系统的时间响应与快速性分析和性能指标

1、系统的时间响应与快速性分析和性能指标3.1 系统的时域性能指标3.2 时间响应和典型输入信号3.3 一阶系统的时间响应3.4 二阶系统的时间响应3.5 高阶系统的时间响应3.1 系统的时域性能指标一、时间响应及其组成1、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。 2、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便 二、时域性能指标1、系统的性能： 系统的响应过程分为动态过程和稳

2、态过程 ，系统的性能就针对上述二过程，为系统的动态性能指标和稳态性能指标。 实际物理系统都存在惯性，输出量的改变与系统所存储的能量有关，系统所储有能量的改变需要有一个过程。 2、动态性能指标： 延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量、振荡次数。3、稳态性能指标 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程（时间趋于无穷）进入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差，记为： ，可量度系统的控制精度或抗干扰能力。三、动态性能指标 研究线性系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的响应过程曲线（以二阶系统为例）。一般认为，阶跃输入对系统而言是比较严峻的，若系统输出在此状态下都能令动态性

3、能满足要求，那其他输入时，其动态性能更为理想。延迟时间td ：响应曲线首次达到静态值的一半所需的时间，记为td;上升时间tr ：响应曲线首次从静态值的0过渡到100 （有振荡时这么取，无振荡时，静态值的10过渡到90）所需的时间，记为tr；峰值时间tp ：响应曲线第一次达到峰值点的时间，记为tp；调节时间ts ：响应曲线最后进入偏离静态值的误差为5(或2)的范围并且不再越出这个范围的时间，记为ts；超调量 %：响应曲线第一次越过静态值达到峰值点时，越过部分的幅度与静态值之比，记为。时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =AB100%调节时间ts上升时间tr调节时间 tstrtpAB%= 10

4、0%BAts系统动态特性可归结为： 1、响应的快速性，由上升时间和峰值时间表示； 2、系统的平稳性，或对所期望响应的逼近性，由超调量和调节时间表示。 由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。以二阶系统为例，可知：值越大，系统的平稳性越好；值越小，响应的快速性越好，但输出响应振荡越强。y(t)3.2 时间响应和典型输入信号系统的动态过程（瞬态响应）系统的响应过程（时间响应）系统的稳态过程（稳态响应、静态过程）描述系统的稳态性能（静态性能）描述系统的动态性能稳？ 不稳？ 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间

5、域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础，通常规定控制系统的初始状态为零状态。这些信号称为控制系统的典型输入信号。这些都与输入信号有关 尽管在时间系统中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以只有知道系统对典型输入信号的响应，再利用下式，即可求得系统对任意输入的响应。Xi2(s)XO2(s)=G(s) =Xi1(s)XO1(s) 系统的输入信号可分为确定性信号和非确定性信号。确定性信号是能用明确的数学关系式表达的信号；非确定性信号又称随机信号，是无法用明确的数学关系式

6、表达的信号。 对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。 对典型输入信号的要求： 1、能够使系统工作在最不利的情形下；2、形式简单，便于解析分析；3、实际中可以实现或近似实现。 典型输入信号的选择原则： 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号；若输入信号为冲击输入量，选用脉冲函数；若输入信号为往复运动，则选用正弦函数。 输入信号常用两类：其一是系统正常工作时的输入信号，然而使用这些信号未必能全面了解系统的动态性能；其二是外加测试信号，经常采用的有脉冲函数、阶跃

7、函数等。1、单位阶跃函数1(t)tf(t)0其拉氏变换为：s1dte1)s(F)t(fL0st=-=0t00t1)t(1)t(f其数学表达式为：t 2、单位斜坡函数0t0t0t)t(1t)t(f=.=其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)t(fL=-f(t)0 其数学表达式为：它的数学表达式为 曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。3、抛物线函数（等加速度函数）4、单位脉冲函数000)()(=ttttfd 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()(=sFtfL+-=1)(dttd定义： 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。5、正

8、弦函数其拉氏变换为：220sin)()(sdte tsFtfLst+=-000sin)(=ttttf 其数学表达式为：f(t)常用的典型输入信号Asint 正弦信号 1(t)，t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t， t0 单位速度(斜坡)信号 1(t)，t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 一、数学模型 可用一阶微分方程描述的系统，惯性环节（一阶惯性环节）、积分环节都是一阶系统，惯性环节是其典型。3.3 一阶系统的时间响应惯性环节的惯性环节的传递函数：二、在不同输入函数下的时间响应函数1、一阶系统的单位阶跃响应10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t6

