新编第二章控制系统的数学模型52318课件

1、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟 拉普拉斯Laplace法国 数学家17491827第二章 控制系统的动态数学模型 研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及特性，而且更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与其动态性能之间的关系。这就要求建立控制系统的数学模型。学习要点数学模型(微分方程)的建立及线性化拉氏变换及拉氏反变换传递函数定义及典型环节的传递函数系统函数方块图及其化简系统的闭环传递函数绘制实际物理系统的函数方块图 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。 微分方程 （时间域） 代数方程（复数域）传递函数方块图信号

2、流图拉氏变换 2-1 数学模型的建立例1 质量-弹簧-阻尼系统例2 无源电路网络练习1 下图为电感L、电阻R与电容C的串并联电路，ui为输入电压，u0为输出电压。iL(t)iR(t)ic(t)例3 有源电路网络例4 电枢控制式直流电动机电机电枢输入电压电机输出转角电枢绕组电阻电枢绕组电感流过电枢绕组的电流电机感应反电动势电机转矩电机及负载折合到电机轴上的转动惯量电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数将上面四个方程联立，可得列写微分方程的一般步骤：1. 将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号；2. 根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写上述各环节的原始方程式，并适当简化，或线性化；3

3、. 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得到只含有输入、输出变量以及参量的系统微分方程式（数学模型）。 2-2 数学模型的线性化实际系统一般都有非线性现象几乎所有实际物理系统都是非线性的。 电机死区 放大器饱和齿轮间隙xixixix0 x0 x0线性化条件1. 非线性因素对系统影响很小。2. 系统变量只发生微小偏移，可通过切线法 进行线性化，求其增量方程。 不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如 。A点附近有点为 ， 当 很小时，AB段可看做近似线性的。AByx0设f(x)在 点连续可微，将函数在该点展开为台劳

4、级数，得：若 很小，则 ，即 式中，K是与工作点有关的常数，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。 单 摆线性化步骤找出静态工作点（工作点不同，所得线性化方程的系数也不同）；在工作点附近展成台劳级数； 变量的偏移愈小，线性化精度越高；略去高阶项，仅考虑台劳级数的一次项，得到关于增量的线性化微分方程。 2-3 拉氏变换及反变换 一种解线性微分方程的简便方法分析工程控制系统的基本数学方法时域微分方程复变函数代数方程 拉氏变换拉氏反变换复变量和复变函数复数有实部和虚部，两部分都是常数。 如：复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 如：复变函数 是 s 的函数，有实部和虚部。如： 复数相加（减）：两个

5、复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。 如：复数相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积（商），相角等于两个复数相角的和（差）。如：复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如： 例如： G(s)平面40S平面20一、拉氏变换定义对于函数 ，若满足下列条件：象函数原函数复变量量纲 拉氏变换的积分下限 若x(t)在t=0处有一个脉冲函数，则必须明确拉氏积分的下限是0+还是0。二、简单函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数 0t12.指数函数 0t14.幂函数 0t应记住的一些简单函数的拉氏变换 原函数 象函数三、拉氏变换的性质1. 叠加性质2. 微分定理两个重要推论：零初始条件3.

6、 积分定理两个推论：零初始条件4. 衰减定理5. 延时定理00tt6. 初值定理7. 终值定理8. 时间比例尺改变的象函数 9. tx(t)的象函数10. 的象函数11. 周期函数的象函数12. 卷积分的象函数例2-1 求单位脉冲函数的象函数 0t例2 求f(t)的象函数 解：四、拉氏反变换拉氏反变换方法利用拉氏变换表（附录A）利用部分分式展开法，再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质MATLAB：r,p,k=residue (num, den)控制系统象函数的一般形式：使分子为零的s值称为象函数的零点使分母为零的s值称为象函数的极点将分母因式分解后，上式包括三种不同的极点情况，采用部分分式

7、展开法进行拉氏反变换。1、只含不同单极点情况对分母分解因式2、含有共轭复极点情况1-103、含有多重极点情况其中 的求法五、用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解微分方程的步骤：1. 对微分方程进行拉氏变换；2. 作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的 时域解。 利用微分定理的推论（1）。习题：求如图所示函数的Laplace变换解：根据图示的阶梯曲线可得阶梯函数的表达式为 f(t) = A1(t) +1(t-T) +1(t-2T) +1(t-3T) + 对阶梯函数f(t)进行Laplace变换得当Re(s)0时，有 一、传递函数定义 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 与输入象函数 之

