数字信号处理：第2章 时域离散信号和系统的频域分析

1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5 序列的Z变换2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性1本章重点：（1）序列的傅里叶变换DTFT；（2）Z变换； （3）利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本课程也是数字信号处理这一领域的基础 22.1 引言 信号和系统的分析方法有两种：即时域分析方法和变换(频率)域分析方法。在模拟信号和系统中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉

2、普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义， 而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的。 3 在时间域中，时域离散信号(序列)x(n)是序数n的函数，这里n可看成时间参量。时域离散系统的单位脉冲响应是系统在时间域的描述，线性常系数差分方程是时域离散系统输入输出之间关系的描述。42.2.1 序列的傅立叶变换的定义离散时间傅里叶正变换 DTFT：2.2 序列的傅立叶变换(DTFT)

3、的定义及性质 序列x(n)的傅里叶变换X(ej)是x(n)的频谱函数。可以用DTFT (Discrete-time Fourier Transform)缩写字母表示。 频谱函数可用下式表示：DTFTx(n)存在的充分条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足式： 。5离散时间傅里叶反变换IDTFT (Inverse Discrete-time Fourier Transform)：用e jm乘DTFT式两边， 并在-内对进行积分推导：6x(n)和X(ej)是一对傅立叶变换对 DTFT存在的充分条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，其傅立叶变换可用冲激函数的形式表示出来，如周期序列。

4、7例 已知x(n)=(n)，利用傅立叶变换求它的频谱函数。解 按照频谱函数式因为只有在n=0时，(n)=1，而对其他的n，(n)=0，因此将n=0带入上式中，可得到说明：(n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数1。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。(n)的幅度特性：8 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的DTFT 解： 9 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 N=4时， 幅度与相位随变化曲线: x(n)=RN(n) 1011122.2.2 序列的傅立叶变换的性质 1、DTFT的周期性 2、DTFT的线性 3、DTFT的时移和频移特性 4、DTFT的对

5、称性 5、时域卷积定理 6、频域卷积定理 7、帕斯维尔(Parseval)定理131、DTFT的周期性由序列的傅立叶变换公式： M取整数，可以把频率分成两部分 因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。 X(ej)可以展成傅里叶级数， x(n)是其傅里叶级数系数。 由于DTFT的周期性，一般只分析之间或02之间的 DTFT。时域的离散导致频域的周期延拓14说明：数字频率与模拟角频率的区别与联系举例：图 2.2.2 cosn的波形=2M，M为整数，序列的直流分量=(2M+1)，一个时间波形变化愈快，意味着它包含的频率愈高，对于序列变化最快的波形151） =T，模拟角频率的单位为rad/s，

6、而数字频率的单位为rad，代表在一个采样间隔T上正弦序列相位的变化量。2） 、所代表的信号变化快慢有所不同：对模拟角频率，越大，模拟正弦信号变化越快；而对数字频率，正弦序列对的变化呈现2周期性，当= 2M时，变化最慢，当= (2M+1)时，变化最快。所以将=0附近称为数字低频，将= 附近称为数字高频。设那么式中a和b为常数。 满足比例叠加性2、DTFT的线性163、DTFT的时移和频移特性设那么傅立叶变换的时移性： 如果信号延时n0，那么它的傅立叶变换相应地增加相位移n0。 傅立叶变换的频移性： 如果信号的傅立叶变换在频率轴上位移0，那么时间域信号相应地增加相角0n。17例 在例2.2.1中已

7、求出x(n)=RN(n)的傅立叶变换为试求y(n)=x(n-n0)=RN(n-n0)的傅立叶变换。解 令 n=n-n0, 即 n=n+n0 则 按照傅立叶变换的基本定义，可以得到:184、DTFT 的对称性1）概念共轭:复数x=a+jb，式中a、b是实常数，如果取它的共轭，则得到x*= a-jb 。复序列x(n)=ejn=cos(n)+jsin (n)，取它的共轭，则得到x*(n)=e -jn=cos (n)-jsin (n)。 y(n)=jejn，取共轭则得到y*(n)=-je-jn。对称： 序列x(n)如果服从公式：x(n)=x(-n)，则称x(n)是一个对称序列。192）共轭对称序列与共

