线性代数相似矩阵及二次型课件

1、相似矩阵及二次型线性代数04目录/Contents4.14.24.34.44.54.6方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵向量的内积、长度及正交性目录/Contents4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵一、向量的内积、长度一、向量的内积、长度 利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式一、向量的内积、长度向量的长度具有下述性质：证明一、向量的内积、长度 (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii).一、向量的内积、长度定义4 由一组两两正交的非零向量组成的

2、向量组，称为正交向量组.二、正交向量组例如，都是正交向量组.定理 1二、正交向量组二、正交向量组解二、正交向量组二、正交向量组二、正交向量组三、施密特正交化过程三、施密特正交化过程三、施密特正交化过程解三、施密特正交化过程取三、施密特正交化过程解例3三、施密特正交化过程四、正交矩阵123证明四、正交矩阵四、正交矩阵四、正交矩阵证明例4四、正交矩阵四、正交矩阵目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵方阵的特征值与特征向量目录/Contents4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特

3、征向量的概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质定义一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法定义一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例 1一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法解由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法得基础解系由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法得基础解系由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法得基础解系由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例 2解一、方阵的特征值与特征向量的概念

4、及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法得基础解系由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法得基础解系由例3解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法性质1二、方阵的特征值与特征向量的性质01OPTION02OPTION二、方阵的特征值与特征向量的性质性质03OPTION二、方阵的特征值与特征向量的性质04OPTION证二、方阵的特征值与特征向量的性质二、方阵的特征值与特征向量的性质二、方阵的特征值与特征向量的性质例 4解二、方阵的特征值与特征向量的性质二、方阵的特征值与特征向量的性质性质3二、方阵的特征值

5、与特征向量的性质证明二、方阵的特征值与特征向量的性质性质4性质5二、方阵的特征值与特征向量的性质证明二、方阵的特征值与特征向量的性质目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵相似矩阵目录/Contents4.3相似矩阵一、方阵相似的定义与性质二、方阵的相似对角化一、方阵相似的定义与性质定理 1证明一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质二、方阵的相似对角化二、方阵的相似对角

6、化推论定理2二、方阵的相似对角化由上面的讨论即有： 例 1解二、方阵的相似对角化二、方阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.4实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的特征值为实数. 性质1一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化二

7、、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例1解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例2解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化正定二次型与正定矩阵二次型及其标准形目录/Contents4.5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形一、二

8、次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义标准形的矩阵是对角阵. 一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形例1解二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵目录/Contents4