3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(修改)（优选课堂）

1、3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 1青苗学班B我们经常听到这些说法：吸烟对患肺癌有影响；数学好的人物理一般也很好；是否喜欢数学课程与性别之间有关系；人的血型会决定人的性格；星座与人的命运之间有某种联系. 这些说法都有道理吗？2青苗学班B探究1 独立性检验的基本思想 对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为 .分类变量在现实生活中是大量存在的，如是否吸烟，是否患肺癌，宗教信仰，国别，年龄，出生月份等.分类变量x是变量吗？y表示一年四季，则y的取值有哪些？y是变量吗？x表示性别，则x的取值有哪些？3青苗学班B(2)分类变量的取值有时可用

2、数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.对分类变量的理解(1)分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等.4青苗学班B不患肺癌患肺癌总计不吸烟7 775427 817吸烟2 099492 148总计9 874919 965问题：为了研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，得到如下结果：3-7吸烟与患肺癌列联表（单位：人）两个分类变量的频数表，称为列联表思考1：你如何由列联表中的数据判断吸烟是否对肺癌有影响？能不能从患肺癌的人数来

3、判断？应该从什么量来判断？5青苗学班B不患肺癌患肺癌总计不吸烟7 775427 817吸烟2 099492 148总计9 874919 965问题：为了研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，得到如下结果：3-7吸烟与患肺癌列联表（单位：人）在吸烟者中患肺癌的比重是_. 2.28%在不吸烟者中患肺癌的比重是_, 0.54%由计算结果，你会做出怎样的判断？ 你的判断一定正确吗？能知道判断犯错误的概率是多少吗？6青苗学班B等高条形图患肺癌比例不患肺癌比例思考2：除了用比例来判断吸烟是否对患肺癌有影响外？还有其它方法来判断吗？（1）观察等高条形图，你得到什么结论？（2）你的

4、判断一定正确吗？能知道判断的正确率是多少吗？7青苗学班B思考3：通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”但是我们不知道我们判断的正确率有多大，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？为了回答上述问题，我们先假设:H0：吸烟与患肺癌没有关系用A表示不吸烟， B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立，即假设 H0等价于P(AB）=P(A）P(B) . 8青苗学班B3-8吸烟与患肺癌列联表(单位：人) 不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表3-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表思考4：（1）在表3-8

5、中，事件AB发生的频数是什么？ （3）事件B发生的频数是什么？ （2）事件A发生的频数是什么？ （4）P(AB）、P(A）、P(B)分别是什么？它们之间有什么关系？ （5）|ad-bc|越小，说明什么问题？|ad-bc|越大，说明什么问题？9青苗学班B即（a+b+c+d)a=(a+b)(a+c)即10青苗学班B11青苗学班B为使不同的样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量其中n=a+b+c+d为样本容量.思考5：（2）K2越大，说明什么问题？ （1）K2越小，说明什么问题？ 结论：若 H0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小 12青苗学班B不患肺癌患

6、肺癌总计不吸烟7 775427 817吸烟2 099492 148总计9 874919 965请根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算K2的观测值 3-7吸烟与患肺癌列联表（单位：人）13青苗学班B思考6：这个值到底是大还是小，它能告诉我们什么呢？(2）式说明，在H0成立的情况下，K2的观测值超过 6.635 的概率非常小，近似为0.01，所以K26.635是一个小概率事件，基本不发生 思考7：（1）我们计算的K2的观测值k56.632 ，远远大于6.635，它发生的概率大不大？是不是一个小概率事件？（2）你觉H0成立吗？ （3）你的判断会犯错误吗？犯错误的概率有多大？ （4）上述的方法相比

7、于之前讲的两种方法，它有什么优势？ （5）你能总结上述检验方法及它的一般步骤吗？ 14青苗学班B（5）你能总结上述检验方法及它的一般步骤吗？ 结论：在上述过程中，实际上是借助于随机变量K2的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：如果k 6.635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系在该规则下，把结论“H0 成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过0.01, 即有99的把握认为不成立一般步骤：假设两个分类变量X与Y没有关系.计算出K2的观测值k .判断k的值的大小，即k是不是一个小概率事件，从而确定X与Y有关的程度或无关系.15青苗学

8、班B结论：这种判断两个分类变量是否有关系的方法称为“独立性检验”1.定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.思考8：独立性检验与反证法有何异同 ？反证法独立性检验假设命题的结论不正确假设H0：两个分类变量X，Y没有关系在假设的前提下，推出矛盾在H0成立的条件下，得到一个小概率事件所以假设不成立，原命题成立所以H0不成立，即两个分类变量X，Y有关系16青苗学班B2.独立性检验的一般步骤假设两个分类变量X与Y没有关系.计算出K2的观测值k .判断k的值的大小，即k是不是一个小概率事件，从而确定X与Y有关的程度或无关系. 17青苗学班B问题1：如何判断K2的观测值k是

9、大还是小呢？ 这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为K2的观测值k大此时相应于的判断规则为：如果kk0 ，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”. 我们称这样的k0为一个判断规则的临界值按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P(K2k0). 在实际应用中，我们把kk0解释为有(1-P(K2k0) 100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为不能以(1-P(K2k0) 100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据 18青苗学班B0.

10、500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819青苗学班B问题2：如何用独立性检验的方法来检验两个分类变量X和Y是否有关系呢？一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2， 其样本频数列联表（称为22列联表）为：表3-9 22列联表y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的论述为Hl：X与Y有关系，可以按如下步骤判断结论Hl 成立的可能性： 20青苗学班B若要推断的论述为Hl：X与Y有

11、关系，可以按如下步骤判断结论Hl 成立的可能性： 1计算满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 和满足条件X=x2的个体中具有Y=y2的个体所占的比例 .两个比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大也可以通过画出等高条形图，粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是以上两种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度 2可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度具体做法是： 21青苗学班B(3)如果kk0 ，就以(1-P(K2k0) 100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据 根据实际问题需要确定容许推

12、断“两个分类变量有关系”犯错误的上界 ，然后查表3-11确定临界值 ； 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表3-11 临界值表22青苗学班B 例1、在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系;(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？例题解析：思考：根据临界值表，在犯错误的概率不超过

13、0.01的前提下，取的临界值是什么？23青苗学班B患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971 048总计6657721 437(1)相应的等高条形图如下所示，秃顶不秃顶不患心脏病患心脏病解：根据题目所给数据得到如下列联表：由图可认为秃顶与患心脏病有关系24青苗学班B因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系.(2)根据列联表中的数据，得到注意：在熟悉了独立性检验的基本原理后，我们在判断两个分类变量是否有关时，可以直接算出的观测值（不画等高条形图）来解决两个分类变量的独立性检验问题。但是，借助于图形可以更直观地向非专业人士解释所得到的统计分析结果。25青苗学班B26青苗学班B27青苗学班B练习2、在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表数据:存活数死亡数总计未用新药10138139用新药12920149总计23058288试分析新药对防治小白兔是否有效?有99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.解：28青苗学班B练习3、打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调