9、3.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T看书上不同时刻系统的阶跃响应一阶系统单位阶跃响应的特点： 响应分为两部分： 瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态过程、过渡过程） 。稳态响应：1表示t时，系统的输出状态。 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 增大，且无振荡。当xo() = 1时，ess=0，即无稳态误差； xo(T) = 1 - e-1 ，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T。 时间常数T 反映了系统响应的快慢，由一阶系统的固有特性决定，与输入输出无关。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳

10、态值的95%98%时，可认为系统响应过程基本结束，从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快，越容易改变系统的状态。1. 平稳性：2. 快速性ts：3. 准确性 ess：非周期、无振荡， 0 控制系统在稳定前提下，要求：稳、快、准。问：已知系统是一个一阶系统，怎么用实验法求系统的G(s)？ 2、一阶系统的单位脉冲响应xo(t)1/T0t0.368 1T斜率xo(t)T一阶系统单位脉冲响应的特点： 瞬态响应：(1/T )e t /T ； 稳态响应：0； xo(0)=1/T，随时间的推移，xo(t)指数衰减； 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度

11、小于T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。 看书上不同时刻系统的脉冲响应3、一阶系统的单位斜坡响应0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=T一阶系统单位速度响应的特点: 瞬态响应： T e t /T ；稳态响应：t T。 经过足够长的时间（稳态时，如t 4T），输出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T。 系统响应误差为： 注意到，对一阶系统： 即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。 这种输入输出间的积分微分性

12、质对任何线性定常系统均成立。例：某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变化的规律为 ，实验测得当t=60s时温度计读数达到实际水温的95%, 试确定该温度计的传递函数。温度计插入温度恒定的热水后，温度计显示温度为阶跃响应过程。方法1：响应为典型一阶系统单位阶跃响应。解：将实验数据带入计算得 方法2：例：原系统传递函数为 ，现采用如题所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时间减小为原来的倍，并且保证原放大倍数不变，试确定参数K0 ， KH的值。解：原系统传递函数新系统的传递函数 据题意，列方程组：6、不同时间常数下的响应情况 由上图可知，T越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：ts,它是一阶

13、系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-)所需的时间(为容许误差)。 =2%,ts=4T, =5%,ts=3T，调整时间ts反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。3.4 二阶系统的时间响应 一般控制系统均系高阶系统，但在一定准确条件下，可忽略某些次要因素，近似地用一个二阶系统来表示。一、二阶系统函数 式中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期； 为阻尼比；n1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：极点（特征根）：特征根完全取决于 ，n两个参数。 欠阻尼二阶系统：0 1具有两个不相等的负实数极点： 无阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点： 负阻尼二阶系

14、统： 0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。二、二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼（01 c(t)t0nn (s2+2 s+n2)s1Xo(s)=2=nn (s+)2 1s2 过阻尼（1）状态 特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长；xo () = 1，无稳态误差。 负阻尼（0）状态 0txo(t)-10t0 xo(t)-1 -10：输出表达式与欠阻尼状态相同。 -1：输出表达式与过阻尼状态相同。 特点：振荡发散 特点：单调发散 几点结论： 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，但响应愈快

15、； = 0时，出现等幅振荡。 工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，其他仪器通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。 若给定系统设计性能，比较一阶系统、二阶系统，通常选二阶系统，因其更易得到较短的过渡时间，且二阶系统的振荡性能也通常能满足要求。 C(s)s2+s+44R(s)=例：已知二阶系统的闭环传递函数，求系统的单位阶跃响应。解：得：2 = 4n 2n =1sin(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-t+)ent-21-

16、dsin(=75o-1=tg 21- =1.9d = n2 1- =2n 三、二阶系统的单位脉冲响应 欠阻尼0 1：四、二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时 临界阻尼 欠阻尼 过阻尼例：已知系统传递函数解：1）单位阶跃输入时 从而： 2）单位脉冲输入时，由于因此：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。五、二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。 由单位阶跃响应求二阶系统的性

17、能指标的原因：1、阶跃输入较容易产生，从单位阶跃响应求其它种类的响应比较容易；2、单位阶跃输入使系统工作在最不利状态下；3、在实际中，许多输入类似于阶跃输入。 评价系统快速性的性能指标 上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 调整时间ts响应曲线由零时刻到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。 最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差再除以稳态值。通常用百分数表示： 若xo(tp) xo()，则响应无超调。 振荡次数N在调

18、整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。 评价系统平稳性的性能指标 欠阻尼二阶系统的时域性能指标 上升时间tr根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：从而：即：显然， 一定时，n越大，tr越小；n一定时， 越大，tr 越大。 峰值时间tp，并将t = tp代入可得： 令即： 根据tp的定义解上方程可得： 可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。 最大超调量 Mp 显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。0