8、轭反对称序列（1）定义 如果序列满足为共轭对称序列用xe(n) 表示。 如果序列满足为共轭反对称序列用xo(n) 表示。20（2）性质 A 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：将xe(n)用实部和虚部表示：将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：21B 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：将x0(n)用实部和虚部表示：将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：对比上面两式，因为左边互为相反数，故可以得到：22例2.2.2 试分析x(n)=ejn的对称性。解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性，将x(n)的n用-n代替，得到: x(-

9、n)=e-jn由于x(n)x(-n)，因此它不具有对称性。但对上式再取共轭，得到: x*(-n)=ejn将上式和原信号对比，得到x(n)=x*(-n)，因此该信号具有共轭对称性。 将信号用欧拉公式展开，则得到： x(n)=ejn=cos (n)+j sin (n)共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数23例 试分析y(n)=jejn的对称性。解 先分析它是否是对称序列，将式中的n 用-n代替，得到:y(-n)=je-jny(n)y(-n)上式说明该函数不是对称序列。 如果再对y(-n)取共轭, 得到: y*(-n)= - jejny(n)= -y*(-n)上式说明y(n)是一个共轭反对称序列

10、。 用欧拉公式展开，得到： y(n)= -sin (n)+j cos (n)共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数243）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示（1）时域 证明：将上式中的n用-n代替，再取共轭，可得到下式： 利用上面的两个公式即可求得xe(n) 和xo(n)，即25（2）频域 用时间域信号说明的共轭对称概念，对频域函数也有相同的共轭对称的概念。 如果频域函数X(ej)服从： Xe(ej) =Xe*(e -j) 则称Xe(ej)是一个共轭对称函数。 如果频域函数X(ej)服从： Xo(ej)= -Xo*(e-j) 则称Xo(ej)为共轭反对称函数。 对于频域，同样有

11、：26讨论两种情况：A、将序列分成实部xr(n)和虚部xi(n)将实部进行FT其实部具有共轭对称性。将虚部进行FT其虚部具有共轭反对称性。结论：实部对应的DTFT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。27B、将序列分成共轭对称xe(n) 部分与共轭反对称xo(n)部分且有：对上面两式取FT，得到结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应FT的实部， 序列的共轭反对称部分xo(n )对应FT的虚部。28DTFTDTFT小结：29实因果序列对称性的讨论： 因为h(n)是实序列， 其DTFT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)

12、=H*(e-j) 因此实序列的DTFT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)= -HI(e-j)30 分成共轭对称部分与共轭反对称部分： h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示： (2.2.27) -偶函数31(2.2.28) 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.3

13、0)(2.2.31)h(n)是实序列,因此he(n)是偶函数, ho(n)是奇函数-奇函数32例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n)-偶函数-奇函数335、时域卷积定理设则证明：令 k=n-m ，则定理说明： 在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的DTFT，再作逆变换。346、频域卷积定理如果两个时域信号服从相乘的关系，它们分别的频域函数则服从卷积关系设则证明：交换积分和求和次序得到：定理表明： 在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。357、帕斯维尔(Parseval

14、)定理 帕斯维尔定理说明：信号时域的总能量等于频域的总能量，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。证明：3637表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质38习题 1394041422.3 周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式问题的提出： 因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此DTFT不存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入奇异函数() ，周期序列的DTFT可用公式表示。 432.3.1 周期序列的离散傅立叶级数(DFS) 设 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式。如何确定傅立

15、叶级数的系数ak ？基波分量(k=1)：k次谐波分量：44直流分量(k=0)： 两边同乘 并对n在一个周期中求和。对式确定傅立叶级数的系数ak：45 46DFS变换对 也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数，用DFS (Discrete Fourier Series)表示物理意义 周期序列 可分解成N次谐波。 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 , N-1，幅度为（1/N） 。 基波分量的频率是2/N， 幅度是（1/N） 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 47例2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得

