2020苏科版九上第二章《轴对称图形-圆》中的最值问题培优训练(2)(有答案)

1、第11贞，共34页第11贞，共34页第11页，共34页2020苏科版九上第二章轴对称图形一圆中的最值问题培优训练(2)班级：姓名：得分：一、解答题1.在下列正多边形中，。是正多边形的中心，定义：08C为相应正多边形的基本三 角形，如图1, 08。是正三角形A3C的基本三角形；如图2, 08c是正方形ABCD 的基本三角形：如图3, 08C是正边形ABCDEF.的基本三角形，将基本三角 形08c绕点。逆时针旋转4a得到 OBY.(1)若线段8c与线段夕d相交于点O，则图1中Na的取值范围是,图3中Na的取值范围是(2)在图1中，若8c与夕厂相交于点0,求证：B0 = C0.(3)在图2中，正方形

2、的边长为4,将基本三角形绕点O逆时针旋转135。得到 。厂，边8C上的一点尸旋转后的对应点为P,若夕P + 0P，有最小值，求出该 最小值及此时8P的长度.(4)如图3,当夕d_L0C时，直接写出a的值.2. 已知：A8C中，AC = 6, BC = 8, AB = 10,点。是边A8上的一点，过C,。两点的。分别与边CA, CB交于点E, F.(1)若点。是A3的中点，在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹，不写作法);如图2,连结EF,若EFAB,求线段石尸的长：请写出求线段EF长度最小值的思路.(2)如图3,当点。在边AB上运动时，线段石厂长度的最小值是.3.如图，在直角梯形

3、ABC。中，AB/CD,乙C = 90。,以A。 为直径的O。与8c相切于点交CD于点、F,连接。 (1)证明：OE平分乙4DC；(2)已知40=4,设CD的长为%(2 V% V4).当 = 2.5时，求弦。上的长度：当x为何值时，DFFC的值最大？最大值是多少?. A, B是OC上的两个点，点P在OC的内部.若乙APB为直角，则称乙4P8为AB关 于OC的内直角，特别地，当圆心。在P8边(含顶点)上时，称44PB为AB关于 OC的最佳内直角.如图1，乙4M8是A8关于OC的内直角，乙力N8是AB关于0 c的最佳内直角.在平面直角坐标系xQv中.(1)如图2, O。的半径为5, 4(0,-5)

4、, 8(4,3)是。上两点.已知阳(1,0),。2(。，3)，3(-2,1)，在44P/,乙4P2从 乙4P3氏 中,是AB关于O。的内直角的是:若在直线y = 2x+b上存在一点P,使得乙1PB是AB关于。的内直角，求的 取值范围.(2)点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，。7与工轴交于点。(点。在 点了的右边).现有点M(l,0) ,N(0,n),对于线段MN上每一点，都存在点八使乙D”E 是OE关于。7的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时，的 取值范围.国用圆第11贞，共34页第11页，共34页.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目:如图，

5、点O为坐标原点，O。的半径为1，点力(2,0).动点B在。上，连结AB, 作等边A8C(48, C为顺时针顺序)，求。的最大值；【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接 OB,以08为边在08的左侧作等边三角形3OE,连接AE.(1)请你找出图中与。相等的线段，并说明理由：(2)线段0C的最大值为一.【灵活运用】(3)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点8的坐标 为(5,0),点尸为线段AB外一动点，且R4 = 2, PM = PB,乙8PM = 90。，求线段 AM长的最大值及此时点P的坐标.【迁移拓展】(4)如图，8c = 4，点。是以BC为直径

6、的半圆上不同于8、C 的一个动点，以8。为边作等边A8D,请直接写出AC的最值.如图1，在平面直角坐标系中，点A, 8的坐标分别为/(8,0)和8(0,6),点/3为工轴 负半轴上的一个动点，画4BP的外接圆，圆心为财，连结BM并延长交圆于点C, 连结CP.求证：Z-OBP = ABC.(2)当OM的直径为14时，求点尸的坐标.(3)如图2,连结0C,求0C的最小值和0c达到最小值时力8P的外接圆圆心M 的坐标.7.如图，力BC三个顶点的坐标分别为4(一4,0), 8(4,0), C(0,3),点。是BC边的中 点.点P以每秒1个单位长度的速度由A向。运动，点Q以每秒“个单位长度的速 度沿0t

