利润最大化与二次函数

1、埃利润最大化唉与哀二次函数疤二次函数在市场半经济的今天，用柏途特别广泛。利肮润最大问题，就隘是一个典型。下扒面就举例说明。1、住宿问题疤某宾馆客房部有巴60个房间供游蔼客居住，当每个拜房间的定价为每岸天200元时，澳房间可以住满疤当每个房间每天昂的定价每增加1矮0元时，就会有摆一个房间空闲佰对有游客入住的霸房间，宾馆需对芭每个房间每天支把出20元的各种凹费用设每个房伴间每天的定价增挨加伴元求：扳（1）房间每天挨的入住量岸（间）关于斑（元）的函数关俺系式 百（2）该宾馆每笆天的房间收费败（元）关于白（元）的函数关矮系式 傲（3）该宾馆客绊房部每天的利润版（元）关于版（元）的函数关袄系式；当每个房

2、傲间的定价为每天懊多少元时，碍有最大值？最大翱值是多少？（2氨008年贵阳市案）分析：颁因为，每个房间敖每天的定价每增八加10元时，就巴会有一个房间空邦闲，暗现在增加x元，斑折合坝个10元，所以矮，有绊个房间空闲；捌空房间数+入住拜房间数=60，把这样第一问就解敖决了；罢房间收费数额应稗该等于房间的定安价乘以房间的数板量，这样第二问胺的等量关系也找艾到了；蔼在解答第三问时爱，关键是理解利佰润的意义，利润吧=每天的房间收懊费瓣数-每瓣个房间每天支出颁的各种费用。解：俺（1）按房间每天的入住矮量靶（间）关于俺（元）的函数关扮系式是：y=板60-埃，瓣（2）芭宾馆每天的房间摆收费蔼（元）关于疤（元）

3、的函数关爱系式是：z=（绊200+x）（爸60-摆），八（3）蔼宾馆客房部每天胺的利润爸（元）关于耙（元）的函数关跋系式是：斑W蔼=（200+x般）（皑60-耙）挨-20巴（肮60-癌）罢，伴整理，得：安W坝=阿-矮+熬42瓣x+1靶08啊00氨=-摆（x癌2把-按420隘x）+疤10800安= 盎-伴（x-扳21扒0）蔼2瓣+吧15210捌，拔因为，a=-胺0，所以，函矮数有最大值，八并且，当x=熬21颁0时，函数W有般最大值，最大值耙为把15210氨，凹当每个房间的定巴价为每天敖41芭0背元时，巴有最大值斑，哀最大值是斑15210笆元。2、投资问题按例2、随着绿城袄南宁近几年城市凹建设的快

4、速发展伴，对花木的需求肮量逐年提高。某啊园林专业户计划哎投资种植花卉及摆树木，根据市场啊调查与预测，种艾植树木的利润靶与投资量白成正比例关系，爱如图12-肮啊所示；种植花卉伴的利润跋与投资量艾成二次函数关系般，如图12-扳鞍所示（注：利润扒与投资量的单位奥：万元）百（1）分别求出袄利润傲与氨关于投资量巴的函数关系式；佰（2）如果这位皑专业户以8万元坝资金投入种植花班卉和树木，他至邦少获得多少利润凹？他能获取的最捌大利润是多少？埃（2008年蔼敖南宁市）分析：扳根据图像和题意斑知道y瓣1鞍是x的正比例函般数，并且知道图熬像上的一个点的唉坐标为P(1，般2伴)挨，这样就可以求芭出正比例函数的熬解析

5、式；坝仔细观察抛物线俺的特点，抛物线阿经过原点，顶点背也在原点，因此坝，解析式一定是哎形如y=ax澳2瓣的形式。解：柏（1）胺因为，y版1巴是x的正比例函版数，设佰，y奥1把=kx，敖因为，图像经过凹点P(1，2把)盎，所以，2=k，鞍所以，利润y隘1疤关于投资量懊的函数关系式是版y般1坝=2x肮，x0坝；傲因为，y拔2鞍是x的二次函数笆，设，y伴2芭=ax安2熬，傲因为，图像经过稗点Q(2，2背)柏，半所以，2=矮4a芭，所以，a=，把所以，利润y鞍2懊关于投资量跋的函数关系式是拔y叭2罢=斑 绊x凹2爱 百，x0；懊（2）这位专业哎户以8万元资金捌投入种植花卉和疤树木，拜其中投资花卉x安万

6、搬元，氨他获得的利润是按：跋y盎=y扒1板+坝 版y八2袄=跋 哀x百2蔼 白+2隘隘（办8-x）巴=耙 坝x案2柏 爸-埃2办x胺+16阿=凹（肮x澳-半2）鞍2拜+14，胺因为，a=昂氨0，所以，函数懊有最摆小扮值，版并且，当x=芭2挨万元皑时，函数蔼y懊有最啊小捌值，最阿小办值为颁14敖万元哀；拌因为，对称轴是罢x=2，皑当0柏芭x傲拔2时，y随x的敖增大而减小，爱所以，当x=0靶时，y有最大值按，且为y=爱（柏x-2）癌2半+14=16，叭当2x白绊8时，y随x的案增大而增大，般当x=8时，y白有最大值，且为阿y=爱（肮x-2）案2拜+14=32，邦所以，扮当x=8皑万元坝时，获得的利

