《数学建模课程》练习题一

1、数学建模课程练习题一、填空题1.设开始时的人口数为X。，时刻t的人口数为x(t),若人口增长率是常数r ,那麽人口增长问 题 的 马 尔dx一 rx,x(0) Xo dtx(t) xoert;斯 模 型 应 为O2.设某种商品的需求量函数是Q(t)25P(t) 1200,而供给量函数是G(t) 35 P(t1) 3600 ,其中p(t)为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是803.某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为 200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为*. *T 19,Q2090.4. 一个连通图能够一

2、笔画出的充分必要条件是图中奇点个数为0或2.5.设开始时的人口数为x0,时刻t的人口数为x(t),若允许的最大人口数为 xm,人口增长率由r(x) r sx表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为dxdtxxmrx(1 一)，x(0)x0 x(t) -Xm1(汰 1)e rtx。6.在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关:(1)参加展览会的人数 n ;(2)气温T超过10 C ； (3)冰淇淋的售价 p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为N Kn(T10)/P,(T 100C), K 是比例常时间，存入的钱才可翻番.若7、若银行的年利率是 x%,则需要_ln2/ln(1 x%

3、)每个小长方形街路的.如图是一个邮路，邮递员从邮局A出发走遍所有长方形街路后再返回邮局边长横向均为1km,纵向均为2km,则他至少要走 _42 km. A.设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为 100件，且设产品生产的增长率0 1t控制在0.1, t时刻广品量为x（t）,则x（t）=x（t） 100e. ;.商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是Q 80 2p, p是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 p 25.二、分析判断题1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建

4、立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层 的高度、层数等3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相 关资料4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型2.某种疾病每年新发生 1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.根

5、据题意可知：下一年病人数 =当年患者数的一半+新患者.于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：Xn 10.5Xn 1000由X。 1200，可以算出2005年时的患者数 X51975人.递推计算的结果有，1、Xn X0 2000（1 ）.2容易看出，Xn是单调递增的正值数列，且Xn2000，故结论正确. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列 出3种。（1）车流的密

6、度 （2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等。.某营养配餐问题的数学模型为minZ=4x1+3x2 TOC o 1-5 h z 10Xi 5x250,5xi8x240,(2).t.6x15x2 42,(3)x1, x20其中x1, x2表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件(1)、(2)、(3)依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解x(2,6)T ,试分析解决下述问题：(1)假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？ (2)本题最后定解时，只用了直线(1)与直线(3),而直线(2)未

7、用上，这件事说明了 什么？试从实际问题背景给以解释.(1)因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无 界解；(2)将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。5.据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。也 就是说，这个比值越接近0.618,就越给人以一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高比都低于此数值，大约只有0.58 0.60左右。设躯干长为x ,身高为l , 一位女士的身高为1.60(m),其躯干与身高之比 x

8、:l 0.60,若其所穿的高跟鞋高度为 产生最美的效应值。(单位与那么，她该穿多高的高跟鞋( d = ?)才能穿高跟鞋后新的比值应为0.6l d 人. 令l d0.6l d0.618, l d由此可解得d 7.54(cm).三、应用题1.从厂家A往B、C、D三地运送货物,中间可经过 9 个转运站 E1,E2,E3,F1, F2,F3,G1,G2,G3.从A到E1,E2, E3的运价依次为3、8、7;从E1到F1,F2的运价为4、3;从E?到51下2下3的运价为2、8、4;从E3到F2,F3的运价为7、6;从F1到G1,G2的运价为10、12;从F2到G1，G2,G3的运价为13、5、7；从F3

9、到G2,G3的运价为6、8;从G。UB,C的运价为9、10;从G2到B,C,D的运价为5、10、15;从G3到C,D的运价为8、7。试利用图模型协助厂家 制定一个总运费最少的运输路线。1、先建立模型（图1）,然后使用双标号法求解，得到图2。 TOC o 1-5 h z 图1图2由图2进行逆向搜索可知，从厂家 A到B只有一条路线最短： HYPERLINK l bookmark40 o Current Document AElF2G2B,lmin16；从厂家A到C有两条最短路线可选择：AEiF2G2C,Im.21,AE1F2G3C,lmin21；从厂家A到D也只有一条路线最短：A 日 F2G3D,

