高中物理必修二第七章 专题强化 卫星变轨问题和双星问题

1、专题强化卫星变轨问题和双星问题学习目标1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.一、人造卫星的变轨问题1.变轨问题概述(1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即Geq f(Mm,r2)meq f(v2,r).(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化.当卫星减速时，卫星所需的向心力F向meq f(v2,r)减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.当卫星加速时，卫星所需的向心力F向meq f(v2

2、,r)增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨.2.实例分析(1)飞船对接问题低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图1甲所示).若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.图1(2)卫星的发射、变轨问题如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足eq f(GM

3、m,r2)meq f(v2,r)，进入圆轨道3做圆周运动.图2(2019通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是()图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度答案B解析卫星在圆轨道上做匀速圆周运

4、动时有：Geq f(Mm,r2)meq f(v2,r)，可得veq r(f(GM,r)因为r1r3，所以v1v3，A项错误；由开普勒第三定律知T3T2，B项正确；在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，所以在Q点v2Qv1Q，C项错误；在同一点P，由eq f(GMm,r2)man知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.3.判断卫星由圆轨

5、道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.4.判断卫星的加速度大小时，可根据aeq f(F,m)Geq f(M,r2)判断.针对训练(多选)(2019定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，B为轨道上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有()图4A.在轨道上经过A的速度小于经过B点的速度B.在轨道上经过A的速度小于在轨道上经过A的速度C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D.在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度答案ABC解析在轨道上由A点运动到

6、B点，由开普勒第二定律可知，经过A的速度小于经过B的速度，A正确；从轨道的A点进入轨道需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道上经过A的速度小于在轨道上经过A的速度，B正确；根据开普勒第三定律eq f(r3,T2)k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期，C正确；在轨道上和在轨道上通过A点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D错误.二、双星或多星问题1.双星模型(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一

7、固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.图5(2)特点两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L，轨道半径与两星质量成反比.(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即eq f(Gm1m2,L2)m12r1，Geq f(m1m2,L2)m22r2.2.多星系统在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其

8、他星体对它引力的合力提供的.两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.图6答案eq f(Lm2,m1m2)eq f(Lm1,m1m2)eq r(f(42L3,Gm1m2)解析双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m1：eq f(Gm1m2,L2)m1r12对m2：eq f(Gm1m2,L2)m2r22，且r1r2L解得r1eq f(Lm2,m1m2)，r2eq f

9、(Lm1,m1m2)由Geq f(m1m2,L2)m1r1eq f(42,T2)及r1eq f(Lm2,m1m2)得周期Teq r(f(42L3,Gm1m2).宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是()图7A.每颗星做圆周运动的角速度为eq r(f(Gm,L3)B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L和每颗星的质

10、量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍答案C解析任意两星间的万有引力FGeq f(m2,L2)，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知req f(r(3),3)L，F合2Fcos 30eq r(3)F，由牛顿第二定律可得F合m2r，联立可得eq r(f(3Gm,L3)，an2req f(r(3)Gm,L2)，选项A、B错误；由周期公式可得Teq f(2,)2eq r(f(L3,3Gm)，L和m都变为原来的2倍，则周期T2T，选项C正确；由速度公式可得vreq r(f(Gm,L)，L和m都变为原来的2倍，则线速度vv，大小不变，选项D错误.1.(卫星变轨问题)(2019启东中学高一下

11、学期期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品流浪地球热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道 上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道 .在圆形轨道 上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是()图8A.沿轨道 运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道 B.沿轨道运行的周期小于沿轨道运行的周期C.沿轨道 运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D.在轨道 上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大答案B2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和

12、“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()图9A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力

13、大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误.3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的()A.轨道半径约为卡戎的eq f(

14、1,7)B.角速度约为卡戎的eq f(1,7)C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍答案A解析双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；根据m12r1m22r2，得eq f(r1,r2)eq f(m2,m1)eq f(1,7)，A正确；根据vr，得eq f(v1,v2)eq f(r1,r2)eq f(1,7)，C错误.4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的

15、距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是()A.这两颗恒星的质量必定相等B.这两颗恒星的质量之和为eq f(42R1R23,GT2)C.这两颗恒星的质量之比m1m2R2R1D.其中必有一颗恒星的质量为eq f(42R1R1R22,GT2)答案BCD解析两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Geq f(m1m2,R1R22)m1eq f(42,T2)R1m2eq f(42,T2)R2，所以两星的质量之比m1m2R2R1，故A错误，C正确；由上式可得m1eq f(42R2R1R22,GT2)，m2eq f(42R1R1R22,GT2)，m1m2eq f(42R1R23,GT2)，故B

16、、D正确.一、选择题1.(2019江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则()图1A.v1v2，v1eq r(f(GM,r) B.v1v2，v1eq r(f(GM,r)C.v1v2，v1eq r(f(GM,r) D.v1v2，v1eq r(f(GM,r)答案B解析根据开普勒第二定律知，v1v2，在近地点画出近地圆轨道，由eq f(GMm,r2)eq f(mv2,r)可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为veq r(f(GM,

17、r)，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1eq r(f(GM,r)，故B正确.2.(2019北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小一定相等D.两个天体的向心加速度大小一定相等答案C解析双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律有：Geq f(m1