16、到如图所示的周期序列 ，周期为8，求周期序列 的DFS。解：按照DFS定义式48图 2.3.1 例2.3.1图幅度特性492.3.2 周期序列的傅立叶变换表示式1. 复指数序列的傅立叶变换表示法模拟系统中 复指数函数离散系统 复指数序列上式表示复指数序列的DTFT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯一等于 。50按照反变换的定义在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为 。证明：512. 一般周期序列的傅立叶变换式对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数类似复指数序列的DTFT，周期序列第k次谐波 的DTFT为： 因此 的DTFT为：如果k在

17、之间变化，上式可简化成52 表2.3.2 基本序列的傅里叶变换 53例2.3.2 求例2.3.1中周期序列的DTFT。 解： 将例2.3.1中得到的 代入下式中得到得：54图 2.3.3 例2.3.2图幅频特性对比图2.3.1， 对于同一个周期信号，其DFS和DTFT分别取模的形状是一样的，不同的是DTFT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者DTFT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。 图 2.3.1 例2.3.1图 DTFTDFS55DTFT 例2.3.3 令 ，2/0为有理数，求其DTFT。 解： 将 用欧拉公式展开(2.3.11) 56

18、 cos0n的DTFT：是在=0处的单位冲激函数，强度为， 且以2为周期进行延拓。57图 2.3.4 cos0n的DTFT 2.4 时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换之间的关系模拟信号xa(t)的傅立叶变换用 Xa(j) 表示傅立叶变换对：采样信号 的傅立叶变换用 表示傅立叶变换对： （见教材p23）序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与模拟信号的傅立叶变换之间的关系如何？数字频率、模拟角频率的关系如何？58离散信号的傅立叶变换DTFT模拟信号的傅立叶反变换为：取t=nT时，则有 由于时域离散序列x(n)是采样信号 构成，所以有式1与式2方程左边数值相同，由于方程右边的积分上下限不同

19、，故无法得到X(ej)和Xa(j)之间的关系。 式1式259将上式变成无数个小区间之和，区间间隔为2/T60又=T=/fs，所以比较等式：可得结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换Xa(j)以周期s=2/T 进行的周期延拓。61模拟角频率与数字频率值对应定标关系(1) = T= /fs=2f/fs。(2) 归一化频率f =f /fs 或 =/s ，=/2。(3) 因为f 、 和 ，都是无量纲， 刻度是一样的。(4) f、f 、 、的定标值对应关系：模拟折叠频率fs/2对应数字频率。(5) 满足采样定理：fcfs/2。(6) 不满足采样定理：= 或 f =fs/2附近引起混叠。

20、62 【例】设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的DTFT。 解： Xa(j)是=2f0处的冲激函数，强度为。63以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 与xa(t)的关系式为： 傅里叶变换：即以s=2fs为周期，是Xa(j)的周期延拓。(2.4.9)64将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)x(n)的DTFT： 实际上只要将=/T=fs代入 中即可。 将fs=200 Hz，f0=50

21、 Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：65 66强度不同 如同拉氏变换对于连续时间信号与系统，Z变换在离散时间信号与系统的分析中起着非常重要的作用。对于连续时间信号xa(t )，其频谱为 = 若积分不存在，则xa(t)的频谱不存在，无法分析信号，但许多有用信号的傅立叶变换是不存在的例如阶跃信号、正（余）弦信号等。为分析这类信号，借助一衰减因子e-t 。 2.5 序列的Z变换 2.5.1 Z变换的定义 67 频谱(j)复频谱( s )傅立叶变换 拉氏变换 推广 特例 定义的拉氏变换68 对于离散时间信号x(n) ，其频谱为=DTFT 若级数不收敛，则x(

