函数及极限习题及答案

1、第一章函数与极限(A)一、填空题1、设f(x) 22 x lglgx ,其定义域为 2、设 f(x) ln(x 1),其定义域为 。3、设 f(x) arcsin(x 3),其定义域为 。4、设f(x)的定义域是0,1,则f(sin x)的定义域为25、设yf(x)的定义域是0, 2，则y f (x )的定义域为6、2.x lim x 32x kk=x 7、函数y 有间断点sin x8、若当x 0时，f(x),其中 为其可去间断点。sin2xx0处连续，则f(0) 9、lim (nn2 1nn2 210、函数f (x)在x0处连续是f (x)在x0连续的 条件。3211、 limx(x 1)(

2、x 3x 2)7-32x 5xkn 3 f, TOC o 1-5 h z 12、lim (1 )e ,则 k=。n n一 x2 1-13、函数y w的间断点是。x 3x 214、当x 时，1是比Tx 3 JT7 的无穷小。x15、当x0时，无穷小1 J1 x与x相比较是 无穷小。16、函数y e 1在x=0处是第 类间断点。、几 3 x 117、设y ,则x=1为y的 间断点。.118、已知f 一 寸匕，则当a为 时，函数f(x) a sin x - sin 3x在x 处连续。19、设 f (x)sin x2xi(1 ax)xx 0若lim f (x)存在，则a= x 0 x 0333x si

3、n x20、曲线y2一 2水平渐近线方程是x2121、 f(x)44 x 2的连续区间为.x 1x a22、设 f (x) cosxx 0在x 0连续，则常数x 011 x* 1 2a=3、判定函数的奇偶性22x (1 x )；-2(2) y 3x(3) yx(x 1)(x 1)；4、求由所给函数构成的复合函数sinv，u5、计算下列极限(1)lim (1 n12n(2)1 2 lim n3 (n 1)2，n(3)2 x lim x 2 x(4)2 x lim x 12x 1x2 1(5)lim (1 x1 -)(2 x1 2 ) x2x21mx2.1 sin x(8)(9)lim x( .

4、x2 x1 x)6、计算下列极限(1)1msin wx(2)(3)(5)xcotx(4)(xlxm1x2 1x 1、x 1lim (一；)；x x 1(6)sin2x lim；x 0 sin 5xlim()xx 1 x1lim (1 x)x x 07、比较无穷小的阶(1) x0时，2x x2与x2 x3 ；, 12(2) x 1时，1x与一(1 x )；28、利用等价无穷小性质求极限tan x sin xsin(xn) limn3； lim -Hx 0 sin xx 0 (sin x)(n,m是正整数)；9、讨论函数的连续性f(x)10、利用函数的连续性求极限(1) lim ln( 2cos2

5、x)；x 一6(2) lim (vx2 x xVx2 x)；sinxlim ln；x 0 xlim(1 )2x x x TOC o 1-5 h z x1(5)设f(x)lim(1 -)，求 lim f();n nt 1 t 1x 1(6) lim xln()；X x 111、设函数f (x)应当怎样选择a ，使得f(x)成为在()内的连续函数。、512、证明方程x 3x 1至少有一个根介于 1和2之间。(B)1、设f(x)的定义域是0 ,1,求下列函数定义域 y f(ex)(2) y f (ln x)02、设 f(x) xg(x)0 , x 0 x2, x 0求 f f (x) , gg(x)

6、fg(x) , gf(x)3、利用极限准则证明:(1) lim Ji - 1(2) lim x- 1 ；n . nx 0 x(3)数列22 , 2 2 J2 ,42 22 Z2 , 的极限存在4、试比较当XX X .0时，无穷小232与x的阶。5、求极限(1) lim x( Vx2 1 x) ；(2) lim (x3)x 1 ；xx 2x 1lx”tanx sin xxalim ( 一x 0bx3x 1-)(a 0 , b 0 , c 0)；,16、设f(x) xsinx , x 0要彳K)在(,)内连续, 2a x , x 0应当怎样选择数a ?1xH求f (x)的间断点，并说明间断点类型。

