五年级奥数学练习试卷思维培训资料数的进制

1、 义务教育基础课程小学教学资料第四讲数的进制数的进制问题一直是我们教学大纲的一个漏洞，只在三年级春季班讲了一次简单的二进制与十进制的互化之外，再也没有讲过，到了六年级也只是简单提一下这几年随着二进制与计算机的联系、一年12个月、一周7天等生活中的其它进制问题的凸显，数的进制问题将来一定会是命题的热点.我们常用十进制，可是这并不代表其它进制没有学习的必要，就像我们56个民族，汉族是多数，但其它民族也有可以学习和借鉴之处，更何况在生活中我们用的很多就是二进制、三进制、七进制等等所以调整了大纲，放了这么一讲，大部分题目都是原创题，不妥之处请批评指教.本讲主要从两个方面来系统地介绍数的进制：一是从进制

2、的基本计数关系、运算法则出发，使学生从十进制的计数思维中解脱出来；二是从进制的转化及应用来说，进一步巩固进制的使用（还有各种进制的整除特征及法则，怕学生难以接受就没放）建议教师专题回顾讲起，先介绍几种进制的计数单位及运算法则，再引出想挑战吗中间穿插了两个信息点，教师可以简单介绍.下表是十进制与二进制、三进制、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图：十进制105104103102101100二进制252423222120三进制353433323130八进制858483828180十八进制165164163162161160n进制的运算法则是“逢n进一”、“借一当n”.n进制的四则混合运算和十进

3、制一样：先乘除，后加减;同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的.想挑战吗？4我们都学过十进制乘法口诀表，那么聪明的你能写出七进制的乘法口诀表吗？八进制的呢？7进制乘法表进制乘法表 12345611234562461113153121521244222633534426511234567112345672461012141631114172225420243034531364364452761:专题回顾计算:(1)(101(111)2；(2)(1101)2-(110)2(3)(1101)(101)2；(4)(101101X(111分析:和十进制一样列数式计算，“逢二进一”、“借(1)111(

4、2)-1(3)11001101X：11011110110111111011000110111111鼻专-题精讲（一）进制的概念及性质【例1】（奥数网原创题）在八进制中,1234-456-322=分析：十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，凑出“互补数”的这种方法叫，要凑的就是整n.原式=1234-（456+322）=1234-1000=234.前铺（奥数网原创题）在十进制中,1234-456-544=分析：观察两个减数，会发现它们的和是1000.所以，原式=1234-(456+544)=1234-1000=234.拓展1（奥数网原创题）

5、在八进制中,63121-1247-16034-26531-1744=分析：原式=63121-(1247+26531)-(16034+1744)=63121-30000-20000=13121.拓展2(奥数网原创题)在九进制中，14438+3123-7120-11770+5766=分析：原式=14438+(3123+5766)-(7120+11770)=14438+10000-20000=4438.信息提示关于八进制的奥秘来自外星世界的太空飞船突然出现在我们上空时将会发生什么样的情况？科学家曾经仔细研究过来自外形世界的信号并发现信息是采用的八进制编码地球上流行十进制，换句话说，我们有0到9共10

6、个数码在十进制计数法中，每个数码表示10的某个乘幕，但是，没有任何理由假定外星生物也会使用十进制，来自外星的信息不大可能用十进制编码在地球上，我们的数学计算用的是十进制，因为我们恰好有10个手指.事实上，我们的语言已经提示了手指同数制的联系“digit”这个单词兼有两种意思：数或手指由于十进制来自我们的10只手指，那么八进制会不会透漏一点外星生物的解剖学结构呢？也许八进制会意味着：外星人的每只手上有一个大拇指，3个手指；或者是有着8根触须的怪物；或者是：这种动物长着4只手，而每只手上有一个大拇指，一个小指甚至还有更荒唐的设想：外星人长TOC o 1-5 h z着3个头颅，点头和摇头的全部组合刚

7、好是8种！(当然也有可能他们的计数制同其身体结构毫无关系.毕竟，古巴比伦的60进制不能为我们提供关于人体结构的任何信息)【例2】(奥数网原创题)在六进制中，15+255+3555+45555+555555=.分析：利用凑整法，十进制中，接近整十整百整千的数，后面会有若干个9,那么类似地，在n进制中,接近一个比较整的数，后面会有若干位是n-1原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(1000000-1)=1054320-5=1054311前铺(奥数网原创题)在十进制中，19+299+3999+49999+599999=.分析：观察各个数，发现每一个都比一个整十整