7、润艾最大，并且为3昂2啊万元。暗因此，这位专业艾户以8万元资金隘投入种植花卉和把树木，他至少获败得阿14碍万元利润；他能笆获取的最大利润蔼是白32奥万元。3、存放问题扳例3、鞍我州有一种可食搬用的野生菌，上啊市时，外商李经案理按市场价格3半0元/千克收购熬了这种野生菌澳1000千克巴存放入冷库中，版据预测，该野生盎菌的市场价格将摆以每天每千克上凹涨1元；但冷冻跋存放这批野生菌柏时每天需要支出八各种费用合计3傲10元，而且这碍类野生菌在冷库矮中最多保存16般0元，同时，平版均每天有稗3千克稗的野生菌损坏不碍能出售爱（1）设癌x艾天后每千克该野败生菌的市场价格罢为班元，试写出拜与哎之间的函数关系伴

8、式爸（2）若存放扒天后，将这批野阿生菌一次性出售扒，设这批野生菌矮的销售总额为唉元，试写出伴与板之间的函数关系拌式翱（3）李经理将凹这批野生茵存放般多少天后出售可胺获得最大利润敖元？按（利润销售总按额案收澳购成本各种费胺用）鞍（08凉山州）分析：拔因为，该野生菌凹的市场价格将以按每天每千克上涨般1元，凹所以，x天就应熬该上涨x斑绊1=x元半；搬市场价格30元爱+上涨价=x天扒后每千克该野生疤菌的市场价格为稗元，这样第一问败就解决了；搬销售总额为瓣元版应该等于野生菌肮的价格乘以扒数量，这样第二绊问的等量关系也芭找到了；氨在解答第三问时笆，关键是理解利拔润的意义，利润罢=巴销售总额邦-伴损坏的野生

9、菌的芭费用盎。解：柏（1）爱由题意得矮与盎之间的函数关系笆式罢是：盎（板，且拌整数）澳；（2）敖由题意得摆与拔之间的函数关系瓣式矮是：坝；摆（3）巴由题意得爱：背因为，a=-3办0，所以，函肮数有最大值，扮并且，当x=1伴00时，函数W埃有最大值，最大肮值为30000敖，所以，当时，袄因为，100天绊罢160天，盎所以，八存放100天后扳出售这批野生菌斑可获得最大利润蔼30000元4、定价问题爸例4、坝为了落实国务院佰副总理李克强同案志到恩施考察时疤的指示精神,最疤近，州委州政府芭又出台了一系列暗“氨三农颁”癌优惠政策,使农袄民收入大幅度增耙加.某农户生产隘经销一种农副产版品,已知这种产袄品的

10、成本价为2爸0元/千克.市胺场调查发现,该隘产品每天的销售艾量(千克)与敖销售价(元/耙千克)有如下关半系:=2碍80.设这种般产品每天的销售耙利润为(元)坝.拔(1)求与拜之间的函数关系碍式.哀(2)当销售价按定为多少元时,袄每天的销售利润案最大?最大利润般是多少?啊(3)如果物价笆部门规定这种产凹品的销售价不得埃高于28元/千爱克,该农户想要般每天获得150靶元的销售利润,爸销售价应定为多斑少元?袄 昂（2008恩施摆自治州）分析：半利润=价格啊背销售数量，这是盎问题解答的关键捌。解:奥八 唉y(x皑20板)胺耙 w把(x熬2鞍0)(2x办80案)哎2x百2哀扮12皑0 x坝1背6熬00懊

11、，笆所以，熬y与x的把函数罢关系式为笆：拌y2x巴2稗扳12鞍0 x坝1氨600办 摆因为，叭y2x邦2稗罢12邦0 x熬1蔼6爸00伴2懊 熬(x敖30笆)绊 跋2巴捌200袄，皑因为，a=-2扮0，所以，函案数有最大值，疤并且，当x=3摆0时，函数y有按最大值，最大值耙为200，柏所以，八当x挨30靶时，y熬有拜最大霸值200氨跋 佰因此，案当销售价定为3俺0元/千克时,蔼每天可获最大销岸售利润200元版.蔼暗 当蔼y叭150跋时，可得方程啊暗2颁 袄(x搬30胺 白)邦2半 搬艾200暗班150巴敖解这个案方程昂，巴得耙 鞍x暗1哀坝2岸5，挨x吧2板埃3办5般 拜 鞍 败根据绊题意，半

12、x熬2吧靶3靶5不合题意伴,皑应舍去案所以，岸当俺销售般价定摆为绊2癌5元蔼/千克颁时，艾该农户每天翱可获得销售利润癌1笆5斑0元5、补贴问题笆例5、哀某市种植某种绿袄色蔬菜，全部用半来出口为了扩暗大出口规模，该碍市决定对这种蔬吧菜的种植实行政摆府补贴，规定每蔼种植一亩这种蔬哎菜一次性补贴菜阿农若干元经调捌查，种植亩数按（亩）与补贴数跋额吧（元）之间大致盎满足如图1所示埃的一次函数关系艾随着补贴数额胺的不断增大，出白口量也不断增加白，但每亩蔬菜的安收益鞍（元）会相应降巴低，且鞍与挨之间也大致满足百如图2所示的一扮次函数关系图1x/元50（第25题）1200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O扳（1）在政府未蔼出台补贴措施前芭，该市种植这种靶蔬菜的总收益额靶为多少？笆（2）分别求出拜政府补贴政策实熬施后，种植亩数隘和每亩蔬菜的收捌益扮与政府补贴数额百之间的函数关系把式；隘（3）要使全市搬这种蔬菜的总收暗益百（元）最大，政吧府应将每亩补贴靶数额吧定为多少？并求蔼出总收益按的最大值扳（2008年般泰安市皑）稗分析：惠农政策疤是国家