22、n)的频谱不存在。仿照连续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子r-n。例如，分析阶跃序列u(n)的频谱DTFT u(n) 若 ，则级数收敛，但要求 。69若 ，则级数收敛，但要求 。 对于任意一个序列x(n) 定义x(n)的Z 变换 z 再如，DTFT 其频谱不存在，而 70。 可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅与数字频率有关，且与r有关，构成了一个复频域Z域， 。DTFT z 频谱(j)复频谱( z )Z变换： 序列的Z变换，在讨论序列的频率特性同时要讨论r的取值范围, 以保证 Z变换级数收敛。711. 双边Z变换与单边Z变换的定义(2.5.

23、1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。在定义中，对n求和是在之间求和，称为双边Z变换。 单边Z变换的定义： 单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本课程中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(2.5.2) 序列x(n)的Z变换定义为：72使(2.5.3)式成立， z变量取值的域称为收敛域。2. 收敛域(ROC: region of convergence)的定义(1) 收敛域的定义：Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和， 即 (2.5.3) 若级数不收敛，Z变换无意义。 若给定X(z)，必须同时给定

24、收敛域才能唯一地确定x(n)。一般收敛域可用环状域表示：Rx-|z|Rx+。73例1例2但 74为使X1(z)存在，要求 |z| Rx- 为使X (z)存在，要求 Rx-|z| Rx+ 753. DTFT和ZT之间的关系序列的傅里叶变换定义式Z变换定义式DTFT和ZT之间的关系， 用下式表示： (2.5.4) 式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。 (2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的DTFT， 条件是收敛域中包含单位圆。序列傅立叶变换推广 特例 Z 变换76例2.5.1 x(n)=u(n)，

25、求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1， |z|1。 由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在。如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明：一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。774. Z变换的表示常用Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是零点，分母多项式Q(z)的根是极点。在极点处Z变换不存在，收敛域中应无极点。 收敛域总以极点限定起边界。78 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特

26、性与收敛的一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它 序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。79有限长序列Z变换为： 设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛-收敛域是有限的Z平面。 如果n20， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下： n10， n20时， 0|z| n10时， 00时， 0|z|80例2.5.2 求x(n)=RN(

27、n)的Z变换及其收敛域 解： 这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。 由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在。 求RN(n)的DTFT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果(2.2.5)公式是相同的。81 2. 右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1时，序列值全为零。右序列的Z变换表示为：如果n1-1:第一项为有限长序列，其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为 Rx- |z| 圆

28、外如果n10：因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是最小的收敛半径。圆外因果序列是最重要的右序列: n0, x(n)0，收敛域定为Rx-|z|。 82例2.5.3 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解： 在收敛域中必须满足|az-1|a|。圆外833. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2时，序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为：如果n20：z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+，Rx+是最大的收敛半径)的圆内， 收敛域为0|z|0：第一项为正幂级数,其收敛域为0|z|Rx+，Rx+是第一项最大的收敛半径。第二项为有限长序列, 收

29、敛域为0|z|。将两收敛域相与, 其收敛域为0|z|Rx+。圆内84例2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域 X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域。 如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。 86例2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。 解： 87第一部分收敛域为|az|1, 得|z|a|-1, 第二部分收敛域为|az-1|a|。 如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式： |a|z|a|-1如果|

30、a|1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。 当0aa， 求其逆Z变换x(n)。 为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点： 极点有：z=a; 当n0时，z=0是一个n阶极点 当n0时，z=0不是极点。 分成n0和n0两种情况求x(n)。 n0时，解：105 n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数， 采用留数辅助定理求解， 检查(2.5.10)式是否满足，此处n0，只要N-M 0， (2.5.10)式就满足。 该题围线外无极点，n0, x(n)=0。图 2.5.4 例2.5.6中n|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |

31、z|a-1|收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的x(n)。 当n0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此 最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。108 2) 收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况， 当n0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和最后将x(n)表示成: x(n)=(a-n-an)u(-n-1)。109 3) 收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n0和n0两情况分别求x(n)。 n0时， c内极点