8、百整千之类的数少1所以，也可以利用凑整法，原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(600000-1)=654320-5=654315拓展(奥数网原创题)在七进制中，666661-66662-6663-664-65-6=.分析：原式=(1000000-6)-(100000-5)-(10000-4)-(1000-3)-(100-2)-(10-1)=(1000000-111110)-6+21=555560+12=555602【例3】(仁华考题)若(62)n是(14)n的4倍，那么(41)n化为十进制是多少?分析：因为(62)n=4(14)n，所以(6n2)io=4

9、(n(41)7=47仁(29)io.6n2=4n16n=7前铺(54)n表示n进制数，若(54)n=(64)10，求n.分析：有5n4=64，得到n=12.【例4】(仁华考题)在几进制中有4X13=100.分析：我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10X10=(12)10.但是，式中为100,尾数为0.也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数，也就是12,6,4,3,2.但是出现了4,所以不可能是4,3,2进制.我们知道(4)10X(13)10=(52)10，因52100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n10所以，n只能是6.前铺计

10、算：(234)7+(656)7分析：7进制的运算是逢7进1,所以原式=(1223)7.TOC o 1-5 h z【例5】(仁华考题)证明10101在任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在a进制，贝V(1010叭=134+1沃a2+1=(a2+1)2a2=(a2+1a)(a2+1+a),可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数.前铺证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在b进制，贝V(10201)=1b42b2(b21)2，所以不管在任何进制，均是一个非1的完全平方数，当然是一个合数.卷H(二)进制的转化及应用【例6】(奥数网原创题)把二进制自然数101

11、00001101转化为八进制自然数分析：二进制数转化为八进制是从个位开始往前每三位转化为八进制.对应关系如下:二进制000001010011100101110111八进制012345对其进行分组，情况如下：（一定要从后往前）有：101000011012进制24158进制(10100001101)2=(2415)8拓展1（奥数网原创题）把二进制小数11.0010010001转化为八进制小数.分析：小数和整数转化的方法类似，只不过是从小数点处，向前和向后都要三位三位数但是本题的小数点后位数不是3的倍数，所以必须补0.11.0010010001003.1104所以，二进制11.0010010001转

12、化为八进制是3.1104.拓展2（奥数网原创题）把二进制循环小数0.10011转化为八进制循环小数.分析：循环小数转化的方法也类似，但是循环节长度不是3的倍数，所以需要把循环节连写三遍，如下：0.1001110011100110.47163所以，二进制0,0011转化为八进制是0.47163.拓展3（奥数网原创题）在几进制中，0.1463是一个整数的倒数？分析：看到这类问题不知道如何入手的话，可以这样想：大家都熟悉的十进制循环小数1=0.142857中，循环节的前一半和后一半“互补”，也就是对应位相加7等于9,也就是进制数减1而0.1463的循环节前一半和后一半对应位相加等于7,所以应该是八进

13、制.经检验，0463=1.5信息提示莫尔斯-瑟厄数列在管乐声中有两个调子，用表示长调，用表示短调，所有乐曲都可以用类似或金丄飞孚I-V（直吐以玄汽r表示，就是这种看似既非完全规则、又非全然不规则节奏的神奇模式就是著名的、奇异的二进制数字模式一一莫尔斯-瑟厄数列，它可以用0和1的数字串来表示莫尔斯-瑟厄数列是为了纪念挪威数学家阿克塞尔-瑟厄和普林斯顿大学的马斯登-莫尔斯而命名的瑟厄引入这个数列，作为一种非周期性的、但又可以通过递推办法而算出来的实例有好几种办法可以生成莫尔斯-瑟厄数列.第一种：从数0开始，反复进行下列置换：0T01,1T10换句话说，你一旦见到0,就用01取代它，见到1就用10来

14、取代，从一个单独的0开始，我们就可以得出以下各“代”：00!01100110100101101001100101】0你可以用一支笔、一张纸来形成这个数列从0开始，代之以01,现在你已有了一个两个数码的数列，用01代替0,10代替.从而有了数列0110，下一个二进数模式是01101001，请注意0110是对称的，它是一个回文数，然而01101001则不是.但是，你要顶住！再下面一个模式0110100110010110又是回文了.这种现象是否交替出现？显然，数列的神奇性质只是刚刚开始，奥妙还在后面呢.注意数列的第四行可以译成管乐声中的8个手指记号，如果表示0，表示1的话，真是令人惊讶！（未完，见数

15、学知识）【例7】（奥数网原创题）在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第I位数字是几？分析：我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大.注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3,于是为9.所以变为遇9进1.也就是九进制.于是，两个数一组，两个数一组,每两个数改写为九进制，如下表：TOC o 1-5 h z3进制12120I201101101211219进制55I6413547所以，首位为5.总结若原为n进制的数，转化为nk进制，则从右往左数每k个数一组化为nk进制.【例8】（仁华考题）N是整数，它的b进制表示是777,求最小的

