2021-2022学年河北省石家庄市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年河北省石家庄市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A2BCD4D由实部为0且虚部不为0列式求得值，则答案可求【详解】为纯虚数，即复数的虚部为4故选：本题考查复数的基本概念，是基础题2某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：918990929487939691858993889893则这组数据的40%分位数、70%分位数分别为（）A90，94B91，93C90.5，93D90.5，94.2C【分析】将数据从小到大依次排列，而且1540%=6，1570%=10.5，故这组数据的40%分位数是第6、7个数的平均数，70%分位数是第

2、11个数【详解】将数据从小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而1540%=6，1570%=10.5，故这组数据的40%分位数是，这组数据的70%分位数是93，故选：D3平面向量与的夹角为，则（）ABCDB【分析】计算出，利用平面向量的数量积可计算得出的值.【详解】由已知可得，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.4定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A小雨B中雨C大雨D暴雨B【分

3、析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.5已知在边长为6的等边三角形中，则（）A24B6C18DA【分析】由已知条件将用表示出来，然后再计算即可【详解】因为，所以,所以因为边三角形的边长为6，所以，所以，故选：A6从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（）A是对立事件B不是互斥事件C是互斥但不对立事件D都是不可能事件A从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,即可求得答案.【详解】从双不同的鞋中

4、任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”.事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件.故选:A.本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.7圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影

5、长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）ABCDD先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【详解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，所以,故选：D本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.8我国古代九章算术中将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童如图的刍童有外接球，且，平面与平面间的距离为1，则该童外接球的表面积为（）ABCDC【分析】设上底面中心为，下底面中心为，刍童外接球的球心为，则，共线，由已知

6、求出两个长方形的对角线长，再由勾股定理列式求得刍童的外接球的半径，则表面积可求【详解】解：如图，设上底面中心为，下底面中心为，刍童外接球的球心为，则，共线，连接，由已知可得，设该刍童的外接球的半径为，则，联立解得该刍童的外接球的表面积为故选：C.二、多选题9某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A1829周岁人群参保总费用最少B30周岁以上的参保人群约占参保人群的20%C54周岁以上的参保人数最少D丁险种更

7、受参保人青睐CD【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.【详解】对A：由不同年龄段人均参保费用图可知，1829周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为20%，所以总费用不一定最少，故A错误；对B：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故B错误；对C：由扇形图可知，54周岁以上的参保人数最少，故选项C正确；对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确.故选：CD.10下列命题中，正确的是（）A在中，是的充要条件B在锐角中，不等式恒成立C在中，若，则是等腰直角三角形D在中，若，则是等边三角形ABD【分析】对于A，应用正弦定理及三角形中大边对大角以及充

8、要条件的定义即可判断正误；对于B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；对于C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；对于D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状.【详解】解：对于A：若，而，即，故，同理，若，即，而，故，所以是的充要条件，故A正确；对于B：由锐角知：，即，则，故B正确；对于C：由题设得，可得，又，则或，即或，故为等腰或直角三角形，故C错误；对于D：由题设，即，又，所以，故，即，又，所以，故必是等边三角形，故D正确.故选：ABD.11棱长为2的正方体中，是线段上的动点，下列正确的是（）A的最大值为90BC三棱锥的体积为定值

9、D的最小值为4BC【分析】对A，令，在中，根据余弦定理求得，再在中根据余弦定理求解的表达式，判断出当时，即可；对B，根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；对C，根据体积公式结合长方体的性质证明即可；对D，把与矩形展开在同一平面内，再分析最小值即可【详解】对A，在正方体中，连接，如图，而，则，令，在中，由余弦定理得，根据线面垂直的性质有，则，中，当时，即是钝角，A不正确；对B，因平面，平面，则，正方形中，平面，于是得平面，又平面，因此，B正确；对C，由题意，到平面的距离为定值，故为定值，C正确；对D，把与矩形展开在同一平面内，连接交于点，如图，在中，由余弦定理得：，因点M在线段上，当且仅当点M

