新人教版高中数学必修第二册章节测评卷：期中学业水平检测

1、期中学业水平检测山东省烟台市20192020学年度第二学期高一期中测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设复数z=(1-2i)i(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若向量a=(1,2),b=(0,1),ka-b与a+2b共线,则实数k的值为()A.-1B.-12C.1D.23.已知正ABC的边长为2,那么ABC的直观图ABC的面积为()A.62B.34C.3D.684.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=43,b=12,C=6,则此三角形()

2、A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为26的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为()A.45B.(8+63)C.103D.(10+45)6.在平行四边形ABCD中,N为对角线AC上靠近A点的三等分点,连接BN并延长,交AD于M,则MN=()A.-13AB+16ADB.14AB-13ADC.13AB-16ADD.34AB-14AD7.算数书竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V

3、的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V7264L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A.227B.258C.15750D.3551138.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=33b,且B=2A,则cos 2A等于()A.12B.-12C.32D.-32二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.在复平面内,下列说法正确的是()A.若复数z=1+i1i(i为虚数单位),则z30=-1B.若复数z满足z2R,则z

4、RC.若复数z=a+bi(a,bR),则z为纯虚数的充要条件是a=0D.若复数z满足|z|=1,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆10.下列叙述错误的是()A.已知直线l和平面,若点Al,点Bl且A,B,则lB.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面C.若直线l不平行于平面,且l,则内的所有直线与l都不相交D.若直线l1和l2不平行,且l1,l2,=l,则l至少与l1,l2中的一条相交11.下列结论正确的是()A.若AB,则sin Asin BB.在锐角ABC中,不等式b2+c2-a20恒成立C.在ABC中,若C=4,a2-c2=bc,则ABC为等腰直角三角形D.在ABC中

5、,若b=3,A=60,SABC=33,则ABC的外接圆半径为3312.在ABC中,D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点,则下列说法正确的是()A.AB+AC-AD=0B.DA+EB+FC=0C.若AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,则BD是BA在BC上的投影向量D.若P是线段AD上的动点,且满足BP=BA+BC,则的最大值为18三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知复数z=3i1+i(i为虚数单位),则|z|=.14.已知向量a,b的夹角为30,|a|=2,|b|=23,则|2a+b|=.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(

6、a+b-c)=3ab,且a2=bc,则basinA的值为.16.已知一个高为3的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为23的等边三角形,则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE平面CDEF=EF.(1)证明:AF平面BDG;(2)证明:ABEF.18.(12分)已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,aR)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6

7、i=0的两个根.(1)求a,b的值;(2)若复数z满足1|z|a+bi|,则在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积.19.(12分)已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)证明:acos B+bcos A=c;(2)在2c-bcosB=acosA;ccos A=2bcos A-acos C;2a-bcosCcosA=ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.若a=7,b=5,求ABC的周长.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)如图,在三棱锥S-ABC中,SC是高,SC=3,ACBC,AC=BC=2.(

8、1)求三棱锥S-ABC的体积;(2)求三棱锥S-ABC的表面积.21.(12分)如图,四边形ABCD中,AD=2BC.(1)用AB,AD表示DC;(2)若A=90,点E在AB上,AE=2EB,点P在DE上,DP=2PE,|EB|=|BC|=1,求cosCPD.22.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,ADCD,ABAC,AB=23.(1)若ABC=30,CD=3AD,求BD的长;(2)若AC=2,ADB=30,求sinCAD.答案全解全析1.A由已知得z=(1-2i)i=2+i,所以在复平面内z对应的点为(2,1),位于第一象限.2.B由已知得ka-b=(k,2k-1),a+2b=(1,4

9、),因为ka-b与a+2b共线,所以4k=2k-1,解得k=-12.3.D由已知得ABC的面积S=34(2)2=32,所以直观图ABC的面积为3224=68.4.B由正弦定理可得csinC=bsinB,所以sin B=bsinCc=12sin 643=32,因此B=3或B=23,故此三角形有两解.5.D设圆柱的底面半径为R,依题意有R2+222=2622,所以R=5,于是圆柱的表面积S=252+2(5)2=(10+45).6.C依题意,ANMCNB,所以NMBN=AMBC=ANNC=12,所以AM=12BC,NM=12BN,因此MN=-13BM=-13(AM-AB)=-1312AD-AB=13

10、AB-16AD.7.A设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥底面圆周长L=2r,r=L2,V=13r2h=L2h12.令L2h12=7264L2h,得=227.8.A因为a=33b,所以sin A=33sin B,即sin A=33sin 2A=233sin Acos A,于是cos A=32,故cos 2A=2cos 2A-1=12.9.AD对于选项A,z=1+i1i=i,所以z30=i30=(i2)15=(-1)15=-1,故正确;对于选项B,当z2R时不一定有zR,例如z=i,故错误;对于选项C,复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的充要条件应是a=0且b0,故错误;对于选项D,设复数z=x+y