16、正整数b，使得N是十进制整数的四次方TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 224分析：先化为十进制数，（777）b=7b7b7，则有7b7b，7=x,因为N是7的倍数,所以x4也是7的倍数，又7为质数，所以x是7的倍数.于是令x=7t，则7b27b2401t4,2则bb343,b（b1342，则b=18.因为t最小，所以b也是最小的.即有最小在18进制有(777)1厂(74)10.前铺在7进制中有三位数abc，化为9进制是cba，求这个三位数在十进制中是多少?分析：都化为十进制数，(abc)7=a72b7c=49a7bc

17、,2(cba)9=c9b9a=81c9ba,于是49aTb8C9b,a48a=80c2b,即24a=40+b因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也是8的倍数.于是b=0或b=8,但在7进制不可能有8.所以b=0，即24a=40c，则3a=5c，所以a为5的倍数，c为3的倍数，有a=0或a=5，首位不可以是0，所以a=5，那么c=3，所以(abc)7=(503)7=5493=248.拓展设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且xyz=1+9+8+7,试确定出所有可能的x、y、z及b.分析：我们注意(xyz)b=b2xbyz987x+y+z=1+9+8+7-得：(b-1)x+(b-

18、1)y=1987-25，贝y(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962,即(b-1)(b+1)x+y=1962.所以，1962是(b-1)的倍数.1962=2X9X109,当b-1=9时，b=10,显然不满足；b=19当b-1=18时，b=19，则(b-1)(b+1)x+y=18x(20 x+y)=1962；贝920 x+y=109,x=5x=5x=4y=9z=11所以，x5,x4(不满足)y=9(7=29显然，当b=109不满足，b=2X109不满足，当b=9X109也不满足.于是为(59B)19=(1987)10,B代表【例9】11.()ry/、分析：因为2n仁10UQ1-1=111山

19、，而15=(1111)，如果2n-1能被15整除，即11川11n个0丿2n个1丿2n个1丿2(仁华考题)若2n-1能被15整除，自然数n可以取哪些值?能被(1111)2整除，所以n是4的倍数,n=4,8,12,前铺求证：218-1能被7整除.分析：直接用十进制比较困难，我们考虑化为二进制的整除问题.因为218-仁100018个0-1=11川12而7(111)2，于是(218-1)7=11川1(111)2=(1001001001001001)2，所以2181能被7整除.I18个1a拓展计算：蛍3汇31十26的余数.I2003个3/(f)分析：|3汽3汽3*3-1=1000.X0-1=222-2,

20、26=(222)3,I2003个3丿I2003个3丿32003个2丿3所以3x3笛3汇3_12003个3J-(222)3,(222)3整除(222)3,2003-3=6672,所以余数是(22)3=8.【例10】(仁华考题)三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？分析：设等差数列中最小的那个数表示为5进制为(abc)5，最大可为(322)5=99-62=87，最小可为(20)5=10.那么有(abc)5、(abc)5(11)、(abc)5(22)5的数字和依次减少，所以(abcb(11)s、(abch(22)5在

21、运算时均必须有进位，不难发现有(a24)5、(a43h满足，而a可以取0,1,2,于是共有6组符合要求的数列.前铺用a、b、c、d、e分别表示五进制中互不相同的数字，如果(ade)5、(adc)5、(aab)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少？分析：由题意知(ade)5，1=(adc)5,(adc)5，1=(aab)5，根据进位原则知，c=4,b=0.又c-e=1,所以e=3.a-d=1，且a、d只能在1,2中取值，所以a=2,d=1.即(cde)5二(413)5，转化为十进22制的表示为(413)5=45153=(108)w.TOC o 1-5

22、h z【例11】(奥数网原创题)一串数：1,3,4,9,10,12,13,，由一些正整数组成，它们或者是3的幕，或者是若干个不同的3的幕的和，求这串数中的第100项是多少？分析：将已知数改写成三进制数，得：十进制三进制：11011100101110111H观察发现，在三进制数中，各位上的数字均不是2,若将它们看成二进制数，可以看出，它们与十进制数1,2,3,4,5,6,7，对应，第100项与十进制数100对应.因为10010=26+25+22=11001002,所以这一串数用三进制表示，第100项11001003.11001003=36+35+32=729+243+9