7、4运动，P,。同时出发，当点尸到达C点时，P,。同时停止运动.设 运动时间为，秒.(1)当1 = 2时，求P的坐标:(2)点。在的运动过程中，是否存在的值，使PQ + QD最小.若存在，请求 出”的值：若不存在，请说明理由；(3)若a = 3,以尸。为直径作OM,当0 M经过线段BC其中的一个端点时，求f值.8.如图，在ABC 中，AB = AC = 3, BAC = 100,。是 BC 的中点.小明对图进行了如下探究：在线段A。上任取一点尸，连接P8.将线段尸8绕点尸 按逆时针方向旋转80。，点3的对应点是点连接BE,得到ABPE.小明发现，随 着点P在线段A。上位置的变化，点E的位置也在变

8、化，点E可能在直线A。的左 侧，也可能在直线A。上，还可能在直线的右侧.请你帮助小明继续探窕，并解答下列问题：(1)当点E在直线上时，如图所示.4 BEP =:连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图中画出aBPE,使点E在直线AO的右侧，连接CE.试判断直线CE与 直线A3的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AQ上运动时，求AE的最小值.第11页，共34页第11贞，共34页9.【问题发现】如图1,半圆O的直径力8 = 10,点P是半圆。上的一个动点，则P/B的而积最大值是【问题探究】如图2所示，AB. AC.就是某新区的三条规划路，其中= AC = 3km, BAC =

9、60,公所对的圆心角为60。.新区管委会想在俄1路边建物资 总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在公、线段A8和AC 上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按尸t E t尸t P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路尸以EF和FP.显然，为了 快捷环保和节约成本，就要使线段尸瓜EF、尸尸之和最短（各物资站点与所在道路 之间的距离、路宽均忽略不计）.可求得 PEF周长的最小值为 km；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OA8中，乙408 = 90。，OA = 12 米，在围墙QA和上分别有两个入口 C和。，且AC = 4米，。是08

10、的中点， 出口 E在检上.现准备沿CE、QE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草.出口 E设在距直线。8多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多 少？（小路宽度不计）已知铺设小路。上所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路。上所用的景 观石材每米的造价是400元.请问：在翁上是否存在点已使铺设小路CE和OE的总造价最低？若存在，求出 最低总造价和出口 E距直线。8的距离：若不存在，请说明理由.在平面直角坐标系xOy,对于点P(Xp,%)和图形G,设QSq,%)是图形G上任意一 点，Ip-xqI的最小值叫点P和图形G的“水平距离”，1% - yQl

11、的最小值叫点尸 和图形G的“竖直距离”，点P和图形G的“水平距离”与“竖直距离”的最大 值叫做点尸和图形G的“绝对距离”例如：点P(2,3)和半径为1的。，因为。上任一点、(国,%)满足一 1 xQl, 一1 1,所以点尸和O。的绝对距离”为2.已知O。半径为1,4(2,，8(4,1), C(4,3)(1)直接写出点A和O。的“绝对距离”已知。是58。边上一个动点，当点。与O。的“绝对距离”为2时，写出一 个满足条件的点。的坐标；(2)已知七是/8C边一个动点，直接写出点E与。的“绝对距离”的最小值及 相应的点E的坐标(3)已知P是O。上一个动点， /8C沿直线AB平移过程中，直接写出点尸与

12、ABC 的“绝对距离”的最小值及相应的点P和点。的坐标.定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点(非切点)的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.【概念理解】(1)教师通过举例帮助学生加以理解：如图1，48。中，Z.A = 90, AB = 10, AC =的圆心。在8c边上，与AC边相切于点E,并且过顶点&.。0就是5c边上的一个伴随圆.并引导同学求该伴随圆半径的思路：请你根据以上的思路，求出边上的伴随圆的半径r：【问题探究】(2)如图2,在(1)的条件下，。点沿直线C8向左运动到点D使得求此 时48。所有的伴随圆的半径：【拓展应用】(3)如图3,在(2)的条件下，

13、作。关于5点的对称点E,得到ABE, 0 M是BE 边上的一种伴随圆，过圆心M作FG _L ED, 是O M在ED上半圆上任意一点，刃1 FG于J，HI tED于I,连结，K是的中点，当沿着上半圆周逆时针方向运 动时，当“E/度数取最大值时，直接写出线段EK的长.第11页，共34页第11页，共34页.如图，/(0,2), 8(6,2), C(0,c)(c0),以A为圆心AB长为半径的防交y轴正半 轴于点。，劭与3c有交点时，交点为 P为防上一点.(1)若。=6V3 + 2.8c =,废的长为:当CP = 6时，判断CP与04的位置关系，井加以证明：(2)若c=10,求点尸与5c距离的最大值;(