11、i(x,yR),由|z|=1得x2+y2=1,故复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆,故正确.10.BC若一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线在平面内,故A选项正确;若三条直线两两相交,则三条直线可确定1个平面或3个平面,故B选项错误;若直线l不平行于平面,且l,则l与相交,因此内存在直线与l相交,故C选项错误;若直线l1和l2不平行,且l1,l2,=l,则l至少与l1,l2中的一条相交,故D选项正确.11.BCABsin Asin B,只有在三角形中才成立,故A选项错误;在锐角ABC中,每个内角都是锐角,所以A是锐角,于是cos A=b2+c2-a22bc0,因此b2+c2

12、-a20恒成立,故B选项正确;由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,因为C=4,所以c2=a2+b2-2ab,又a2-c2=bc,所以2ab-b2=bc,即2a-b=c,则a=b+c2,所以b+c22-c2=bc,整理可得b=c,于是B=4,A=2,故ABC为等腰直角三角形,即C选项正确;由b=3,A=60,SABC=33,得33=123csin 60,所以c=4,于是a=b2+c2-2bccosA=32+42-23412=13,所以ABC的外接圆直径2R=asinA=1332=2393,所以ABC的外接圆半径为393,故D选项错误.12.BCD由题意得AB+AC-AD=AD0,故

13、A选项错误;DA+EB+FC=-12(AB+AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)=0,故B选项正确;设AB|AB|=AM,AC|AC|=AN,则|AM|=|AN|=1,令AB|AB|+AC|AC|=AQ,则四边形AMQN为菱形,又因为AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,所以D在BAC的平分线上,于是AB=AC,从而ADBC,所以BD是BA在BC上的投影向量,故C选项正确;由于BP=BA+BC=BA+2BD,而P在线段AD上,所以+2=1,故=12212+222=18,当且仅当=14,=12时,取得最大值,为18,故D选项正确.13.答案5解析由已知得z=3i1+i=(3-i)

14、(1-i)(1+i)(1-i)=24i2=1-2i,于是z=1+2i,故|z|=5.14.答案213解析|2a+b|=(2a+b)2=4|a|2+4ab+|b|2=422+422332+(23)2=213.15.答案233解析由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得a2+b2-c2=ab,所以cos C=12,于是C=60,又因为a2=bc,所以sin2A=sin Bsin C,于是basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sin60=233.16.答案93;4327解析如图,依题意PD=3,DC=33AB=3323=2,DM=36AB=3623=1,于是侧棱长PA=22+

15、(3)2=7,斜高PM=12+(3)2=2,所以三棱锥的表面积S=34(23)2+312232=93.当球与三棱锥相切时,其体积最大,设内切球球心为O,半径为R,作ONPM于点N,则PONPMD,则有ONMD=POPM,即R1=3-R2,解得R=33,于是V=43333=4327.17.证明(1)在平行四边形ABCD中,连接AC交BD于点O,则O为AC的中点,连接OG.(1分)因为点G为CF的中点,所以OG为AFC的中位线,所以OGAF.(3分)又AF平面BDG,OG平面BDG,所以AF平面BDG.(5分)(2)因为ABCD,AB平面CDEF,CD平面CDEF,所以AB平面CDEF.(7分)因

16、为AB平面ABFE,平面ABFE平面CDEF=EF,所以ABEF.(10分)18.解析(1)因为z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数,所以lg(a2-4a+4)=0,a2-3a+20,即a2-4a+4=1,a2-3a+20,解得a=3,(3分)此时z0=2i,由根与系数的关系得z0+b=3+2i,z0b=6i,解得b=3.(6分)(2)复数z满足1|z|a+bi|,即1|z|32,(7分)故所求点Z的集合是以原点为圆心,1和32为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.(10分)其面积S=(32)2-12=17.(12分)19.解析(1)证明:acos B+bcos A=aa2

17、+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=a2+c2-b22c+b2+c2-a22c=2c22c=c=右边,所以等式成立.(4分)(2)选择.由2c-bcosB=acosA可得2ccos A-bcos A=acos B,即2ccos A=bcos A+acos B.所以2ccos A=c,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可

18、得7sin60=c437,于是c=8,故ABC的周长为7+5+8=20.(12分)选择.由ccos A=2bcos A-acos C可得2bcos A=acos C+ccos A=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc=2b22b=b,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可得7sin60=c437,于是c=8,故ABC

19、的周长为7+5+8=20.(12分)选择.由2a-bcosCcosA=ccosBcosA可得2a=bcosCcosA+ccosBcosA=bcosC+ccosBcosA,又bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a,所以2a=acosA,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可得7

20、sin60=c437,于是c=8,故ABC的周长为7+5+8=20.(12分)20.解析(1)因为ACBC,AC=BC=2,所以SABC=12ACBC=1222=2.(2分)又因为SC是高,且SC=3,所以VS-ABC=13SABCSC=1323=2.(4分)(2)因为SC是高,SC=3,AC=BC=2,所以SSAC=SSBC=12ACSC=1223=3,(6分)SA=SB=32+22=13,AB=22,所以SAB是等腰三角形,且AB边上的高为(13)2-2222=11,(8分)所以SSAB=122211=22,(10分)由(1)知SABC=2,所以三棱锥S-ABC的表面积为3+3+2+22=8+22.(12分)21.解析(1)因为AD=2BC,