数学模型 第一章§1

1、 数学被公认为是一个严格的王国, 正因为这种严格的特性以及基础数学的枯燥乏味, 使许多人望而生畏. 无论是研究数学还是学习数学都是从公理出发, 沿着 定义假设证明推论这么一条演绎的道路进行的. 作为一名科技工作者或者将来的科技工作者, 因工作的需要, 有的是自愿的, 有的是被迫的, 来到数学的殿堂, 目的是寻求数学理论和数学结论的支持, 完善其所做的工作, 也就是需要学会用数学, 也就是将数学知识应用于实践. 一、概论1数学模型与数学建模的基本概念 既然学习数学的目的是应用, 那么, 作为高等教育中的数学教育就应该讲怎样用数学. 我们这门课程的教学目的正是如此. 我们应该将这门课程当作一门技术

2、课程而不是理论知识来学习. 数学理论是枯燥的, 数学结论是完美的, 数学应用是现代科学技术和社会发展所必须的. 马克思曾经说过: “一门科学只有成功地运用了数学时, 才算达到了完善的地步. ” 事实上, 在现代科学技术飞速发展的今天特别是信息技术无处不在的时代, 那么, 数学就会无处不在. 从科学研究到工程技术, 从工业生产到农业发展, 从医药卫生到文化体育, 从经济基础到政策法律, 从环境保护到社会的可持续发展等等, 数学随同计算机渗透到整个社会的方方面面. 学好数学, 用好数学, 将成为当代大学生的必要条件之一. 本课程的教材为: 数学模型: 姜启源编, 高等教育出版社 本课程的参考书:

3、数学实验: 萧树铁等, 高等教育出版社运筹学: 李维铮等编写, 清华大学出版社高等数学实验: 章栋恩等编, 高等教育出版社数学实验室: M.H.College编, 白峰杉等译, 高等教育出版社, Springer出版社数学的原理与实践: 美国数学及其应用联合会(COMAP)组织编写, 申大维等翻译, 高等教育出版社, Springer出版社Mathematica应用指南: 杨珏等编, 人民邮电出版社思维模型物理模型直观模型理想(抽象)模型物质(形象,实物)模型数学模型符号模型模型的分类二、数学模型 或者描述为: 对于现实世界的一个特定问题, 为了一个特定目的, 根据特有的内在规律, 作出一些必

4、要的简化假设, 运用适当的数学工具, 得到的一个数学结构. 数学建模(Mathematical Modeling): 是指对一个特定的现实问题的数学模型的获得、求解这一模型、用其解释现实问题、最终应用于实践的整个过程. 数学模型(Mathematical Model): 是由数字、字母、数学符号组成的, 用来描述现实对象数量规律的数学公式、图形、算法. 1.应用领域分类: 如人口、交通、资源、经济等模型; 2.数学方法分类: 如初等、几何、优化、图论等模型; 3.建模目的分类: 如分析、预报、决策、控制的模型; 4.对模型的了解程度分类: 白箱、黑箱、灰箱模型; 5.模型的数学特性分类: 确定

5、性模型和随机性模型; 静态模型和动态模型; 线性模型和非线性模型; 离散模型和连续模型. 数学模型的分类: 航行问题: 甲乙两地相距750公里, 船从甲地到乙地顺水航行需要30小时, 从乙地到甲地逆水航行需要50小时, 问船速和水流速各是多少? 用x, y分别表示船速和水流速, 依据问题的描述可以用二元一次方程组来描述, 即此式就是航行问题的数学模型, 它将这个实际问题转化为一个纯粹的数学问题. 其解法是大家熟知的, 即 x=20(公里/小时), y=5 (公里/小时), 这就是航行问题的答案. 数学建模和数学模型 在高等数学的微分方程内容中我们介绍了 两个实例, 即物体的自由振荡问题和串联电

6、路的振荡问题, 分别得到了它们的微分方程模型: 从实际(物理)意义上看, 这是两个完全不同的问题, 但是从它们的数学模型来看, 都是二阶常系数线性微分方程, 数学意义上没有区别. 1.模型的逼真性和可行性; 2.模型的强健性(稳定性); 3.模型的可推广性(可转移性); 4.模型的非预制性; 5.模型的局限性; 6.建立模型的条理性; 7.建立模型的渐进性; 8.建立模型的技艺性. 数学模型的特点: 数学建模的具体过程为: 从现实问题出发, 对其进行抽象、简化, 建立符合该现实问题的数学模型, 并利用相应的数学方法进行求解, 进而对问题作出解释, 反复此过程, 直到对问题的解答满意后, 再进行

7、推广应用于与此问题相关的一类问题. 这一点将在数学建模的过程中详细介绍. 由于推广的需要, 有时需要对模型中的参数进行灵敏度分析, 即, 由于参数的变化模型对解的稳定性, 这也是模型优劣的评价标准之 一. 三、数学建模的过程和方法实际问题建立数学模型求解计算应用于实践抽象简化否结束解释实际问题类型方法是结果分析分析预报决策控制数学建模过程框图建立数学模型的步骤 模型准备: 了解背景, 明确目的, 搜集信息, 弄清对象的特征, 了解有关的专业知识. 模型假设: 根据对象的特征和建模的目的, 进行必要的、合理的简化, 用精确的相关专业语言作出假设. 发挥想象力、洞察力和判断力, 辨别主次因素. 模

8、型构成: 根据假设, 分析因果关系, 利用对象的内在规律和数学工具, 构造各个量(常量和变量)之间的数学关系和(或)数学结构. 尽量采用简单的数学工具, 便于应用和推广. 模型求解: 采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法, 特别是计算机技术. 模型分析: 对模型的解进行数学上的分析, 分析变(常)量间的依赖关系和稳定状况, 有时需要给出数学上的最优决策、预报或控制. 要进行误差分析、模型对数据的稳定性分析或灵敏性分析. 模型检验: 把数学结果翻译回实际问题, 与实际的现象或数据相比较, 检验模型的合理性和适用性. 模型应用: 它取决于问题的性质和建模的目

9、的. 建立数学模型的方法 机理分析: 根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 由此建立的数学模型常有明确的现实意义. 测试分析: 将研究对象视为 “黑箱 ”系统, 不直接寻求内部机理, 利用测试系统的输入输出数据, 运用统计分析的方法, 按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合最好的模型. 这种方法也称为系统识别. 往往这两种方法同时使用: 用机理分析建立模型的结构, 用系统识别确定模型的参数. 1.有一定的数学基础知识和运算能力, 如微积分、解析几何、(常)微分方程、线性代数、概率统计、数值分析、运筹学等, 及其相关的解(算)法. 2.有严密的逻辑思

10、维和推理能力; 3.充分发挥想象力和洞察力; 4.掌握科学的方法: 如类比法、递归法、理想化方法等; 5.具有一定的直觉和灵感. 培养数学建模的能力: 与数学建模密切相关的问题是数学模拟, 由于这种模拟是以计算机为重要工具进行的, 所以又称为计算机模拟(Computer Simulation) . 随着计算机模拟技术的发展, 特别是微型计算机的普及, 数学教育工作者们发现, 沿着定义假设证明推论这么一条演绎的道路进行的数学教育完全可以从一条用归纳方法和实验手段进行, 即, 实例上机实验发现规律提出猜想论证证明应用于实践这就是数学实验. 四、数学实验 数学建模与数学实验是新的教育思想的产物. 数学实