23、=981.【例12(仁华考题)称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记做an，并规定a=1.如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9=232,36=2522.它们都是双子数，那么小于1040的双子数有多少个?分析：双子数与二进制的联系，(9)10=(23-2)10=(1001,52(36)10=(2-2)1。=(100100)2，写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，这样的数改写成二进制后只含有2个1，有(1040。=(21024)10=(1000000000010000)2=(10000010000，这样的二进制数为11位数，但是11位数有

24、限制：先看10位数，于是()，这样10位数，选择2个数位填1，其它为0,所以为Go，再考虑11位数，于是(1000001H)，只有4个J”和紧邻的“1”，于是有5种选择，所以共有c!05=50种选择方法，所以这样的“双子数”为50个.拓展一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码I的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=(10010)2是“坏数”试求小于1024的所有坏数的个数.分析：我们现把1024转化为二进制：(1024)10=210=(10000000000)2.于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况.并且，我们把不足10位数的在前面补上0,如1410000.141,

25、=0441贝叽*，可以含2个I,4个1,6个1,85个15个或以上0七I9个1丿2I9个1丿2I10个位置J个I,10个1.于是为C10-C10g6)98)-Cw109,10987,1098765,109876543一2123412345612345678=45+210+210+45+1=511，于是，小于1024的“坏数”有511个.【例13】（奥数网原创题）在地球上有一个矮人国，这个国家不用通常的十进制，而是用大于十的另一种进制.但是该国家的钟表与中国的本质上相同（当然可能钟面标的数字有区别，这不是本质区别）.一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每小时的速度是整数当钟表的时针与分针垂直的时

26、候，司机发现他刚好经过路边的一个里程碑，上面的数字是一个两位数.当钟表的时针与分针再次垂直的时候，司机再次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是刚才那个两位数的数字颠倒过来.当钟表的时针与分针第三次垂直的时候，司机第三次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是一个三位数，是在第一次的那个两位数中间插了一个数字.在该国家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制）111分析：每个小时，时针走过周，分针走过1周，也就是分针比时针多走过周.两次垂直之间，分12121116针比时针多走过半周，所以时间为=-小时.21211显然，第三次所经过的里程碑的首位是1.设矮人国用N进制，

27、设第一次的里程数是仅，则第二次的里程数是X1，再设第三次的里程数是1YX则有1X1YX=X12从个位上看，X+X个位是2,所以2X=N+2,N必须是偶数,X=N1.X1-1X二NX，1-N-X二N(N1)1N-(N1N(N_1).也就是说，车的时速等于222,所以N最小是12,时速是121.N(N-1)亠二11N(N-1)21112六年级还会继续学习数的进制哦!(例4)在几进制中有125X125=16324.分析：因为(125)0X125)!。=(156260,且15625(16324,所以n()(992)10=(1111100000),(22006-1)2=11川1，在二进制中11川1000

28、定能整除2006个1丿2I5个15个或5个以上的02()(1111100000),因为11川100屮3能整除(1111100000),所以余数为(2000个16个0y2543210(111111)=222222=63，所以原式的余数为63.4.(例9)求证215-214，213-212辽11-21022!，2-1能被5整除.分析：2仆_214.21_212211-2102一282-1(2152132112川2)1。(21421221028|1)(1010101010101010)2(101010101010101)2(101010101010101)2又5(101)2，显然(101010101

29、010101)2能被(101)2整除，所以得证.5.(例10)一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数.老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个分析：我们设(3ab)10=(4cd)9=(5ef)8;我们知道(4cd)在(400)(488)之间，也就是4X9-5X9-1，也就是324406;还知道(5ef)8在(500)8(577)8之间，也就是5X86X8-1，也就是320383;又知道(3ab)10在(300)10(399)10之间所以，这样的三位数应该在324383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件6

30、.一个g进制数，N=a5g5-a4g4-a3g3a2g2a1g1a0，要计算它的十进制数时，有一个简便算法：N=(a5ga4)ga3)ga2)ga1)ga0，这样进行5次乘法和5次加法，TOC o 1-5 h z现在请你用简便算法求出六进制数的N.N=312150(6)=10)54321分析：如按a5ga4ga3ga2ga1ga0，则需进行15(=5+4+3+2+1)次乘法和5次加法，显然浪费时间.根据题目中给出的简便算法 HYPERLINK l bookmark101 o Current Document N=312150(6)=365164263162561060=(3X6+1)X6+2)X6+1)X6+5)x6+0=25211(10)莫尔斯-瑟厄数列也可以用别的办法来生成乐音数列：每一代都可以由其前代挂上它的“补数列”而得出，这意味着如果你看到了0110,就在它的后面加挂1001.此外，还有第三种办法来生成它.一开始先写0,1,2,3,然后把它们改写成二进制数：0,1,10,11,100,101,11