高中数学选修第一册：章节综合训练

1、PAGE 单元质量评估（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,12,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是()A.-1B.34C.1D.-342.若a,b,c是空间任意三个向量,R,下列关系中,不成立的是()A.a+b=b+aB.(a+b)=a+bC.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=a3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则AB+12BC+12BD等于()A.ADB.FAC.AFD.EF4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-

2、1,4),则ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.已知平面的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面与平面()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则,分别为()A.52,-1,-12B.52,1,12C.-52,1,-12D.52,1,-127.(2013吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,则x+y的

3、值是()A.1或-3B.-1或3C.-3D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则ABC的面积是()A.70B.35C.1702D.3529.下列命题正确的是()A.若OP=12OA+13OB,则P,A,B三点共线B.若a,b,c是空间的一个基底,则a+b,b+c,a+c构成空间的另一个基底C.(ab)c=|a|b|c|D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC=010.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EFBC且AE=2EB,G为BC的中点,K为ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120的二面角A-EF-B,则此时KG的长是()A.1B.3C

4、.32D.311.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为()A.3B.22C.23D.5512.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值分别是、.14.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(

5、-2,1,58)是平面内的三点,设平面的法向量为n=(x,y,z),则xyz=.15.平面,两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2 cm,3cm,则PO的长为cm.16.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S.(2)若向量a

6、分别与向量AB,AC垂直,且|a|=3,求向量a的坐标.18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为263?19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是DD,DB的中点,G在棱CD上

7、,CG=14CD,H为CG的中点.(1)求证:EFBC.(2)求EF,CG所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC=12PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,CDA=BAD=90,AB=2,CD=1,AD=2,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的

8、距离.答案解析1.【解析】选D.ab=2-12+2k=0,k=-34.2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b0时,不成立.3.【解析】选C.AB+12BC+12BD=AB+BE+EF=AF.4.【解析】选A.AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由ABAC0,得A为锐角;由CACB0,得C为锐角;由BABC0,得B为锐角,且|AB|AC|BC|,所以ABC为不等边锐角三角形.5.【解析】选A.n2=-2n1,n2n1,故.6.【解析】选A.由d=a+b+c=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)

9、e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3.+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知AB=(1,4,-3),AC=(-2,1,-2),|AB|=26,|AC|=3,cos=8263=42639,sin=1-(42639)2=85117,SABC=12|AB|AC|sin=1702.9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;ABC为直角三角形时可能ABAC=0,也可能ABBC=0,或ACBC=0,

10、故D错误.10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在KHG中,由KH=HG=1,KHG=120,可解得KG=3.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:A1B1EF,G在A1B1上,G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.D1E=52,由三角形面积可得h=11252=55.方法二:以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,12),F(

11、1,0,12),D1(0,1,1),G(,0,1),EF=(1,0,0),ED1=(0,1,12),GD1=(-,1,0),设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则 QUOTE nEF=x=0,nED1=y+12z=0, 解得x=0,z=-2y,取y=1,则n=(0,1,-2).点G到平面EFD1的距离是:h= QUOTE |GD1n|n| =10+1+4=55.12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),DD1=(0,0,1),DB=(2,2,0),BC1=(-2,0,1).设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z)

12、,由 QUOTE nDB,nDD1 可得2x+2y=0,z=0,可取n=(1,-1,0).cos= QUOTE nBC1|n|BC1| =-225=-105,BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105.13.【解析】ab,存在实数k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),+1=6k,0=k(2-1),2=2k,解得k=15,=12.答案:15 1214.【解析】AB=(1,-3,-74),AC=(-2,-1,-74), QUOTE nAB=0,nAC=0, x=23y,z=-43y.xyz=23yy(-43y)=23(-4).答案:23(-4)15.【解析】如图所示,建立

13、空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),|OP|=12+22+32=14(cm).答案:1416.【解析】BD=AD-AB,EF=-AE+AD+DF=-12AP+AD+12AB,BDEF= (AD-AB)(-12AP+AD+12AB)=4-2=2.|EF|2=(-12AP+AD+12AB)2=6,|EF|=6,|BD|=22,cos= BDEF|BD|EF|=2226=36,即异面直线EF与BD所成角的余弦值为36.答案:36【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),EF=(1,2,-1),BD=