32、z=a x(n)=ResF(z), a=an 。n0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n 。 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n3可知x(n)-右边序列例 已知 X(z)及其收敛域，求 x(n)有二个极点z=3和z=1/3111 可见， X(z)为 z 和 z-1的幂级数，各项的系数即为对应的序列值。 一般地， X(z)为有理分式形式，可通过长除把它展开为幂级数。在展开之前，首先应考察 X(z) 的收敛域，判断对应的是左边序列还是右边序列。 如果

33、x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如果x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 （2）幂级数法(长除法)112 1-az-1 例 2.5.8 已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。解： 由收敛域判定这是一个右序列,用长除法将其展成负幂级数降幂排列113例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成z正幂级数 -az-1 +1升幂排列114求 的反变换， （a） （b） 例115求 的反变换， 解： （a） 对应右边序列（长除-负幂级数）（b） 对应左边序列（长除-正幂级数 ） 116例 已知 X(z) 及其收敛域，求 x(n)。解：由

34、ROC: |z| 可知x(n)左边序列升幂117（3）部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。 设X(z)只有N个一阶极点，可展成：118 观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am(2.5.13) (2.5.14) 求出Am系数(m=0, 1, 2 , N)后，很容易示求得x(n)序列。119例2.5.10 已知 ，求

35、逆Z变换解： 因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|zROC 得右边因果序列：)()()()(312121nununxn-= （2）311:zROC 得双边序列：)()()1()(312121nununxn-= （3）31:zROC 得左边序列：)1()()1()(312121-+-=nununxn 123 表2.5.1 常见序列Z变换124表2.5.1 常见序列Z变换（续）125求：h(n)126 2.5.4 Z变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1、线性 设 X(z)=ZTx(n), Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry-|

36、z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z), Rm-|z|Rx-Ry+Ry-时，则M(z)不存在。127 2、序列的移位 设 X(z)=ZTx(n), Rx-|z|Rx+ 则 ZTx(n-n0)= , Rx-|z|Rx+ (2.5.16)1283、乘以指数序列（Z域尺度变换） 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z), |a|R x- |z| |a|R x+ (2.5.17）证明因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a|

37、 Rx+ 。129 4、序列乘以n（Z域微分性质） 设 则(2.5.18) 证明 1305、复序列的共轭 设则 证明 (2.5.19)1316、初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n) (2.5.20) 证明 因此 132证明 因为x(n)是因果序列，7、终值定理(2.5.21) 序列的移位133 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则 终值定理也可用X(z)在z=1点的留数求，因为 (2.5.22) 因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。 因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限134初值

38、定理 确定因果序列的初始值x(0) 终值定理 确定序列的收敛值x() 注意：使用这两个定理是有条件的： 初值定理是针对因果序列而言的； 终值定理则只允许X(z)在z=1处有一个一阶极点，其它的极点都集中在单位圆内，即 135。例题：已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列的初值和终值x(0)=0 x()=2136 8、序列卷积 则 设137证明 W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。138线性移不变系统的分析方法：z线性移不变h(n)H(z)时域复频域zz139例2.5.11 已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n), |a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输

39、出序列y(n)。解：求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。(1) 直接求解线性卷积y(n)=h(n)*x(n)140由收敛域判定y(n)=0, n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a将y(n)表示为 (2) Z变换法141。9、复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z), R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)则W(z)的收敛域 (2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24) (2.5.25)(2.5.26)142证明 由X(z)收敛域和Y(z)的

40、收敛域，得到因此 143例2.5.12 已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|， 若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)。 解： W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。 14410、帕斯维尔(Parseval)定理那么 v平面上，c所在的收敛域为(2.5.28)式还可以表示成下式(2.5.28)145令w(n)=x(n)y*(n)。按照(2.5.24)式，得到R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。 利用复卷