10、与重合时取“=”，所以的最小值为，D错误；故选：BC12著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理已知的外心为，垂心为，重心为，且，下列说法正确的是（）ABCDACD【分析】设是中点，由为垂心，得，判断A；利用，计算数量积判断B，再结合可判断C，由重心性质得，然后由向量的线性运算判断D【详解】对于A选项，由垂心的性质可知，则，A对；对于B选项，设为的中点，则，所以，所以，B错；对于C选项，由外心的性质可知，则，C对；对于D选项，由得，所以，因为，所以，即，D对.故选：AC

11、D.三、填空题13已知向量，向量，若，则的值为_5【分析】由条件求得，再根据数量积的坐标表示求.【详解】，两边平方后得，即，解得.故514如图，在中，是上一点，若，则实数的值为_.【分析】根据条件化简得，再根据B,P，N三点共线，得,求出t 值【详解】因为，所以 则根据B,P，N三点共线，,则t=故答案为 在平面中，若P,A,B,C四点不共线，且 ,若A,B,C三点共线，则本题考查学生对向量中点共线问题的考察15甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.4，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7，若3人击中则飞机一定被击落，

12、求飞机被击落的概率为_【分析】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 ，代入相关数据，即可得到答案.【详解】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 故答案为.四、双空题16某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（是虚数单位）；从三个式子中选择一个，求出这个常数为_；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式_ 【分析】根据复数的运算法则求得这个常数，再结合三个式子的结构特征及计算结果得出推广式，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得；根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：，证明如下：由

13、.故； .五、解答题17在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，且(1)求角A(2)若c2，且ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，再由正弦定理化角即可得解；（2）根据面积公式可得，在中再由余弦定理求解即可.【详解】(1)因为，所以由正弦定理得因为，所以，所以因为，所以；(2)因为ABC的面积为所以因为c2所以在三角形ABM中，M为AC的中点，由余弦定理得所以18全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号为普及相关

14、知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：甲单位8788919193乙单位8688919293(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率(1),，甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好(2)【分析】（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义作出判断；（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率【详解】(1)，

15、显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.(2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，共5个.由古典概型计算公式可知.19如图，在直三棱柱中，为的中点(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值(1)证明见解析；(2).【分析】（1）设与的交点为，连接，由三角形中位线定理可证得，从而可得平面；（2）由可得为与所成的角（或其补角），在中，解三角形可求得，即为所求【详解】(1)证明：设与的交点为，连接，四边形为正方形， 是

16、的中点，又是的中点，又平面，平面，平面(2)解：，为与所成的角（或其补角）在中，异面直线与所成角的余弦值为20“学习强国”学台是由中宣部主管，以深入学习宣传为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图(1)根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两

17、组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50入中选5人参加一个座谈会,现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？(1)平均时长为，中位数为(2)在和两组中分别抽取30人和20人，概率【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数，中位数的公式即可求解；（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，再列举抽取总事件个数，从而利用古典概型概率计算公式即可求解【详解】(1)解：（1）设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，被抽查人员利用“学习强国”的时长中位数满足，解得，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为(2)解：组的人数为人，设抽取的人数为，组的人数

18、为人，设抽取的人数为，则，解得，所以在和两组中分别抽取30人和20人，再利用分层抽样从抽取的50入中抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，将中的标记为，则抽取的情况如下：，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，故所求概率21为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场中，如图，其中，现将在其内部挖掘一个三角形空地进行盆景造型设计，其中点在边上，点在边上，要求(1)若，判断是否符合要求，并说明理由；(2)设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值(1)不符合要求，理由见解析.(2)（平方米）【分析】（1）由百米，得到百米，百米，求得，在中，由余弦定理求得的值，即可求解.（2）因为，得到，进而得出的面积，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】(1)解：由题意，某城市有一矩形街心广场，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池进行盆景造型设计，其中点