8、比。 2-4 传递函数及 典型环节的传递函数零初始条件 输入及其各阶导数在t =0时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0时刻均为0。传递函数三要素 线性定常系统; 零初始条件; 输出与输入的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为二、传递函数的性质1. 传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是 s 的有理真分式，表达了系统内在的固有特性，与输入量无关；2. 传递函数有无量纲，应根据输入、输出量的量纲而定；3. 传递函数通常不表明系统物理特性和物理结构；4. 传递函数是单位脉冲响应的拉氏变换。三、传递函数的优点四、传递函数的零点、极点 系统的传递

9、函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数。经因式分解后，G(s)可以写成如下形式： 上式称为传递函数的零极点增益模型，z1、z2,zm称为G(s)的零点；p1、p2,pn称为极点，也是系统微分方程的特征根。K是系统的放大系数。五、典型环节的传递函数1. 比例环节时间域方程例2-9 运算放大器2. 一阶惯性环节时间域方程时间常数例2-11 无源滤波电路例2-12 弹簧-阻尼系统3. 微分环节理想微分环节永磁式直流测速机 近似微分环节无源微分网络4. 积分环节5. 二阶振荡环节= 传递函数列写大致步骤 方法一： 列写整个系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之

10、比。 方法二： 列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求各元件的拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 得出传递函数的形式。六、传递函数在MATLAB中的描述有两种表示方法：1. 2.其中：num=b0,b1,bm-1,bm, den=a0,a1,an-1,an 2.5 方块图及其变换方块图系统中各元件的功能和信号流向的图解表示。2. 比较点（相加点）3. 引出点（分支点）-+1. 方块图单元4. 串联5. 并联 6. 反馈联接 +_联立并消去中间变量+ 具有负反馈结构的传递函数等于前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈回路传递函数的乘积。_ 前向通道传递函数G(

11、s)：从输入端到输出端沿信号传递方向通道上的传递函数之积。即输出信号X0(s)与偏差信号E(s)之比。+ 反馈回路传递函数H(s)：反馈信号B(s)与输出信号X0(s)之比。+7. 方块图等效变换法则 方块图变换法则如【表2-1】 （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积保持不变。变换前后系统输入输出总的数学关系保持不变。方块图变换思路：确定输入量和输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数，然后叠加。利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。比较点和引出点之间一般不宜相互交换其

12、位置。8. 方块图化简 -例2-9 化简方块图-2-6 绘制实际物理系统的函数方块图复阻抗电网络中，电压的拉氏变换与电流的拉氏变换的比值。 绘制系统方块图的步骤如下：（1）列出描述系统各环节的微分方程；（2）令初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换；（3) 按照信号在系统中传递、变换的过程（流向）依次将各传递函数方框图连接起来（同一变量的信号通路连接在一起），系统输入量置于左端，输出量置于右端，得到系统的方框图。例2-23 绘制系统方块图图2-36 无源滤波网络首先列写每个环节的方块图然后将各环节方块图结合成一体等效弹性刚度作用力的拉氏变换与位移的拉氏变换的比值。 粘性阻尼系数为D的阻尼筒可等效

13、为Ds的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和；串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和。-步骤：1、列平衡方程 2、画方框图 3、写传递函数补充内容：闭环系统的传递函数反馈信号B(s)： B(s)=C(s)H(s)偏差信号E(s)： E(s)=R(s)-B(s) （一）给定输入作用下的闭环系统 令 ，则有：-输出量为：其中， 称为前向通道传递函数。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 ，是主反馈通道在相加点断开时从偏差信号到反馈信号 之间的传递函数。由输入量引起的系统偏差传递函数-（二）扰动作用下的闭环系统 此时R(s)=0，结构图如下：-+输出对扰动的传递函数为：

14、 由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s)，偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，系统在扰动作用下偏差传递函数为：-+(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性叠加原理：输出：偏差：【提示】各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征方程。习题1：求系统的微分方程解：由牛顿定律得其中习题2：求系统的传递函数解：对m进行受力分析，可得系统动力学方程为作拉氏变换整理得习题3：求图所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量，为输出角。解：设系统输入为M，输出为，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写系统动力学方程如下：k消除中间变量x，得到系统的动力学方程为习题4：输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)=2x(t)+0.5x3(t)。(1)求当工作点为x0=0， x0=1， x0=2时相应的稳态输出值；(2)在这些工作点处作最小偏差线性化模型，并以对工作点的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。解:（1）将x0=0， x0=1， x0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中，即得当工作点为x0=0， x0=1， x0=2时相应的稳态输出值