7、7、设 f(x) e ln(1 x)(C)1、已知f (x)f(x)(x) 0 ,求 (x)并写出它的定义域。2、求下列极限:、lim cosln(1xx) cosln x(2)、xm0、1 xsin x cosx;(3)、求 lim 3x-5 x 5x 32x a、xsin- ； (4)、已知 lim () (5)、设f(x)在闭区间a, b上连续，且f(a) a , f(b) b证明：在开区间(a , b)内至少存在一点，使f ()第一章函数与极限习题答案(A)一、填空题(1 , 2(2) ( 1)(3) 2 , 4x 2k x (2k 1)2 ,.2(6) -3、八110 充分 112（

8、15）同阶（16）二x 0(8) 2(9) 1(12)-( 13) x=1 , x=2(14)高阶2(17)可去 (18) 2(19) -ln2(20) y=-2(21) 2,1 (1,2(22) 1二、计算题1、(1)(, 1) (1,1) (1,)(2)0,)(，0) (0,)2、（1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数2sinx.(3) y e 2(6) TOC o 1-5 h z ,、，.2、2.2r4、( 1) y (sin x )(2) y v1 x 5、(1) 2 (2) -2(3) -9

9、(4) 0_ _1(7) 0(8)22(9)21(5) e (6) e27、（1） 2x x2是x2 x3的低阶无穷小（2）是同阶无穷小 TOC o 1-5 h z 0, mn1,8、(1) 一 (2)1, mn2 ,m n9、不连续10、(1) 0(2) 1(3) 0(4) e2(5) 0(6) -211、 a=1(B),0 _x -. 一一1、（ 1）提不：由0 e 1解得：x （(2)提示：由 0 lnx 1 解得：x 1, e2、提示：分成x 。和x 0两段求。ff(x) f(x)gg(x) 0fg(x) 0，gf(x)g(x)4、(1)提示:(2)提示:5、6、7、8、1、(3)提不

10、:用数学归纳法证明:提示：2x 3x 2 J(1)(3)(4)提示:提示:提示:1 x(- x1)1 x- x乘以x21用等阶无穷小代换x(-3x 1令2xt (同阶)(2)提示:除以2xax 1bx 1 cx 1 xax 1 bx 1 cx 13 (a abc)提示：lim f (x) lim f (x)x 0 x 0f(0)(a0)解:得：12、解:3、解:limx1是第二类间断点因为 f x原式=limx 0 x0是第一类间断点(C)2(x)10 。所以:(x) ln(1_2xsin x cos xx( 1 xsin x cosx)1 sinx=一 lim2 x 0 x(x sinx)

11、=0因为当x一sin xln(1x)，x),再由 ln(1x)= lim1x 0 2xsin x一2sin xJ sin 2= lim 5x 3 x x3x2 55x 32= lim x x6x25x210 63x 54、解：因为:x a、x.9= lim () = limx x a x2a=e所以 e2a 9 , a ln35、证明：令F(x)f (x) x , F(x)在a,b上连续，且F(a) f(a) a 0 , F(b)f(b) b 0。由闭区间上连续函数的零点定理区间(a,b)内至少存在一点(a,b),使 F( ) 0 ,即 f()，411 一 1.给出th义：右 m x m -(

12、其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记 22作x,即x m,在此基础上给出下列关于函数f(x) x x的四个命题：_ 一-11y f (x)的定义域是R，值域是(-,-；2 2点(k,0)是y f (x)的图象的对称中心，其中 k Z ；函数y f (x)的周期为1 ；函数y 乂)在(q,不上是增函数上述命题中真命题的序号是()B.A.C.D.2.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x 2)f(2015)()A. 1 B. 2 C. 1D. 2123.函数 f(x) -(1 cos2x)sin x, x 是(2A.最小正周期为的奇函数f(x),当 0 x 1 时有 f(x) 2x,则)B

