高中物理选择性必修37.4二项分布与超几何分布（精讲解析版）

1、7.4 二项分布与超几何分布（精讲）思维导图常见考法考法一 二项分布【例1】（2020全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中

2、落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，理论上，小球落入4号容器的概率.（2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3，的分布列为0123【一隅三反】1（2020重庆市第七中学校高二月考）若随机变量，则（ ）A2B3C4D5【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.2（多选）（2020全国高二单元测试）已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）A5B6C7D8【答案】BC【解析】令，得，即当时，；当时，；当时，所以和的值最大.故选

3、：BC.3（2020江苏淮安市淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量求随机变量的概率；求的概率分布列以及数学期望【答案】（1）；（2）；分布列见解析，.【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件，；因此，该校最终选

4、地理的学生为；（2）由题意可知，所以，；由于，则，所以，随机变量的分布列如下表所示：4（2020陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.（1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）答案见解析；.【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件，.（2）由题意可知的可能取值为0，2，4.，.故的分

5、布列为：024.考点二 超几何分布【例2】（2020全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下(如：落在区间10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在10，20)，20，30)，30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，

6、求其中含有一级运动员人数Y的期望【答案】（1）a0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.06250.05000.0375a20.0125)51，a0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 50.037 5)50.25，选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25164人（2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)， P(X2)， P(X3)， X的分布列为X0123P （3）由已知得YB， E(Y)np3，含有一级运动员人数Y的期望为.【一隅三反】1（2020全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控

7、，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人，其中男生12人，女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，测试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分，不优秀得1分.（1）应抽取男生女生各多少人？（2）若抽取的7人中，4人的测试效果为优秀，3人为不优秀，现从这7人中随机抽取3人.（i）用表示抽取的3人的得分之和，求随机变量x的分布列及数学期望；（ii）设事件为“抽取的3人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的”，求事件发生的概率.【答案】（1）人；（2

8、）（i）分布列答案见解析，数学期望：；（ii）.【解析】（1）因为采用分层抽样的方法进行抽样，所以应抽取女生人，抽取男生人.（2）（i）随机变量的所有可能取值为3，4，5，6.， ，所以随机变量的分布列为3456数学期望.（ii）由（i）知，故事件发生的概率为.2（2020绵阳市四川省绵阳江油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.（）设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率;（）设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列

9、和数学期望.【答案】（）（）分布列见解析，数学期望【解析】（）由已知有，所以事件A发生的概率为.（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，所以随机变量X的分布列为XP所以随机变量X的数学期望.3（2021北京东城区）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）.【答案】（1）（2）详

10、见解析（3）【解析】（1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,由题意可知,.（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为0,1,2,3,4.由题意可得；.所以随机变量的分布列为01234随机变量的均值.(3).考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例3】（2020浙江台州市高二期中）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出

11、3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所

12、以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、.，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【一隅三反】1（2020辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率；（2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.【答案

13、】（1），；（2）分布列见解析，.【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又且A2，A3互斥，所以（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（1），所以X的分布列是X01234P显然 ，所以的数学期望E(X)=2（2020广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;

14、(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：，X的分布列为：X123P ，Y的分布列为：Y0123P （2），甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大3（2021哈尔滨市）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方法一：一次性随机抽取2件；方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品数为.（1）求两种抽取方式下，的概