10、 lmin 20.试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用:表2单位：百元/吨个、J肖地产运小B1B2B3B4产量A1352920A24751215A369101125销量10201515易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们利用最小元素法可得初始方案如表1,Ai35215)920A24751215A369101125销量10201515使用闭回路法可得负检验数为12=-1 ,故令X12进基。再使用闭回路法进行调整知Xii出基,便得新的运输方案，再进行检验知，所有检验数j 0,故上述方案即为最优运输方案。最小费用为385 (百元)。.某工厂计划用两种原材料 A, B生产

11、甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3 (百元)乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5: 2,试建立线性规划模型以求一个生产方案， 使得总产值达到最大，并由此回答：最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .原材料的利用情况.设X1,X2表示甲、乙两种产品的产量，则有原材料限制条件：X1 3x2 22和X1 x2 20,又由产品乙不超过 6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：x2 6,以及 2X

12、1 5x2 0,目标函数满足 max z 3x1 9x2,便可以得到线性规划模型：s.t.max z3x19x2X13x222,XiX220,X26,2x15x20,X1,X20.(1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组(这是因为第一个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等)，其中的两个方案为该直线段上的两个端点：X1(4,6)T,X2 (10,4)，目标值均为 z 66 (百元).(2)按照上面的第一个解，原材料 B将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原材料B将有6个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料 A都全部充分利用.两个水厂Ai, A2将自来水供应三个小区Bi, B2

13、, B3,每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案，使总供水费最小?小区/元BiB2B3供应量/ tA11064170A2756200需求量/ t160901505、有某种物资从城市 Vi运往城市V9 .中间可以通过V2,L ,V8七个城市运抵目的地。 各城市之间的可通道路及其间距离如图所示（单位：km）.试设计一个从V1到v9的运输路线，使得总运输路程最短，并求出最短路线本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题为此，虚设一个水厂A。,其供水量为30吨，相应的运价均定为 0,便得到一个产销平衡的运输问题如表所示:小区/元B1B2B

14、3供应量/ tA11064170A2756200A000030需求重/ t16090150再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为:Ai20B2,Ai150B3，A2130Bi，A270B2,小区Bi将有 30 吨水的缺口总费用为6 20 4 150 7 130 5 70 1980 （元）.使用双标号法可得知，本问题有两条最短路线，分别是：V1V4V3V5V7V9,lmin18；V1V4V6V5V7V9,lmin18.数学建模课程练习题二一、填空题.若y z, z x,则y与x的函数关系是 _ y kx, k是比例常数 .有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相

15、等，则鱼尾摆动的次 数T (次/秒)、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为 V kTL; .已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍，且它的平均密度是地球的 s倍，则此行星质量是地球的 _sd3 倍.马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 长率是常数还是人 口的递减函数.设S表示挣的钱数，x表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 S kx, k 0是比例常数._.在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有m1个顾客，每人都买了 n1件商品，队2有m2个顾客，每人都买了 出件商品，假设每个人付款需 p秒，而扫描每件商品需

16、 t秒秒，则加入较快队1的条件是 .m1(p n1t) m2( p n2t);.在建立人口增长问题的逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率r是人口数量x(t)的递减函数，若最大人口数量记作xm,为简化模型，采用的递减函数是 .r(x) r sx,其中r, s均为正常数;. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%,饮料起码要花30元,用 f和 d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是d f 100, f /( f d) 0.4, d 30.设某种商品的需求量函数是Q(t)25P(t) 1200 (万件)，其中p(t)为该商品的价格函数，那么该商品的社会最大需求量是 .1200

