考点36　三角函数的综合应用课件-2021年浙江省中职升学数学一轮复习

1、知识要点三条边和三个内角正弦余弦考点36三角函数的综合应用1.解三角形是指求解三角形的_.2.反映边角关系的有两个重要定理，它们分别称为_定理和_定理；三角形的面积公式是_.3.解三角形的常见题型：（1）已知三边；（2）已知两边及一边的对角；（3）已知两角一边；（4）已知两边及夹角.4.三角形中常见的结论：A+B+C=；三角形中大边对大角，反之亦然；任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB ab sinAsinB；三角形内的诱导公式：sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=cosC；tan（A+B）=tanC；cos =s

2、in .S= bcsinA= absinC=acsinB知识要点5.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫做仰角，目标视线在水平视线_叫做俯角（如图）.（2）方位角指从_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角（如图）.上方下方正北基础过关1.在ABC中，下列表示不一定成立的是（）A.A+B+C=B.sinAsinBsinC0C.a+bc D.cosAsinBsinC02.在ABC中，若a+b=8，C=60，则ABC的面积的最大值为（）A.8 B.4 C.4 D.23在ABC中，若acosBbcosA，则ABC一定是

3、（）A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰或直角三角形当A为钝角时，cosA0.用正弦定理将原等式进行化简SABC= absinC = =4 .DBB基础过关4如果某人在向东走2 km后，向右转某个角度继续朝新方向走3 km，结果与出发点的距离恰好为 km，那么他转的角度是_(用角度制表示)5在ABC中，若B30，b ，a2，则SABC_.6.在ABC中，若cosA= ，cosB= ，则cosC=_.在ABC中，cosA= ，cosB= ，sinA= ，sinB= ，cosC=cos（A+B）=（cosAcosBsinAsinB）= .150典例剖析【例1】在ABC中，已知tanB=

4、，cosC= ，AC=3 ，求ABC的面积.又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC解：在ABC中，tanB= ，B=60，sinB= ，cosB= .cosC= ，sinC= 又 = ，AB= =8.= + = ，SABC= ACABsinA= 3 8 =6 +8 .【思路点拨】本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合应用，同时考查三角函数的恒等变形.典例剖析解：SABC bcsinA ，bc 4.由余弦定理得a2b2c22bccosA，即( )2b2c22bccos120，b2c2bc21，b2c22bc25，即bc5，ABC的周长为 5.【变式训练1】

5、在ABC中，已知a ，A120，SABC ，求ABC的周长【关键点评】灵活地运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行解答解三角形的问题典例剖析【例2】在ABC中，C=60，a+b=4.（1）试写出ABC的面积S与a之间的函数关系式；（2）当a为何值时，S有最大值？并求出Smax；（3）当a为何值时，周长L有最小值？并求出Lmin.解：（1）b=4a，当a=2时，Lmin=4+2=6.S= absinC= a（4a）sin60= a2+ a（0a4）.（2）由（1）得S= （a2）2+ ，当a=2时，Smax= .（3）c= L=a+b+ =4+ 典例剖析【变式训练2】如图所示，已知ABC的周

6、长为60米，B= ，AC=20米，求：（1）ABC的面积y与AB的长x（10 x30）之间的函数关系式；（2）当AB长x为多少时，面积y取得最大值？最大面积为多少？解：（1）设AB=x（米），则BC=（40 x）米，由题意得SABC=y= x（40 x）sin = x（40 x）（10 x30）.（2）y= （x240 x）= （x20）2+100 .当x=20时，ymax=100 .当AB的长为20米时，ABC取得最大面积为100 平方米.【关键点评】本题是一个综合性较强的解答题，不仅用到余弦定理求边的长，还要利用二次函数或均值定理求最值，有时还要考虑最值取到的可能性，结合二次函数图象来解决

