材料力学答案-材力第3章习题解

1、第 3 章 弹性杆件横截面上的正应力分析3-1 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p = 10kN/m，在端 D 处作用有集中呼 FP = 20 kN。已知杆的横截面面积 A = 2.010-4m2，l = 4m。试求： 1A、B、E 截面上的正应力；2杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。解：由已知，用截面法求得FNA = 40 kNFNB = 20 kN40AFNx (kN)ECF= 30 kNNE FNA 40 103（1） 200 MPaA2.0 104A FNB A FNE AB 1 0 0MPaDB(a) 1 5 MPaE（2） max A 200

2、 MPa（A 截面）习题 3-1 图3-2 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷 FP 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：导出复合材料柱横截面上正应力与 FP、b0、b1、h 和 Ea、Es 之间的关系式；已知 FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。解：变形谐调： FNs FNa Es AsEa A aP（1）（2）FEs AsFNsPE A E As saaEa A aFNaFPasE As E aA FNsEs FPEs FP 1sAsEsb0h Ea 2b

3、1hb0hEs 2b1hEa习题 3-2 图 FNa Ea F PaAa0b hEs 2b 1hE200 109 385 1032 MPa（压）175s0.03 0.05 200 109 2 0.02 0.05 70 109 175Ea 175 61.25 MPa（压）70aE200s3-3。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值：从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸横截面上的最大正应力尽可能小；曲率半径尽可能大。解：1 M z M z 6M zWzbh 2b(d 2b2 )6dWzd2322 ( bd b ) d3 bdbdb3 d3d 2 b 2 23b 2 2dh b2 （正应力尽可能小

4、）习题 3-3 图- 8 -30201 M z2 zEI zbh3d 2 h 2 h3I z 1212dIz 0 ，得 h 2 3 d 2dh2 42dd 2 h 2 14h b3 （曲率半径尽可能大）工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受 Mz = 20 kNm 一个内力分量，Iz = 11.3106mm4，其。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿 x 方向的合力。3-4他尺寸解： F dAM z y d AM z y d AA1A2Nx A x2IIzzM z y0. 0 8 8 dy0 070 080 y 0 . 0 0 6y d 0I0 07z M z 112 96 2 70 88 2 (

5、8022 70 ) 10Iz10 3 7044 (8070 )2010311.310692 2 2 143103 143 kN M z | F| y习题 3-4 图Nxc*2 0.0699m 70mm20y c*2 143即上半部分布力系合力大小为 143 kN（压力），作用位置离中心轴 y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。3-5 图示矩形截面（bh）直梁，在弯矩 Mz 作用的 Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有 y 方向正应力 y 存在，且沿梁长均匀分布。试：1导出 y y ( y) 的表达式；h2证明： ， 为中性面的曲率半径。y maxx max

6、4解：1先求 y ( y) 表达式： Fy 0 y2Fy1y dy co s2xs i n1 dy 0习题 3-5 图2h22yh2 Mz M z y ）I z即 y s i n 2 0O2y s i n d y，（yx y2Iz2d y2xxM zh212即 y y s i n 2s i n( y ) 42022I z2O M z h22( y ) 4（a）y2 Iy z(a)d y2由（a）式，令 0 ，得 y = 0，由于 dy y 2h M h M z z h2 h M z h 则 z（b）, y m a xx m a8 I4I4W4y zyyz- 9 -3-6 试求图a、b 中所示的

7、二杆横截面上最大正应力的比值。解：（a）为拉弯组合 a4F FP P4 FPa33a 23a a a (a)22 26（b）为单向拉伸 a 4 FP b b3a 23-7 桥墩受力，试确定下列载荷作用下图示截面 ABC 上 A、B 两点的正应力：在点 1、2、3 处均有 40 kN 的压缩载荷；仅在 1、2 两点处各承受 40 kN 的压缩载荷；仅在点 1 或点 3 处承受 40 kN 的压缩载荷。习题 3-6 图 FNx 40 103 2.67 Mpa解：200 75 106A40 103 0.125M z 40 MPaW75 1002 9106 3FNx 3 40 1031 8 MPaAB

8、A200 7580 103 12523 2FNx M z 2 40 102 15.3 MPaA200 7575 2002AW6习题 3-7 图80 103 1252 2FNx Mz 2 40 103 4.7 MPaBAW200 7575 20026FNx M z 40 10340 103 1253在点 1 加载： A 12.67 MPaAW200 7575 2002640 103 125FNx M z 40 103 B 7.33 MPaAW200 7575 20026 A 7.33 MPa， B 12.67 MPa由对称性，得在 3 点加载：3-8 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实

9、心骨骼为圆截面。试：确定截面 BB 上的应力分布；假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面 BB 上的应力分布；yA(a)13 73MPa14 43MPaOOByACyACB14 1mm 15 32MPa16.55MPa12.6mmzCzCz习题 3-8 图(b)(c)- 10 -3确定 1、2 两种情形下，骨骼在截面 B-B 上最大压应力之比。 FNx 445 106解：1 N1 26.72 0.795 MPaA14M z 445 61103 M max W 26.73 1.4 5 2 MPa109z132 14.526 0.795

10、13.73 MPa 14.526 0.795 15.32 MPamax max沿 y 方向应力分布如图（c）所示，中性轴为 zc。445 106 4 445 106 FNx 4 N 2 2 0.795 1.06 MPa326.71A(26.72 ()2 26.72 (1 )4224 M z M z 14.526 16 15.494 MPaM 2 maxW115Wz1 (1 ( ) )4z 22 15.494 1.06 14.43 Mpanmax 15.494 1.06 16.55 MPamaxzC 为中性轴，沿 y 轴应力分布如图（d） 16.5515.32 2 1.08 ，或 1 0.926