18、m2,L2)m12r1，eq f(Gm1m2,L2)m22r2，其中r1r2L故r1eq f(m2,m1m2)L，r2eq f(m1,m1m2)L，故eq f(v1,v2)eq f(r1,r2)eq f(m2,m1)故质量大的天体线速度较小，故A错误.3.(2019定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道 到达P点后经过调整速度进入圆轨道 ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是()图2A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/sB.“嫦娥三号”由轨道经过P点进入轨道时要加速C.“嫦娥三号”在轨道上经过P点的速度大于在轨道上经过P点的速度D.“

19、嫦娥三号”稳定运行时，在轨道上经过P点的加速度与在轨道上经过P点的加速度相等答案D4.(2019长丰县二中期末)如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是()图3A.卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期B.卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率C.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率D.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时加速度大于经过P点的加速度答案A解析根据开普勒第三定律eq f

20、(r3,T2)k知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期，故A不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力，即eq f(GMm,r2)meq f(v2,r)，可知veq r(f(GM,r)，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2上运行时，从Q点向P点运动，速度逐渐减小，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，故C正确；卫星离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2上运行时经过Q点时加速度大于经过P点的加速度，故D正确.5.(2019杨村一中期

21、末)如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1m232，下列说法中正确的是()图4A.m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为32B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为32C.m1做圆周运动的半径为eq f(2,5)LD.m2做圆周运动的半径为eq f(2,5)L答案C解析设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为，据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq f(m1m2,L2)m1r12m2r22，又r1r2L，m1m232，解得r1eq f(2,5)L，r2eq

22、 f(3,5)Lm1、m2运动的线速度大小分别为v1r1，v2r2故v1v2r1r223.综上所述，选项C正确.6.(2019榆树一中期末)如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速

23、率和加速度大小，下列结论正确的是()图5A.v1v3v2，a1a3a2B.v1v2v3，a1a2a3C.v1v2v3，a1a2a3D.v1v3v2，a1a2a3答案D解析根据万有引力提供向心力，即eq f(GMm,r2)man得：aneq f(GM,r2)，由题图可知r1r2r3，所以a1a2a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v1，根据eq f(GMm,r2)eq f(mv2,r)得：veq r(f(GM,r)，又因为r1r3，

24、所以v1v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1v1，故v1v3v2，故选D.7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接.已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转.那么以下选项正确的是()图6A.月球的质量为eq f(42r3,GT2)B.航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速C.航天飞机从A处到B处做减速运动D.月球表面的重力加速度为eq f(42R,T2)答案A解析设空间站质量为m，在圆轨道上，由Geq

25、f(mM,r2)meq f(42r,T2)，得Meq f(42r3,GT2)，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg月Geq f(Mm,R2)，可得g月eq f(GM,R2)eq f(42r3,R2T2)，D错误.8.(多选)如图7所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B时，再次点火进

26、入近月轨道绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则()图7A.飞船在轨道上的运行速率大于eq r(g0R)B.飞船在轨道上的运行速率小于在轨道上B处的运行速率C.飞船在轨道上的向心加速度小于在轨道上B处的向心加速度D.飞船在轨道、轨道上运行的周期之比TT41答案BC解析由eq f(mv2,R)mg0知，veq r(g0R)，即飞船在轨道上的运行速率等于eq r(g0R)，A错误；由veq r(f(GM,r)知，vv，则有vBv，B正确；由aneq f(GM,r2)知，飞船在轨道上的向心加速度小于在轨道上B处的向心加速度，C正确；由T2eq r(f(r3,GM)知，飞船在轨道、轨道上运行的周期之比T

27、T81，D错误.9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为()A.eq r(f(n3,k2)T B.eq r(f(n3,k)TC.eq r(f(n2,k)T D.eq r(f(n,k)T答案B解析设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有Geq f(m1m2,L2)m1r1eq f(42,

28、T2)Geq f(m1m2,L2)m2r2eq f(42,T2)并且r1r2L解得T2eq r(f(L3,Gm1m2)当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T2eq r(f(n3L3,Gkm1m2)eq r(f(n3,k)T故选项B正确.10.(多选)(2019雅安中学高一下学期期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量.假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中

29、()图8A.它们做圆周运动的万有引力保持不变B.它们做圆周运动的角速度不断变大C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大D.体积较大星体圆周运动的线速度变大答案CD解析由Feq f(Gm1m2,L2)知F增大，A错误；设体积较小者质量为m1，轨迹半径为r1，体积较大者质量为m2，轨迹半径为r2，则有eq f(Gm1m2,L2)m12r1，eq f(Gm1m2,L2)m22r2得：eq r(f(Gm1m2,L3)，因m1m2及L不变，故不变，B错误；半径r2eq f(Gm1,2L2)，因m1增大，故r2变大，C正确；线速度大小v2r2，变大，D正确.11.(2019扬州中学模拟)进行科学研究有时需要大

30、胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的()A.1倍 B.2倍 C.eq f(1,2)倍 D.2eq r(2)倍答案D解析设正方形边长为L，每颗星的轨道半径为req f(r(2),2)L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：2eq f(Gm2,L2)cos 45eq f(Gm2,2L2)m2r得：eq f(r(2f(r(2),2)Gm),Lr(L)，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的2eq r(2)倍，故D项正确.二、非选择题12.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图9所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：图9(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；(3)椭圆轨