13、.最小正周期为一的奇函数 2C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为一的偶函数2.已知函数f(x) 4cosxsin(x ) 1(0)，若f () 1,则f(x)的最小正周期3 TOC o 1-5 h z 为()A.B. C. 2D. 42.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x 6) f(x),当 x 3, 1)时，f (x) (x 2)2, 当 x 1,3)时，f(x) x,则 f(1) f(2) f (3) . f(2015)()A. 336 B. 355 C. 1676D. 2015.在数列an中，已知a12,a27 ,记an与an1(n N )的积的个位数为an2 ,则a2015

14、22.函数f (x) sin x cos x的最小正周期是 ;.函数f(x) sin 2x 4sin xcos3 x(x R)的最小正周期为 ；.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x 2) f(x) .当x 0,1时，f (x) 2x, 若在区间2,3上方程ax+2a f (x) 0恰有四个不相等的实数根，则实数 a的取值范围 是；.已知函数f (x)是R上的奇函数，且f (x 2)为偶函数，若f(1) 1 ,则 f(8) f(9) _.设函数y f (x)的定义域为 D ,如果存 在非零常数 T ,对于任意 x D ,都有 f(x T) T f(x),则称函数y f(x)是“似周期

15、函数”，非零常数T为函数y f (x)的 “似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数y f(x)的“似周期”为 1,那么它是周期为2的周期函数；函数f(x) x是“似周期函数”；函数f (x) 2-x是“似周期函数”如果函数f(x) cos x是“似周期函数”，那么“ k ,k Z”.其中是真命题的序号是 .(写出所有满足条件的命题序号).已知函数f(x) -sin 2x 73 cos2 x ,则f(x)的最小正周期是 (x)的 2导函数是f (x),则f (-),6答案和解析1.2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题答案：C分析：答案：B分析： f

16、(x 2) f(x),得 f(x 4) f(x), 周期为 T 4,又.函数为奇函数，f(2015) f (504 4 1) f( 1)f(1)2,故选B .答案：A分析：答案：A)1, f(-) 2sin(一 ) 1 1 ,所以 33分析：因为函数 f(x) 4cosxsin(xsin(-) 1,3可得一一一，二一 一, 一，故:33332648sxsin(x 3) 1 2sin xcosx 2 3cos2 x 1sin 2x J3cos2x 33 1 2sin(2 x ) 33 1 ,3由0f(x)则 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) 1,又因为 2015 6 3

17、36 1 ,所以f(1) f (2) f(3) f(2015) 336 1 f (6) 336，故选 A.6.2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题答案：2分析：aa2 2 7 14 ,所以 a3 4,4 7 28 ,所以 a428,4 8 32 ,所以 a5 2,2 8 16,所以 a6 6,a7 2,a8 2,a9 4,a10 8,011 2,所以从第三项起， an 的值成周期排列，周期数为 6, 2015 335 6 5，所以02015 a5 2 .答案：分析：利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为 f(x) cos2x,所以最小正周期T 2

18、一.2答案：一 29.2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题入 22答案：2a253分析：因为函数f(x)为偶函数，且当 x 0,1时，f(x) 2x,所以当x 1,0时，图象如图所示，则方程ax 2af(x)的图象与直线y ax 2af(x) 2x,又因为函数f(x)为周期为2的周期函数，所以画出函数f(x)在2,3上的f (x) 0在2,3上有4个不相等的实数根等价于函数a(x 2)在2,3上有4个交点，则图易得实数a应满足a 3 ( 2)1 ( 2)答案：1分析：因为f(x)是R上的奇函数，且 f(x 2)为偶函数，所以f(x)是以4为周长的奇函数，所以 f(8) f(9)f(0) f(1) 1 .答案：y f(x)的“似周期”为1,则f(x 1) f(x) f(x 1),即它是周期为2的周期函数，所以正确；若 f (x) x是“似周期函数”，则存在非零常数 T ,对任意x R满足xf(x T) x T Tf (x) Tx,显然不可能，所以错误；若f(x) 2是“似周期函数”，则存在非零常数T ,对任意x R满足f(x T) 2 (x T) Tf(x) T2 x ,即2 T (-)T T ,而已知函数y (-)x,y x的图象有一个交点，即非零常数T存在，所以 22正确；若函数 f(x) c