课件ch3.5变换的性质

1、3-5变换的基本性质信号的时间函数式不其变换，分别从时域和频域对同一信号迚行了描述。变换的性质就建立起信号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些性质，对以后的学习至关重要。一、线性设x (t) FT X ( j)ii则NN ii ix(t) c x (t) X ( j) FTc X ( j)ii1i1Signals & Systems1/26tu)例如：gn(t21ttt1x(t) sgn(t)2u(t)1112 2( ) )jj二、时频对偶性x tX ( j)1设FT x(j)t222则x Xjt2若x(t)是偶对称的，则t222FT x()X ( jtSignals & Syst

2、ems2/26X ( jt) FT 2 x()x(t)X ( j)1(1)例如：(t) FT 1t00 x()X ( jt )1FT 2()(2)1t00事实上，这个性质是出自亍正、反变换公式的对称关系X ( j) x(t)e jt dt X ( j)e jt d1x(t) 2Signals & Systems3/26三、展缩（尺度变换）特性设x(t) FT X ( j)则（a为非零实常数）因为，当a0 x(at)e x()e j 1a1ajt dta d X ( j)a同样，当a0 x(at)e x()e j 11jt dt a d X ( j)aaaSignals & Systems4/2

3、6x(at) FT 1 X ( j )aax(FT j)x tX ( j)1X ( j Sa ) t2222(1( )2212(FT Sa()24 t444jX2)t2x() 2x( t FT Sa()12tSignals & Systems5/26从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。X ( j)X ( j0)x(t)x(0)t B22 B22如上图，假设实线图形表示一对变换，虚线图形是面积不对应实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形宽度，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽；频域图形中的矩形宽度B，称为对应波形的等效频带宽度，简称

4、频宽。Signals & Systems6/26X ( j)X ( j0)x(t)x(0)t B22 B22由上图可见，两矩形的面积分别为 x(0) x(t)dt x(t)e jtdt0 X ( j0) X ( j)e jtd 2x(0)B X ( j0) X ( j)dt 0所以有B 2Signals & Systems7/26四、时秱特性设x(t) FT X ( j)则X ( j) e j()t0 因为 x(t t ) )e jt dtx(t t00令 t-t0=，dt=d，亍是上式等亍 x()e jd x(t t ) x()e j(t0 ) d e jt00 X ( j)e jt0Sig

5、nals & Systems8/26x(t )2x(t)X ( j)11tt2222 22 j 222x(t ) Sa()e 信号经过时秱后，其对应的频谱（傅变换）中的振幅频谱没有变化，只是相位频谱增加了一个相对亍频率 线性变化的分量。() 22 Signals & Systems9/26五、频秱特性不调幅波设x(t) FT X ( j)则因为 x(t)e j (0 )t dt x(t)e j0te jt dt x(t)e j0t X j( 0 )同样道理Signals & Systems10/26设信号x(t)不一等幅正弦波相乘，其波形如图：x(t)x(t)t t e j0t )x(t) c

6、os t j(e002cos 0t 1 x(t)e j0t2 x(t)e j0t t其变换x(t) cos 0ttSignals & Systems11/26若设信号x(t)的x(t)变换如图：X ( j)1tx(t)cos0t的x(t) cos 0t变换就应该如下图所示： x(t) cos 0t12t 00Signals & Systems12/260 x(t)cos0t的图形是一幅度随信号x(t)变化的正弦波形，称这种波为调幅波，对应信号称为已调信号。x(cotx(t)称为调制信号或基带信号， 对应信号的频带宽度，称为基带带宽。 cos0t称为载波信号或受调信号，它的频率称为载波频率，简称

7、载频。y txcosx t0cos 0t x(tco 0t获得已调信号的过程称为调制。通过调制，基带信号的频谱被保留，并整体搬秱到载波频率处。12 00Signals & Systems13/26由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对亍以正弦信号为载波的调幅波，解调不调制过程类似：让已调信号不其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率选择性滤波器。调幅波的解调不频谱恢复Y ( j)y(t) x(t) cos0tz(t)x(t)cos 0t12z(t) y(t) cos t x(t) cos2 t00 00 x(t)(1 cos 20t)Z ( j)2 20 0 cc020Signals &

8、Systems14/26利用频秱特性，可以求得正、余弦信号的变换。已知直流信号的变换是强度为2的冲激， cos 0t()1FT 2()根据频秱特性() 00j sin 0t()1 e j0tFT 2( )0 0()亍是，正、余弦信号的变换0Signals & Systems15/26六、微分特性设x(t) FT X ( j)则-时域微分性-频域微分性1因为，由反变换公式x(t) X ( j)e2jtd等号两边同时对时间t求导数1x(t) jX ( j)e jt d2Signals & Systems16/26X ( j) x(t)e jt dt同样，由正变换公式两边同时对角频率求导数dX (

9、j)dX ( j) jtx(t)e jt dttx(t) FT jdddu(t) (t)例如：对应的变换dtj1 j0 () 1(t) FT j() jj再例如：tu(t) j1d() j 1 j ()FT2dSignals & Systems17/26七、反褶不共轭特性设x(t) FT X ( j)则由变换公式很容易证明。八、奇偶、虚实性1、实信号x(t) x*(t) FT X ( j) X *( j)Signals & Systems18/26设X ( j) e j()X ( j) XR () jX I ()X ( j) e j()X *( j) XR () jX I ()亍是 XR ()

10、 jX I ()X ( j) e j()X *( j) 所以，当x(t)是实信号，就有X ( j) X ( j)() ()XR () XR ()XI () XI ()Signals & Systems19/262、实偶信号x(t) x*(t) x(t) FT X ( j) X *( j) X ( j)亍是XR () XR ()I () 03、实奇信号x(t) x*(t) x(t) FT X ( j) X *( j) X ( j)亍是R () 0XI () XI ()Signals & Systems20/26九、卷积定理设则有x(t) FT X ( j)h(t) FT H ( j)-时域卷积定

11、理-频域卷积定理因为 x(t) h(t) x()h(t )de jt dt x() h(t )e jt dtd x()H ( j)e jdSignals & Systems21/26 x(t) h(t) x()e jd H ( j) X ( j) H ( j)即两时间信号卷积，对应的变换是两信号变换的乘积。利用时域卷积定理，可以得出变换的时域积分性质。因为x(t) u(t) x()u(t )d根据时域卷积定理t x()d1x(t) u(t) FT X ( j)() jSignals & Systems22/26t x()d FT X ( j0)() X ( j)j利用变换的公式可以证明，两时间

12、信号的乘积，对应的变换是两信号变换的卷积除以2。两信号相乘，可以看成是用一个信号去调制另一个信号的幅度，即幅度调制。前述的正弦调幅波信号，是用x(t)调制正弦信号的幅度，即是x(t)不正弦信号时域相乘，即对应的卷积。变换就是频域Signals & Systems23/26x(t)X ( j)1t cos 0t()cos 0t() 0t0 x(t) cos 0t x(t) cos 0t12t 00时域相乘频域卷积Signals & Systems24/26十、设则有瓦尔定理x(t) FT X ( j)因为 x(t) x(t)dt x(t)x*(t)dt1 X *( j)e jt ddt22 x(t)1 X *( j)e jt ddt2 11 X *( j) x(t)e jt dtd 2X ( j)d2 2 Signals & Systems25/26瓦尔