福建省漳州市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题【含答案】

1、福建省漳州市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1下列函数的求导正确的是（）ABCD2抛掷一枚均匀的骰子，观察掷出的点数，若掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为（）ABCD3在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）ABCD4已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（）A1，1B1，)C1，)D(，15盒中有个白球，个红球，从中任取个球，则恰好取出个红球的概率是()ABCD6郫都区高级理科

2、学生参加“成都一诊”考试的数学成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（）（附：，）A越大，学生数学成绩在的概率就越大B当时，C无论为何值，学生数学成绩大于的概率为D无论为何值，学生数学成绩在小于与大于的概率相等7如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（）A直线CE/平面A1BDBCEBD1C三棱锥C1B1CE的体积为D直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为38设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（）A4B3C2D1评卷人得分二、多选题9关于空间向量，以下说法正确的是（）A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；B若对空间中任意一点，有

3、，则四点共面；C已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；D若，则是锐角.10已知随机变量，则下列命题正确的有（）ABC若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数D若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数11已知函数，则下列说法正确的是（）A在上单调递增B在上单调递减C若函数在处取得最小值，则D，12对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以

4、下说法正确的是（）A函数对称中心B的值是99C函数对称中心D的值是1评卷人得分三、填空题13已知随机变量的期望为15，则_.14曲线在点处的切线方程为_15已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上. 直线DE与平面EMC所成的角为60，则面MCE与面CEF夹角余弦值为_.评卷人得分四、双空题16当时，函数的最小值为_，最大值为_.评卷人得分五、解答题17已知（）在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求函数在区间上的值域.18如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点（）求直线与平面的距离；（）若，求二面角的

5、平面角的余弦值19为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望20为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为

6、了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.附注：若，则，.参考数据.21如图，在四棱锥中，面ABCD，且，N为

7、PD的中点.(1)求证：平面PBC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.22已知，.（1）讨论单调性；（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.答案：1D【分析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：，故C不正确；对于D：，故D正确，故选：D2B【分析】设事件：“抛出的点数不超过3”，事件；“抛出的点数是奇数”，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设事件：“抛出的点数不超过3”，事件；“抛出的点数是奇数”，可得，则，所以掷出的点数不超

8、过3，则掷出的点数是奇数的概率为.故选：B.3B【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.4C【分析】求导在上恒成立，分离参数得，再求解的最大值即可得结果【详解】函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，定义域为故在上恒成立，则令，因为则当，即时，函数g(x)取最大值1，故m1故选：C方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平

9、面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解5C【分析】由超几何分布概率公式可直接求得结果.【详解】设取出红球的个数为，则，.故选：C.6A【分析】利用对总体的影响可判断A选项；利用原则可判断B选项；利用正态曲线的对称性可判断CD选项.【详解】对于A选项，越大，峰值低，正态曲线越“矮胖”，随机变量的分布比较分散，则学生数学成绩在的概率就越小，A错；对于B选项，当时，则故B对；对于C选项，无论为何值，学生数学成绩大于的概率，C对；对于D选项，因为，由正态曲线的对称性可得，D对.故选：A.7C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断AB，根据三棱锥体积公式判断C，由线面角的定义法判断D.

10、【详解】以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则,故，设平面A1BD的法向量，则，即，令，则，所以，因为,所以不垂直平面A1BD的法向量，故直线CE/平面A1BD不正确，故A错误；因为，所以CEBD1不正确，故B错误；因为，所以三棱锥C1B1CE的体积为，故C正确;因为平面CDD1C1，所以即为直线B1E与平面CDD1C1所成的角，所以，而,所以，故D不正确.故选：C8A【分析】利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图象，数形结合得出方程实数根的个数.【详解】，即函数在上单调递减，在上单调递增当时，则函数与的图象如下图所示平移直线可知，函数与的交点个数可能为则关于的方程的实数

11、根的个数可能为故选：A9ABC【分析】对选项A，根据空间向量共面定理即可判断A正确；对选项B，根据即可判断B正确；对选项C，根据题意得到则也共面，即可判断C正确，对选项D，根据，得到，即可判断D错误.【详解】对选项A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确.对选项B，因为，且，所以四点共面.对选项C，因为是空间的一组基底，所以不共面，则也不共面，即也是空间的一组基底，故C正确；对选项D，若，则，故D错误.故选：ABC10BC【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到