17、(万件)；.设某种商品的供给量函数是 G(t) 36P(t 1) 3600 ,其中p(t)为该商品的价格函数，那麽该商品下一时段的价格达到 100.,才能迫使供给商停止供给。二、分析判断题.地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假 TOC o 1-5 h z 设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示撤离时人员的分布状态 S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥挤程度r、人员所在地与安全地点的距离 L、人员撤离完毕所需要的总时间t等.假设某个数学模型建成为如下形式：

18、HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 21Mx 5 x2P(x) 1 (1 -7)2exxa试在适当的假设下将这个模型进行简化.)22，从而有 2a(1x 当一较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为ax2 _, xP(x) 3xex .若x也很小，则可以利用 ex1 x将其进一步化简为 TOC o 1-5 h z 2 P(x) 2x(1 x ).2a2.要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个：(1)教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒

19、体的要求和课程种类的限制等；(2)学生：是否连续上课，专业课课时与共同课是否冲突，选修人数等；(3)教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；. 一起交通事故发生 3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又过两个小时，含量降为 40/100(mg/ml),试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定(不超过 80/100 (mg/ml).设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为C/ kC,其通解是C(t) C(0)ekt,而C(0)就是所求量.由题设可知C(3) 56,C(5) 40,故有C(0)e 3k 56 和 C(0

20、)e5k 40,2k_3k由此解得 e 56/40 k 0.17C(0) 56e94,可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.5、为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费，在一般月用水量的平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度。对此问题建立模型应该考虑那些问题和因素？至少列举三个。从问题角度说，应该考虑低收入家庭的承受能力，必须进行调查研究；从制定何种收费模型角度看，需要研究模型的结构，譬如分几段收费等；用水的平均值数据怎样获得，分段力度达到多大；既要考虑平民百姓，也不能不考虑高收入人群，怎样兼顾等。三、应用题1.某铝合金加工单位要加工一

21、批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)长度的料各两根，总计要加工 20套，所用原料的长度均为4.6(m),试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？,先列出所有可能的截料方案:T案尺寸1232.2米0121.5米310料头长0.10.90.2由此假设，按照方案 1、2、3分别需原料x1,x2,x3根，以z表示总料头长，则有min z 0.1x1 0.9x2 0.2x3 TOC o 1-5 h z X22x340,3x1x240,x1， x2, x3N由两个约束条件得x3(40 x2)/2,x1(40 x2) / 3, 一起代入目标函数得16 23z 一 一 x2,33

22、0一一人40 一， 可见应令x2 0,x1 9，x3 20.但x1非整数，于是可将原问题添加条件构成两个新的整数规划问题:min z0.1x10.9x20.2X3min z 0. 1x10.9X20.2X3X22x340,X22x340,(1) 3X1X240,(2)3X1X240,X113, X1,X2,X3NX114,X2, X3,X1N其中问题（2）无解，而（1）可同上求解得X320 注,-40-x2，但 Xi 13X2 1,23 1代入目标函数可知 X2 1X1 13,X3 19.2依此再进行分支和求解，最后获得解为X1 12,X2 4, X3 18Zmin 8.4.即按照方案1、2、

23、3各自截12、4、18根原料即为最优方案.2.求如图所示网络中 V1到V9的最短路线及其路长.利用双标号法可得下图:故得V1到V9的最短路线（两条）及其路长分别为第条：v1v4v3v5V7V9 ； l min18.第二条：V1V4V6V5V7V9 ； l min18.一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为 3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原 料依次为2、3、5个单位，产值为 680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：最优

24、生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .原材料的利用情况.设“，*2表示甲、乙两种产品的产量，则有 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 原材料限制条件：3x12x290,2x13x230,8x15x280,目标函数满足 max z 580 x1 680 x2,合在一起便是所求线性规划模型，其中xj 0,j1,2.(1)使用图解法易得其最优生产方案只有一组(这是因为所有约束条件所在直线的斜率与 目标函数直线的斜率均不相等)，从而最优方案没有可选择余地.计算知最优解为： HYPERLINK l bookmark70 o Current Document *45 40 t 53300一X(一, 一),目标值为 maxz (万兀). HYPERLINK l bookmark72 o Cur