2021-2022学年山东省莱西市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年山东省莱西市高一下学期期中数学试题一、单选题1下列选项正确的为（）A若与都是单位向量，则B若与是平行向量，则C若与平行，则存在唯一实数，满足DD【分析】利用向量的概念判断A，B选项；若与平行，且时，为非零向量，来判断C选项；利用向量三角不等式来判断D选项.【详解】解：若与都是单位向量，则，但与方向不一定相同，故A错误；若与是平行向量，则与方向相同或相反，且与的模不一定相同，故B错误；若与平行，且时，为非零向量，则找不到实数使得，故C错误；当与方向相同时，当与不共线时，由三角形三边关系可知，故D正确.故选：D2下列说法正确的是（）A如果a，b是两条直线，ab，那么a平行于经

2、过b的任何一个平面B如果直线a和平面满足a，那么a平行于平面内的任何一条直线C如果直线a，b满足a，b，则abD如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么bD【分析】根据线面平行的定义即可判断A；根据线面平行的性质定理可判断B；根据线面平行的定义即可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D【详解】如图，在长方体ABCDABCD中，AABB，AA在过BB的平面AB内，故选项A不正确；AA平面BC，BC平面BC，但AA不平行于BC，故选项B不正确；AA平面BC，AD平面BC，但AA与AD相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与相交，因为ab，所以a与相交，这与a矛盾，故b，即选项D正确故选：D.本

3、题考查了线面平行的定义、判定定理、性质定理，需理解定理与定义，属于基础题.3在中，已知，则下列选项中正确的为（）AB外接圆的半径为C的面积为DB【分析】利用正弦定理可得，进而可得，然后利用三角形面积公式可得，即得.【详解】因为，又，故B正确，D错误；，故AC错误.故选：B.4若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论错误的为（）A圆锥的底面半径为1B圆锥的母线长为2C圆锥的体积为D圆锥的高为C【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长、高即可判断作答.【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则有，解得，圆锥的高，圆锥的体积，即选项A，B，D都正确，C不正确.故选：C5已知，则

4、与的夹角为（）ABCDD设平面向量与的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可求得的值，可计算出，结合可求得的值.【详解】设平面向量与的夹角为，可得，所以，因此，.故选：D.6已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（）A若，则B若，且，则C若，则D若，则D【分析】根据线面垂直与面面垂直的性质和判断定理逐项分析即可求出结果.【详解】对于A：若，, 与可能平行，也可能异面故，故A错误.对于B：若，且，当时，平面 与可能平行，也可能相交，故B错误.对于C：若，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误.对于D：若，则，故D正确.故选：D.7已知，三点均在球的表面上，且球心

5、到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（）A球的外切正方体的棱长为B球的表面积为C球的内接正方体的棱长为D球的半径为A【分析】利用等边三角形的性质及球的性质可得球的半径，进而可得球的表面积，然后结合正方体的性质即可判断.【详解】设球O的半径为，的外接圆半径为，则，因为球心O到平面的距离等于球O半径的，所以，得，即，故D错误；球O的外切正方体的棱长b满足，故A正确；所以球O的表面积，故B错误；球O的内接正方体的棱长a满足，即，故C错误.故选：A.8已知，过点作垂直于点，点满足，则的值为（）ABCDD作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得，再由平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】

6、由题意，作出图形，如图，由可得，又，则，.故选：D二、多选题9设三个不同的平面将空间分成个不同的部分，则的可能的取值为（）A4B5C7D8ACD【分析】此类问题的解决可以借助实物模型来研究，结合所学的立体图形如空间直角坐标系、三棱柱的三个侧面，以及三个平交于同一条直线的位置时求出三个平面将空间分成几个部分.【详解】当三个平面互相平行时，；当两平面平行，另一平面与其相交时，；当三个平面两两相交于三条直线时，若三交线平行，则，若三交线共点，.故选：ACD.10在中，已知，给出下列结论中正确结论是（）A由已知条件，这个三角形被唯一确定B一定是钝三角形CD若，则的面积是BC【分析】可设的周长为，则由，

7、可将边长均用表示出来，故三角形不确定，A错误；根据三边长计算最大的角的余弦值，根据符号确定三角形是否是钝角三角形；根据边长比和正弦定理可确定；根据，求出三角形三边长，计算三角形的面积.【详解】可设的周长为，则由，可得，又，则，故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；由正弦定理，故C正确；由，则，得，故，由，得，的面积是，故D错.故选：BC本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，是一道解三角形的综合应用题，属于中档题.11在平面直角坐标系中，分别是与，轴正方向相同的单位向量，对于直角，若，则实数可能的取值为（）A1B2C6DAC【分析】根据题意可用坐标表示单位向量，即可用坐标表