12、的绿球个数X的概率判断D作答.【详解】因随机变量，则，A不正确，B正确；甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；对于D，依题意，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.故选：BC11ACD【分析】AB选项利用二次求导的方法求得的单调性来判断，CD选项通过构造函数，结合二次求导的方法来进而判断.【详解】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增.A正确，B错误.令，则.令，则在上恒成立，则在上单调递增.又，所以，则在上单调递减，在上单调递增，即.又，所以.CD选项正确.故选：ACD12BC【分析】根据题意求出函数对称中

13、心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.【详解】,令，解得，由题意可知：函数的对称中心为；因为函数的对称中心为，所以有，设，所以有，得，即的值是99.故选：BC本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.1350【分析】利用期望的性质直接求解即可【详解】解：因为随机变量的期望为15，所以，故5014【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故15【分析】由线面垂直的判定可得平面ABFE平面ADE，取AE的中点H为坐标原点，构建为x、y、z轴正方向的空间直角

14、坐标系，写出相应点的坐标并设(0t4)，根据已知线面角的大小求参数t，再求面CEF和面MCE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求余弦值即可.【详解】由已知得，EFAE，EFDE，EF平面ADE，又面ABFE，平面ABFE平面ADE.取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设(0t4)，则，若面EMC的法向量，则，即，取y=2，则.由DE与平面EMC所成的角为60，则，解得t=1或t=3，均有直线DE与平面EMC所成的角为60.取ED的中点Q，则为平面CEF的法向量.点Q的坐标为 ， ，设MCE与面CEF夹角为.当t=1时，；当t=3时， .面MCE与面CEF夹角余弦值为.

15、故关键点点睛：由面面垂直判定证面ABFE面ADE，结合翻折后的线线、线面及面面关系，取AE的中点H为坐标原点，构建空间直角坐标系，并应用向量法求面面角的余弦值.16 0 【分析】求出函数的导数，研究函数在区间上的单调性，确定出函数端点值，代入比较即可求出函数最大最小值.【详解】因为 ，所以在区间 上 ，函数单调递减，在区间 上 ，函数单调递增.因为 ，所以的最小值为0，最大值为.故0；17（1）；（2）.（1）由条件可知，求解，再验证；（2）利用导数先求函数的单调区间，再判断的最值.【详解】（1）（）可得，由题时有极值0.可得：即解得：（舍去）或，经验证成立；（2）由（1）可知， 增 减 增

16、所以函数在和递增，递减.且，可得值域为.18（）（）【分析】（）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转化为点到平面的距离；（）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的平面角的余弦值【详解】（）证明：在矩形中，又平面，平面，所以平面如图，以为坐标原点，射线、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系设，则 ，0，0，0，因此，0，0，则，因为，所以平面又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为（）解：因为，所以，设平面的法向量，则，又，0，故所以，可取，则，2，设平面的法向量，则，又，0，故所以，可取，则，1，故，本题考查线面平行的判定，考查线

17、面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题19（1）；（2）分布列见解析，期望为（1）计算“每台新型防雾霾产品不能销售”的对立事件“每台新型防雾霾产品能销售”的概率，可得结果.（2）列出所有可能取值，并计算每个值所对应得概率，然后列出分布列并计算期望，可得结果.【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”所以所以（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为所有的可能取值为：，则所以的分布列为所以则本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，重点在于

18、对随机变量的取值以及所对应概率的求取，同时掌握数学期望的公式，属基础题.20（1）千米/时；（2）（i）辆，（ii）.【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值，由即可求平均车速.（2）由题设易知，（i），结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数.（ii）由（i）知车速低于85千米/时的概率，则利用二项分布的期望公式即可求期望.【详解】（1）由图知：千米/时.这1000辆机动车的平均车速为千米/时.（2）由（1）及题设知：，则，（i），10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆.（ii）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为，故.21(1)证明见解析(2)存在，且【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证