椭圆中心的向心力定律。从而在问题2、3的基础上可以证明出向心力必然通过椭圆的中心或焦点， 从而在推理上为从向心力向重力或万有引力过度扫清了道路。此后哈雷给牛顿证明一个课题：定理4：设向心力与离中心的距离的平方成 反比，则周期时间的平方随横轴的立方而改变。如果向心力与距离的平方成反比，那么必须证明物体运动的轨道是个椭圆。 牛顿运用了开普勒的第三定律证明此问题。设AB是椭圆的横轴，PD是纵轴，L是两焦点半径和，S是焦点之一，假定 PMN是具有圆心的圆，并画出半径SP，同时，假定两回转物体描绘出椭圆弧PQ 和圆弧PM。向心力指向焦点S，

11、PR和PN与椭圆和圆在P点相切。画QR、MN与 PS平行并与切线相交于R和N。但是，图形PQR、PMN是无限小，由上述的3个 问题及定理可得出L*QR二QT2和2SP*MN二MV2，因为SP是从中心作的共同距离和 向心力MN与QR引起的径迹变量是相等的（因为同一向心力在同时间内引起的惯 性径迹的变量应相等）所以QT2和MV2之比等于L与2SP之比，也就是说面积SPQ 与面积SPM之比等于椭圆面积与整个圆面积之比。但是，每一瞬间产生的面积部 分之比等于面积SPQ和SPM之比，因之等于整个面积之比，当乘以一定时数时就 等于整个面积之比。所以，在椭圆上绕一圈，可在同一时间内绕直径等于椭圆横 轴的圆上

12、一圈。由系5：如果周期时的平方与半径的立方成比例，则离心率与半 径的平方成反比，再加上定理2可得，圆周期的平方与直径的立方成比例。因之， 在椭圆上也是一样。从而牛顿就证明了按向心力平方反比定律作用的物体，它描 绘的径迹是椭圆。这一问题的解决从而可以解决过去用圆轨道近似计算木星和土星的引力所 带来的明显误差。而在1665-1666年间牛顿只用离心率和开普勒第三定律，因而 只能证明圆轨道上的而不是椭圆轨道上的引力平方反比关系。在1679年，他知 道运用开普勒第二定律，但是证明方法上没有突破，仍停留在1665-1666年的水 平。只是到了 1684年1月，哈雷、雷恩、胡克和牛顿等都能证明圆轨道上引力

13、 平方反比关系，都已经知道椭圆轨道上遵守引力平方反比定律，但是最后可能只 有牛顿才根据开普勒三定律，从离心率定律演化出向心力定律和数学上的极限概 念或微积分概念，才用几何法证明了这个难题。牛顿之所以能完成如此大任，关 键在于发现并深刻理解离心力、向心力、重力或万有引力之间的关系，以及数学 上的才能。1687年在英国天文学家哈雷的促进和协助下，牛顿出版了自然哲学的数学 原理，公布了他的研究成果。从自然哲学的数学原理中可以看出，牛顿首先是从猜测和直觉开始关于 引力的思考的。他看到，在地面上很高的地方，重力并没有明显的减弱，那么它 是否也可以到达月球呢？如果月球也受到重力的作用，就可能是这个原因是他

14、保 持着环绕地球的轨道运动。牛顿指出，月球可以由于重力或者其它力的作用，使他偏离直线运动而偏向 地球，形成绕转运动。“如果没有这样一种力的作用，月球就不能保持在它的轨 道上运行。”但是，迫使月球作轨道运动的向心力与地面上物体所受的重力到底 是否有同一本质呢？在自然哲学的数学原理中，牛顿提出了一个思想实验， 设想有一个小月球很靠近地球，以至几乎触及到地球上最高的山顶那么高使它保 持轨道运动的向心力当然就等于它在山上所受的重力。这时如果小月球突然失去 了运动，它就如同山上的物体一样以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不 是重力，那么它就将在这两种力的作用下以最大的速度下落，这是于我们的经验 不符

15、合的。可见重物的重力和月球的向心力必然是出于同一原因。因此使月球保 持在它轨道的力就是我们通常认为重力的那个力。进一步深入，牛顿根据惠更斯的向心力公式和开普勒的三个定律推导了平方 反比关系。牛顿还反过来证明了如果物体所受的力指向一点而且遵从平方反比关 系，则物体的轨道是圆锥曲线一一椭圆、抛物线和双曲线，这就推广了开普勒的 结论。在原理中牛顿同磁场作用相类比，得出这些指向物体的力与这些物体的性 质和量的关系，从而把质量引进了万有引力定律，得出万有引力与相作用的质量 乘积成正比，这是从发现引力平方反比定律过度到发现万有引力定律的不可缺少 的必要阶段。从而发表了万有引力定律任何两个质点之间存在着相互的吸 引力（F），其大小与它们之间