课件其他自动控制理论

1、 5-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 一、 绘制根轨迹的基本条件系统特征方程 1+G(s)H(s)=0根轨迹方程 G(s)H(s)=1幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件:G(s)H(s)=(2q+1), q=0,1,2,开环传递函数(1)幅值条件(必要条件)(2)相角条件(充要条件)绘制根轨迹只要依据相角条件就可以,而幅值条件用来确定根轨迹上各点对应的 k1值。例5-1 单位反馈系统的开环传递函数为 在s平面上取一试验点s1= -1.5+j2.5,试检验它是否为根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。解：开环极点为： p1=0, p2= 2, p3= 6.6 ;

2、开环零点为： z1= -4,根据相角条件可知s1确实是根轨迹上的一点。根据幅值条件二、绘制1800根轨迹的规则规则1 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹对称于实轴, 分支数 = n规则2: 根轨迹的起点和终点 起始于开环极点,其中m条终止于开环有限零点, n-m 条终止于无穷远处的零点。规则3：实轴上的根轨迹 在实轴上根轨迹区段的右侧,开环实零点和实极点数目之和为奇数。规则4： 根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的交点为: n-m条渐近线的倾角为:规则5： 根轨迹的分离点、会合点 必须满足方程 规则6： 根轨迹的出射角和入射角出射角入射角规则7： 根轨迹与虚轴的交点 两法: 用劳斯判据求解; 将 s=j

3、w带入特征方程求解。例5-2 已知开环传递函数试绘制其根轨迹图。解 1. 起点 p1=0, p2= 1, p3= 2, n=3 终点 趋于无穷远处零点 m=0 2. 实轴上 -1, 0, (-, -2 之间为根轨迹段3. 渐近线 n-m=3 条 倾角 交点 解得 s1=-0.423(分离点) s2= -1.58 (略去)4. 分离点5. 与虚轴交点 D(s)= s(s+1)(s+2)+K1=0 或 s3+3s2+2s+K1=0(1) 用劳斯判据求解 s3 1 2 s2 3 k1 s1 s0 k1 D(s) = s3+3s2+2s+k1=0(2) 令特征方程中的s=jw, 然后令其实部、虚部分别

4、等于零。 D(s) = s3 + 3s2 + 2s + k1=0(jw)3 + 3(jw)2 + 2(jw) + K1 =0 化为 (K13w2) + jw(2w2) = 0根轨迹与虚轴交点-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20图5-6 例52的根轨迹xxxK1=6jws根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj08. 闭环极点的和与积 系统特征方程(nm时)为例5-5 已知与开环传递函数相对应的根轨迹与虚轴的交点 ，求交点处的临界K1值及第三个特征根。解 系统特征方程为 s3

5、+3s2 + 2s +K1=0得 s3=3-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20例55的根轨迹xxxjwsK1=6K1=6K1=6s3=3【例5-6】 已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）p1=0，p2=-3, p3,4=-1j，无开环零点。（2）根轨迹分支数 n=4 条。（3）在实轴上 -3, 0之间为根轨迹段。（4）渐近线 nm = 4 条。(5) 由特征方程求分离点。解得根为s1=-2.3(分离点), s2,3=-0.73j0.37(略)分离角为90, 对应于分离点处的K1值(6) 求出射角由对称性知 qp4=71.60(7) 求根轨迹与虚轴的交点。特征方

6、程 s4 + 5s3 + 8s2 + 6s + K1=0s4 1 8 K1s3 5 6s2 34/5 K1s1 s0 K1 辅助方程 (34/5)s2+K1=0, 令s=j，K1=8.16 代入上式，求得=1.1处, 对应的K1=8.16，根轨迹如图5-9所示。 -8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345 =0.5 p3 p2 p4 p1 j 0.7 -0.4 j1.1 k1=8.16 图5-9三、闭环极点的确定: 求具有=0.5的复数极点对应的K1值及另外两个闭环极点。解 (1)求复数极点对应的K1值 根据=0.5线与根轨迹的交点，可以确定一对共轭复数极点为-0.4j0.7。对应

7、的根轨迹增益K1值(2) 求K1=2.91时的闭环极点用试探法可以找到另外两个闭环极点。它们位于负实轴的s= -1.4和 s=-2.85处。因此,系统的闭环传递函数为【例5-7】已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）p1=0，p2=-4, p3,4=-2j4，无开环零点。（2）根轨迹分支数 n=4 条。（3）在实轴上 -3, 0之间为根轨迹段。（4）渐近线 nm = 4 条。(5) 求出射角由对称性知 qp4=900(6) 求分离点。(7) 求根轨迹与虚轴的交点。-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468 p3 p4 p2 p1 图5-10j 【例5-8】已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解 绘制非最小相位系统的根轨迹与最小相位系统一样，前述规则完全适用。(1) 起点 p1=0.5，p2=-2； 终点 z1,2=1 j2。(2)在实轴上 -2, 0.5之间为根轨迹段。(3) 分离点(4)与虚轴交点 K1=0.75 w=1.25(5) 入射角-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-3-2-10123Root