11、3 16.5515.32123-9 正方形截面杆一端固定，另一端，中间部分开有切槽。杆端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知 FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并其作用位置。解： A 5 10106 50 10 6 m2M z2 5 10A1109 106 m3Wy610 52120M y196 3Wz 1010 m24y6CFNx = 1 kNM y 1000 5 103 5 NmM z 1000 2.5 103 2 .Nmz5 FNx M yM zm a xAWW(a)习题 3-9 图yz 100052.5 10 140 MPa611501224 最大正应

12、力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A，如图（a）所示。3-10 矩形截面柱受力，试证明：1当铅垂力 FP 作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点 A 的正应力等于零： zP y P1bh662为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。解：1写出 K 点压弯组合变形下的正应力（图 a）。习题 3-10 图- 11 - FP (FP zP ) z (FP yP ) yADAhb312bh312Fzy P P y 1 z P （1）hb )b 212h 212 将 A( h , b ) 代入（1）式，并使正应

13、力为零，得22FP 所作用的直线方程B zP y P10(a)bhn66整理得： z P yP 1bh662若 FP 作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：z1 z P z yP y 0b 2h 2n1212（2）h2 y0t 12yy中性轴 nn 的截距： P（3）h212zPz 0t(b)说明中性轴 nn，与力 FP 作用点位于形心 C 的异侧，nn 划分为 FP 作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区（见图b）。1zyz y 1如果将（2）改写为（4）PPb 2h 221212并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该点顺时针转动（从 11 转到 22）由

14、（4）式，FP 作用点必沿直线移动。再由（3）式，22 直线的截距值大于 11 直线的。所以，当中性轴 11 顺时针转向中性轴 22 时，FP 作用点 FP1、FP2 沿直线，并绕形心也顺时针转向。图 d 中，若中性轴绕 A 点从 11 顺时针转动至 33（中性轴始终在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将 A 坐标代入z1Pxy（4）式： zP yP 1 ，即 F 沿该线段移动。从 F F F 移PP1P2P3bh(c)66动，反之铅垂力 FP 从 FP1FP2FP3 直线移动，截面内不产生拉应力，同理过 B、F、D 分别找另三条 FP 移动的线段。这四条线段所21围区域称为截面会有拉应

15、力。铅垂压力在截面内作用，则横截面上不323-11 矩形截面悬臂梁受力面形心。试：，其中力 FP 的作用线通过截z已知 FP、b、h、l 和 ，求图中虚线所示截面上点 a 的正应力；求使点 a 处正应力为零时的角度 值。hb 2解：M y FP sl i n ， Wy 6bh 26yM z FP cl o s ， Wz M z M y b c os hs i n 6lFP(d)ab 2 h 2WWzy- 12 -AFP13BFP3FP212P(y.z)CFP2FP1yotzotCFPCzFPKF( y P z P( y z )y令 0 ，则tan b ， tan1 bahh FNx (cos

16、12sin ) 0bA1tan ， = 4.76123-12 No. 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力试求图示横截面上 a、b、c、d 四点处的正应力。解：查附录C 表 3： A 48.5 104 m2 ， Wz 401.8810 6 m3。Wy 48.283 106 m3d， FNx 100 kNM z 100 103 0.125 25 103 0.5 25 103 NmM y (8 2)103 0.6 9.6103 NmM zCzM yWy FNx 20.6 MPa， M z 62.6 MPa，M y 199 MPaAWz FNx 20. 6MPacAab FNx M z 41. 6M

17、PayaAWz习题 3-12 图(a) FNx M z M y 241MPabAWzWy M y FNx M z 1 1 MPadAWWzy3-13 承受集度为 q = 2.0kN/m 均布载荷的木制，其截面为直径 d = 160mm 的半圆形。梁斜置习题 7-23 图。试求的最大拉应力与最大压应力。 2dcos 20 ，sin 20 ， y解：AcBqyB3qy1CMz max y 1 2A12M z (N.m)q y2cos 20 9 4 0Nm 939.7N.m2M 1 q sin 20 3 4 2Nm(a)y max2qpz1 d 41 1604 10126 4I y 16.110 m

18、A264264BqZqZ42 1 d d ( 2d )2 4.4956 106 m4CAIBz2 6483M yI yM yMd342N m m ax z I zyc 2(b)940 2 0.16 342 0.08) 106 (y4.4956106316.1106C 8.80 MPa（左下角 A 点）DyC最大压应力点应在 CD 弧间，设为 RBM)M Rc o s( R s i n y y m a x z m a xc （1）CI zI yd dM z maxI y940 16.1106 0 ，得： tan I 9.8344.4956 106 342ZAMzy max(c) 84.19 代回

19、（1）式，- 13 -qpy 940(80 sin 84.19 2 160 ) 1033342 80 cos 84.19 103 10 9.71 MPa6 max664.4956 1016.1103-14 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列哪一个是正确的。（A）My = 0 或 Mz = 0， FNx 0 ；（B）My = Mz = 0， FNx 0 ；（C）My = 0，Mz = 0， FNx 0 ；（D） M y 0 或 Mz 0 ， FNx 0 。中正确是 D 。解：只要轴力 FN x 0 ，则截面形心处正应力一定不为零，故其中性轴（其上正应力应为零）一定不通过截面形心，所以选（D）。3-15 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心；中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心；中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。正确是 D 。解：当截面内有轴力存在时，中性轴一定不过截面形心；另外当轴力引起的拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的