7、问题.典例剖析【例3】如图362所示，为了测量建筑物AB的高度，在地面上选择C，D两点观察建筑物顶端B，测得CD20米，C和D两点的仰角分别为30和45，求AB的高度【解】由题意得 即CDCADA ABAB( 1)AB，AB 10( 1)(米)典例剖析【变式训练3】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m，则山高MN=_m.150ABC为直角三角形，且CAB=45，BC=100 m，AC=100 m.在MAC中，MAC=75，MCA=60，AMC=45

8、.由正弦定理得 AM= = =100 （m）.又AMN为直角三角形，且MAN=60，MN=AMsin60=100 =150 （m）.【关键点评】本题主要考查仰角、俯角的概念及正弦定理等知识，同时考查公式的变形应用及解题能力.典例剖析【例4】如图所示，甲船在A处发现了乙船在北偏东45与A的距离为10海里的C处，正以20 海里/时的速度向南偏东75的方向航行，已知甲船速度是20海里/时.问：甲船沿什么方向，用多长时间才能与乙船相遇？由图可知ACB=120.由余弦定理得AB2=AC2+BC22ACBCcosACB，BAC=30，即所求角为30+45=75.甲船应沿北偏东75方向航行半小时后才能与乙船

9、相遇.解：设t小时后相遇，则BC=20t，AB=20 t.即（20 t）2=102+（20t）221020t（ ），解得t= 或t=（舍去）.故AB=20 =10 ，BC=20 =10.由正弦定理得 即sinBAC= .典例剖析【变式训练4】如图365所示，一艘轮船在点B处测得海面上南偏东60方向上有一个油井P，现以60海里/时的速度向北航行40分钟后到达点A，测得油井P在其南偏东30方向上，试求此时P和A之间的距离解：由题意得AB 4040(海里)，BPAB40海里，ABP120，由余弦定理得AP2AB2BP22ABBPcosABP40240224040cos1204800，AP40 (海里

10、)【关键点评】灵活地运用正、余弦定理来解决航海问题回顾反思在解三角形综合问题时，要仔细分析题目，结合图形，找出相应的三角形边角关系，有针对性地代入相关公式，再结合其他函数的最值、数列等知识求解知识涉及面广，应用能力要求高目标检测A.基础训练一、选择题1.若sinA的值是方程2x25x+2=0的一个根，A0，180，则A等于（）A.60或120 B.30或150 C.60或90 D.45或1352在ABC中，若sinAsinBcosAcosB1，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D不确定3.在ABC中，若AB=4，A=60，且SABC=3，则AC等于（）A.B.3C.2

11、D.4方程2x25x+2=0的两根为x1= ，x2=2，sinA= .又A0，180，A=30或150.SABC= ABACsinA= 4AC =3，AC= .BBA目标检测4.函数f（x）=cos2x4sinx+6的最小值是（）A.1B.2C.4D.55如图所示，学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，测得AC的长度为4米，A30，则其跨度AB的长为（）A12米 B8米 C3 米 D4 米6在ABC中，已知SABC ，则C等于（）A. B. C. D.f（x）=cos2x4sinx+6=sin2x4sinx+5=（sinx2）2+1.sinx1，1，当sinx=1时，f（x）min=（1）2+1

12、=2.BDB目标检测二、填空题7已知 2，则 _.8.在ABC中，已知a=bsinA，则ABC是_三角形.9在ABC中，AC2B，ac8，ac15，则b_.10.在直角三角形ABC中，若a=1，b=2，则边c=_.a=bsinA= ，sinB=1，B（0，），B= .分类讨论：当b为斜边时，c= ；当c为斜边时，c= .2直角目标检测三、解答题11在ABC中，已知a2，b3，c4，求ABC的面积解：由余弦定理得cosC0C0）.k2=4（k0），k=2，c=4，a=10，B=120，sinB= ，又tanB= ，B（0，180），SABC= acsinB= 2k5k =10 ，b2=a2+c22accosB=100+162410（ ）156，b=2 .目标检测2.在ABC中，已知ab11，ab30，cosC ，求边c的长和ABC的面积解：联立 解得 或不妨设a5，b6，由余弦定理得c2a2b22abcosC5262256 91，c