14、3)分别直接写出当c = l, c = 6, c = 9, c = 时，点P与5c的最大距离(结果无 需化简)第11贞，共34页第11贞，共34页答案和解析1. 0a 120 00 a 解：(1)由题意图1中，,力BC是等边三角形，。是中心,乙408 = 120乙a的取值范围是：0a 120,图3中，力BCDEF是正边形，。是中心，Z.BOC =, n乙。的取值范围是：0a, n故答案为：00a 120% 0 a /CD2 + EC2 = I(；)2 + (季产=/IO- 设08 = CF = m, OE = -AB + CD), x + m = 4, m = 4 %, DF-CF= (4 一

15、 x)(2x -4) = -2x2 + 12% -16 = -2(% 3)2 + 2,: -2 V 0,.x = 3时，DF,CF的值最大,最大值为2.4. Z-AP2 B 9 Zj4P3 8 Pi(l,O), 4(0, -5), 8(4,3), AB = V42 + 82 = 4V5 PA = /l2 + 52 =辰,P1B = 732 + 32 = 3仿.Pi不在以AB为直径的圆弧上，故乙AP18不是AB关于O。的内直角，2(。，3),力(0,-5), 8(4,3),P2A = 8, AB = 45, P2B = 4,. P2A2 + P2B2 = AB2, 2P2 B = 90%.乙4P

16、28是AB关于G)O的内直角，同理可得，P3B2 +P3A2 = AB2.乙4P38是AB关于O。的内直角，故答案为：乙4P2乩乙AP3B;(2)：乙4P8是AB关于。的内直角，.乙4PB = 90。，且点尸在。的内部，.,满足条件的点尸形成的图形为如图2中的半圆”(点A, 8均不能取到)，过点8作BDJLy轴于点。，4(0,-5), 8(4,3), BD = 4, AD = 8并可求出直线AB的解析式为y = 2x 5,当直线y = 2x+b过直径A8时，b = -5, 连接OB，作直线O交半圆于点E,过点E作直线EF/8,交y轴于点凡 0A = OB, AH = BH, EH 1AB. E

17、H 1 EF,EF是半圆的切线. ZLOAH =乙OAH,乙OHB = Z.BDA = 90, OAHA BAD. TOC o 1-5 h z OH BD 41 , 1 - , AH AD 32 TOC o 1-5 h z .OH = -AH = -EH9 22 OH = EO,v 乙EOF =乙AOH,乙FEO = LAHO = 90,.-.aeofhoa(asa)9 OF = OA = 5,，：EF“AB,直线AB的解析式为y = 2x-5,二直线EF的解析式为y = 2% + 5,此时b = 5,b的取值范围是一5 Vbv 乙GMH = “MN,乙GHM = ZJWM, ON = GH

18、= 2,/. GHMANOM(ASA), MN = GM =相， 0G =相1， or = V5 +1，当了与M重合时，t = l,.此时I的取值范围是一遍一 1 t 1,若点”与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t = l,另一 个是当TM = 4时，t = 5,.此时，的取值范围是V5,综合以上可得，的取值范围是一行一tV 5.S1理由：MHBC, BOE都是等边三角形， BC = BA, BO = BE,乙CBA = BE = 60%L.CBO =乙力BE,/. CBOE力 8E(SAS),OC =AE.(2)在乙40E中，AE OE = 8。一力B HE = 5 3

19、一夜=2 P(2-V2,V2).(4)如图4中，以8c为边作等边三角形8CM,v Z.ABD =乙CBM = 60,乙48C =乙D8M. AB = DB, BC = BM.ABC DBM(SAS), AC = MD,欲求AC的最大值，只要求出。知的最大值即可，v BC = 4四，乙BDC = 90%点。在以为直径的O。上运动，由图象可知，当点。在3c上方，DMJ.8C时，DM的值最大，最大值为26+2痣, ：,力。的最大值为2右+ 276.当点A在线段8。的右侧时，同法可得AC的最小值为2遍一 2包.6.解：(1)如图1,连结AC,BC为OM的直径， Z.BAC = Z.BOP = 90,:

20、 Z.ACB = Z.APB.408P + APB =乙ABC + Z.ACB = 90,BP = ABC.(2) v ABAC = 90, 4(8,0), 8(6,0)* OB = 6, OA = 8,AB = 10 AC = yjBC2-AB2 = 142 - 102 = 4遍,乙 BOP = LB AC.乙 OBP =乙4BC,OBPsABC,OP OB: = , AC AB8 =喘=4点、捺=9花.点p的坐标为(一 号VKo)：(3)如图2,记直线AC与3，轴的交点为AC LAB,则乙。力E =4。8月=90。一48月0,国1当OC最小时，OCJLnE, 此时，OC = OA - si

21、nZ.0月E = OA sinZ.08月=8 X 2 =33求得点C的坐标为（詈，- 又一点M为8c的中点.v _ 叼+就 _ 64”_ 274/一。一 _点，）的一二一一瓦，.，点M的坐标为葭，力.43 乙37.解：（1）如图1,过点P作PE J.AB,垂足为E, 由题意得：AP = t = 2.在Rt 力0C中，力0=4, 0C = 3c c A0 cos/LPAQ =4 _AE = ,S AP*- AC = 5,86 AE = 一，PE = 一, 55所以0E = , 3（2）如图2,作点。关于x轴的对称点当P, Q, 在同一直线上，且DWjLHC时,PQ+QD最小.如图2,作。PJ.n

22、C,垂足为P，并交x轴于。，4 p r 1 由题意得，cosZLPAQ.Rt 力0C中，2AQ嚏=*贝弓=5二（3）分两种情况：当点。在A T 8的运动过程中，若。M过点C,如图3,连接C。，过C作x轴的平行线FG,分别过P,。作FG的垂 线，垂足分别为F，G, P/交x轴于N,由题意得：AP = AQ = at = 3t.ON =4 易得，P(-4,当，Q(3t 4,0),v PQ是直径,乙PCQ = 90,PFCsCGQ,CF PF一=一，QG CG 33t-4整理得 12t2+851-125 = 0,解得，t = %或t = 5(舍去):若OM过点B, t = g.当点。在8 T a的运

23、动过程中，若。M过点C，如图4,过。作x轴的平行线EG,连接CQ,分别过P,。作FG的垂线，垂足分别为F, G,PQ是直径,NPCQ = 90, PFCs/ CGQ,CF _ PF记一防此时P（各一4,三），（2（12 3tf 0）,.二=上，整理得4t2 331 +65 = 0,解得，t = g或t = 5（P与。重合）: 312-3t4综上所述，满足条件的，值有：=青灯=*笈=5或2 = |8.解：(1)50： EC/ABx（2）如图中，以P为圆心，P8为半径作OP.力D垂直平分线段8C,PB = PCZ.BCE =2乙8PE = 40。， 2,: LABC = 40,a AB/EC.(3

24、)如图中，作力” JLCE于H, A (P)点E在射线CE上运动，点P在线段A。上运动，.，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=48 = 3.解：如图中，Av LBPE = 80% PB = PE,EB = BE = 50。，结论：ABEC.理由：- AB = AC, BD = DC, AD 1 BC, Z.BDE = 90。，乙EBD = 90。- 50。= 40。， 4E垂直平分线段BC,. EB = EC .乙ECB =乙EBC = 40, AB = AC. Z,BAC = 100。. ABC = ACB = 40, Z.ABC =乙ECB,，ABEC.故答案为50

25、； EC/AB；9. 25 3721-9解：【问题发现】如图1,点P运动至半圆。的中点时，底边A8上的高最大，即Po = r = 5,此时 Pn8的面积最大值，10X5 = 25,故答案为：25：【问题探究】如图2,假设P点即为所求，分别作点P关于A3、AC的对称点P- P”,连接PP,分别交A3、AC于点E、F,连接PE, PF,由对称性可知，PE + EF + PF = PE + EF + FP = PP,且P、E、F、在一条直线上,PP即为最短距离，其长度取决于PA的长度，作出部的圆心。，连接A。，与前交于P，P点即为使PA最短的点，,: AB = 6, AC = 3km, LB AC