8、示，结合直角三角形的性质可得或或，利用向量数量积的坐标运算分别求解即可.【详解】解：由题可设，则，因为为直角三角形，则或或，若，则，解得，若，则，解得，若，则，即，则，无解，故实数可能的取值为-1，-6.故选：AC.12在如图所示的三棱锥中，两两互相垂直，下列结论正确的为（）A直线与平面所成的角为B二面角的正切值为C到面的距离为D作平面，垂足为，则为的重心BD【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，可得为直线与平面所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得平面，即得为二面角的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项

9、.【详解】解：因为，两两互相垂直，平面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角为，故A错误；取中点为，连接，因为，两两互相垂直，所以，因为，所以平面，故为二面角的平面角，则，故二面角的正切值为，故B项正确；因为，所以，设到面的距离为，则，解得，故C项错误；因为，故为等边三角形，因为平面，则点为点在平面上的投影，又，即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等，故为的重心，故D项正确.故选：BD.三、填空题13在中，角，所对的边分别为，则实数的值为_；1【分析】利用余弦定理可得到，即可求解.【详解】解：因为，由余弦定理可得，即，又，整理得，故.故114已知直线，和平面，且，则与的位

10、置关系为_；或；【分析】由，由线面垂直的性质和线面位置关系，可判断或【详解】解：若，由可知，符合题意，即可能在内；若，设过的平面为，且，则，故，符合题意，即可能与平行故或15已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为_；【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.【详解】因为，所以向量在上的投影向量为.故答案为.16若，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列，则；，则；，则；若，过内的一点且与垂直，则；若，则其中错误命题的序号为_（将所有错误的序号都填上）【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，结合线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质逐项

11、判断即可.【详解】解：，由线面平行的性质可得，故正确；，根据面面垂直判定定理的推论(如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直（法向量垂直的平面互相垂直）)可得，故正确；，或，又，利用面面垂直的判定定理(一个平面过另一平面的垂线，则这两个平互垂直.)或面面垂直判定定理的推论(如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直)可得，故正确；若，过内的一点且与垂直，则直线可能与平交，但不会垂直，也可能或，故错误；若，利用面面垂直的性质（如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面）可得，故正确；故.四、解答题17试分别解答下列两个小题：(1)设，是不共线的两

12、个向量，试确定实数，使得和共线；(2)已知是坐标原点，在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由(1)；(2)存在或满足题意，理由见解析.【分析】（1）利用向量共线定理即得；（2）设，然后利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示可得，即得.【详解】(1)由于和共线，设，由于，是不共线的两个向量，所以，解之得(2)设，则，从而，从而，即，解之得：或，所以存在或满足题意18如图，和都垂直于平面，且，是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直可得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证

13、明即可；【详解】(1)证明：（1）取的中点，连接，是的中点，和都垂直于平面，四边形为平行四边形，从而，平面，平面，平面(2)证明垂直于平面，平面，平面，平面，由（1）可知：，平面19在中，角，的对边分别为，(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状(1)(2)最大值为，为正三角形【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)解：，由正弦定理可得，从而，即，(2)解：，由余弦定理得：，即，由于（当且仅当时取等号）所以，即（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）当时，的面积最大

14、，且最大值为，由于，所以此时为正三角形20在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得，结合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）先求解点到平面的距离，再求解的面积，利用锥体的体积公式即可求解.【详解】(1)解：，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，平面平面.(2)取的中点，连接，平面平面，平面，平面，平面，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即点到平面的距离为的长.，从而，四边形为平行四边形，.21已知，分别为三个内角，的对边，且满足，为边上的一点(1)若的面积为，求

15、的长；(2)若，试求的最大值，并指出此时的位置(1)；(2)8，为的中点.【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换可得，进而可得，利用三角形面积公式可求，再应用余弦定理求；（2）由正弦定理可得，则有，结合的范围，根据正弦函数的性质求最大值【详解】(1)，从而，即，的面积为，可得，而，在中，在中，由可得：.(2)由上可知，又，所以为正三角形，在中，由正弦定理可得：，即，所以当，即时，最大，最大值为8.此时因，所以，又为正三角形，所以，即为的中点.22如图，为矩形，为梯形，平面平面，(1)若为中点，求证：平面；(2)求直线与直线所成角的大小；(3)设平面平面，试判断与平面能否垂直？并求平面与平面所成锐二面角的大小(1)证明见解析(2)(3)垂直，【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用线线平行可得是直线与直线所成角，利用面面垂直可得，结合已知条件可得，利用线面垂直可得，可得出的值，即可求解.（3）根据题意可得，利