14、(-2,2,0),cos=2622=36,异面直线EF与BD所成角的余弦值为36.17.【解析】(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),cosBAC=ABAC|AB|AC|=12,BAC=60,S=|AB|AC|sin 60=73.(2)设a=(x,y,z),则aAB-2x-y+3z=0,aACx-3y+2z=0,|a|=3x2+y2+z2=3,解得x=y=z=1或x=y=z=-1,a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0

15、,1),B(0,2,0),设BE=BA1,(0,1),则E(2,2(1-),2).又AD=(-2,0,1),AE=(2(-1),2(1-),2),设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则 QUOTE nAD=0,nAE=0, 即-2x+z=0,2(-1)x+2(1-)y+2z=0,取x=1,则y=1-31-,z=2,即n=(1,1-31-,2).由于d= QUOTE |AA1n|n| =263,263=45+(1-31-)2,又(0,1),解得=12,当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为263.【拓展提升】探索性问题的解法在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立

16、,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.19.【解析】以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a2,1,0),B1(a,0,1),(1)AD1=(0,1,1),B1E=(-a2

17、,1,-1),AD1B1E=-a20+11+(-1)1=0,B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时DP=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).n平面B1AE,AB1=(a,0,1),AE=(a2,1,0),nAB1,nAE,得ax+z=0,ax2+y=0,取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-a2,-a),要使DP平面B1AE,只需nDP,有a2-az0=0,解得:z0=12.AP=12,在棱AA1上存在点P,使得DP平面B1AE,且P为AA1的中点.20.【解题指南】要证明EFBC,只需要证明EFBC=

18、0;要求EF,CG所成角的余弦值,只要求出EF,CG所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|FH|22即可.【解析】(1)设AB=a,AD=b,AA=c,则cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.EF=ED+DF=-12c+12(a-b)=12(a-b-c),BC=BC-BB=b-c,EFBC=12(a-b-c)(b-c)=12(c2-b2)=12(1-1)=0.EFBC.(2)EF=12(a-b-c),CG=CC+CG=-c-14a,EFCG=12(a-b-c)(-c-14a)=12(-14a2+c2)=38,|EF|2=14(a-b-c)2=14(

19、a2+b2+c2)=34,|CG|2=(-c-14a)2=c2+116a2=1716,|EF|=32,|CG|=174,cos=EFCG|EF|CG|=5117,EF,CG所成角的余弦值为5117.(3)FH=FB+BC+CC+CH=12(a-b)+b+c+12CG=12(a-b)+b+c+12(-c-14a)=38a+12b+12c,|FH|2=(38a+12b+12c)2=964a2+14b2+14c2=4164,FH的长为418.21.【解析】方法一:(1)O,D分别为AC,PC的中点,ODPA.又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)设PA=2a,ABBC,OA=OC,

20、OA=OB=OC=22a.又OP平面ABC,PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC.ODF是OD与平面PBC所成的角.PA=2a,OA=22a,OP=142a.又OE=a2,OF=21030a.在RtODF中,sinODF=OFOD=21030,OD与平面PBC所成角的正弦值为21030.方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(22a,0,0),B(0,22a,0),C(-22a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

21、(1)D为PC的中点,OD=(-24a,0,12h).又PA=(22a,0,-h),OD=-12PA.ODPA,又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)PA=2a,h=142a,OD=(-24a,0,144a).可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,77),cos= QUOTE ODn|OD|n| =21030.设OD与平面PBC所成的角为,则sin=|cos|=21030.OD与平面PBC所成角的正弦值为21030.22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=2,PA=4PQ=

22、4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(22,0,2),N(0,1,2).(1)BC=(2,-1,0),PB=(0,2,-4),MQ=(-22,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),则有:n0BC(x,y,z)(2,-1,0)=02x-y=0,n0PB(x,y,z)(0,2,-4)=02y-4z=0,令z=1,则x=2,y=2n0=(2,2,1).MQn0=(-22,0,1)(2,2,1)=0,又MQ平面PCB,MQ平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x,y,z),又CM=(-22,-1,2)