26、= 60,，力8c是直角三角形，乙48c = 30。，BC = 3痘, BC所对的圆心角为60。，.， OBC是等边三角形，乙CBO = 60。，BO = BC = 3由, ZLABO = 90, AO = 3V7, PA = 3 - 3巡，v Z-PfAE = LEAP. LPAF =匕F力P”, LPlAPu = 2ABC = 120, PfA = APr APfE = LAPUF = 30。， pipu = 2p/A . cos乙力PE = y/3PrA = 3VH- 9，： PEF周长的最小值为3旧一 9，故答案为：3同一9:【拓展应用】如图3 - 1,作0G 1 CD,垂足为G,延长

27、0G交翁于点，则此时 CDE的而枳最大，v OA = OB = 12,力C =4,点。为。8的中点,： 0C = 8, OD 6在COD中，CD = 10, OG = 4.8 GE = 12-4.8 = 7.2,，四边形CODE面积的最大值为S“d。+ S.cde，= ： X 6 X 8 +X 10 X 7.2 = 60 ；2作E77J.08,垂足为，V 乙EOH + 4= 90,乙E。” + (ODC = 90。， 4OEH=4ODC,又二 乙COD =乙EHO = 90,/. COD-A OHEOD EfH=CD OEf6 EfH 1012 ErH = 7.2：图3-2二出口 E设在距直线

28、OB的7.2米处可以使四边形COOE的面积最大为60平方米;铺设小路CE和。石的总造价为200CE + 400DE = 200(CE+ 2DE),如图3 - 2,连接OE,延长OB到点Q,使BQ = OB =，2,连接 EQ,在EOD与QOE中，乙EOD = (QOE,且OD _ OE _ 1涯一而- 5，/. EOD-A QOE9 故QE=2DE,.CE + 2DE = CE + QE,问题转化为求CE+ QE的最小值, 连接G2,交卷于点，此时CE + QE取得最小值为C0, 在RtCOQ中，CO =8, OQ = 24,.，CQ = 8屈,故总造价的最小值为1600和元:作EB_L08,

29、垂足为，连接。,，设E = x,则Q = 3x,；在& E。” 中，OH2 + HE12 = OE2,a (24-3x)2 + x2 = 122,解得,=36-6 历山(舍去),.，总造价的最小值为1600百向元，出口 E距直线OB的距离为叱M米. 5，点A和。的“水平距离”是1,点A和。的“竖直距离”是15又 L5 1,.点A和。的“绝对距离”是1.5.当点。与O。的“绝对距离”为2时，点。的横坐标为3,Y(2,|), 8(4,1), C(4,3),直线AB速度解析式为y = -1% + 4,直线AC的解析式为y = ：% + 2, 44D(3甘，6(3,今,综上所述，满足条件的点。的坐标为

30、(3,9或(3,：).(2)如图2中,第11贞，共34页第11贞，共34页F谭苧，呜,为第11贞，共34页由题意可知满足条件的点E在直线y = %与直线48的交点处.(y = xy=_-+4,解得163，.满足条件的点E坐标为（竿*）.（3）如图3中，过点A作x轴的垂线，过点B作），轴的垂线交于点F,当点F在直线y = % 上时，点P与 ABC的“绝对距离”的有最小值，此时点P即为直线y = x与。的交点（如图所示）.设 F(m, m)则 8 (m + 2, m),:点8在直线y = -：N+4上, 4 m = - 3 (m + 2) + 4,C(m， 此时P小，舁点尸与ABC的“绝对距离”的

31、最小值为。-冬11.解：（1）在力BC中，Z.A = 90% AB = 10,力又OE与AC边相切于点E,乙OEC = 90%L.OEC =乙力=90, ，OE/AB./. OECsR BAC,OE CO 八cl ” 荔=而设OE = OB = r,50二=匚10 吧325.r =不(2)如图2-1中，作4HJLBC于从 点M在8。上，QM经过点8,与A。相切于点K,连接MK,设OM的半径为二sinZ-ABC = sin 乙 D = s AH = AB X 2 = 8, 3 BH = DH = yjAB2 - AH2 = 6, n MK 4，sinZ.D = DM 5r _ 412-r - S16 r = 3如图2-2中，点M在AZ)上，OM经过点A,与8。相切于点K,连接MK,设0 M的半径为几. 八 MK 4,: sinZ.D = 一, DM 5r _ 410-r - 540r = 9如图2 3中，如图作AHjLBD于，8/jL 2D于九点M在AB上，QM经过点从与