41、积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。证明146 如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到(2.5.29) 令x(n)=y(n)得到 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理(2.2.34)式是相同的。147序列Z变换收敛域 线性 移位 乘指数序列 X(z) 的微分 x(n) 的共轭 卷积 复卷积 Z变换特性表148序列Z变换收敛域ROC 初值 终值 X(z)z n-1收敛于 parseval ROC?149其中 已知 利用z 变换性质求y(n) 的z变换Y(z)。 例 有一个信号y(n) ，它与另两个信号x1(n) 和x2(n) 的关系是150解：

42、 151152153 2.5.5 利用Z变换的线性与移位特性求解差分方程等式两边分别求Z变换线性特性 移位特性 z -1原理：N阶差分方程系统函数154解题过程： 将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 设N阶线性常系数差方程为(2.5.30) 1. 求稳态解2.求暂态解155式中 (2.5.31) (2.5.32) 1. 求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解。Z变换：系统函数1562. 求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。 Z变换要用单边Z变换。 方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。(2.5.

43、30) 设x(n)是因果序列，即x(n)=0，nmax(|a|,|b|)。零输入解零状态解160补充：系统的零输入响应与零状态响应求解法 y (n)= yzi (n)+ yzs (n)1. 求零输入响应进行Z变换-由起始状态 yzi(l) (-Nl1) 决定。yzi (n)=ZT-1Yzi(z)1612. 求零状态响应起始状态 yzi(l)=0 (-Nl1)进行Z变换因果序列x(l)=0 yzs (n)=ZT-1Yzs(z)-由激励 x (n) 决定162例题：已知差分方程-2y(n-2)-y(n-1)+y(n)= 2x(n-2)+x(n)，x(n)=u(n)，起始状态 yzi(-2)= -0

44、.5，yzi(-1)=2，求y(n)。零输入响应: x(n)=0零状态响应:y(-2)=y(-1)=0 y(n)= yzi(n) +yzs(n)163例题：已知差分方程6y(n-2)-5y(n-1)+y(n)= x(n-1)+x(n)， x(n)= u(n)，起始状态 (1)yzi(-2)=yzi(-1)=0， (2) y(-2)=y(-1)=0 求y(n)。1642.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.1频率响应函数与系统函数1、频率响应函数与系统函数定义频率响应函数（或称为传输函数） 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对

45、h(n)进行傅里叶变换得到H(e j) 一般称H(ej)为系统的频率响应(传输函数)，它表征系统的频率特性。 |H(ej)| 称为幅频特性函数; ()称为相频特性函数。165系统函数 对单位脉冲响应h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。166比较连续时间系统与离散时间系统对于连续时间系统： 定义输出信号与输入信号的拉氏变换之比为传递函数：167对于离散时间系统 系统函数系统函数为线性移不变离散时间系统的复频域表示。 线性移不变离散时间系统几种不同的描述形式： 差分方程 单位脉冲响应 时域频率响应H(ej) 频域系统函数H(z) 复频域表示与

46、以上三种形式均存在密切关系。168 H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性, 这也是H(ej)的物理意义所在。若系统输入信号x(n)=ejn, 则系统输出信号为即2、频率响应的物理意义单频复指数信号ejn通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。169利用上面的结论可得到:设h(n)为实序列，则H*(ej)=H(ej)，|H(ej)|=|H(ej)|，()=()，故当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n)。170由此可见，线性时不变系统对单频余弦信号cos(n)的响应为同频余弦信号，其幅度放大|H(ej)

47、|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。 如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取|H(ej)|=1，其他频段|H(ej)|=0, 则Y(ej)=X(ej)H(ej), 就实现了对输入信号的滤波处理。171 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3) 频率响应H(ej)为系统函数H(z)在Z平面的单位圆上取值。3、频率响应函数与系统函数的关系172等式两边分别求Z变换并利用线性及移位特性： 式中：A 为常数，是系统的增益； zi为系统

48、函数的零点， pj为系统函数的极点。4 、系统函数与差分方程的关系173 因果（可实现）系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定要求 ，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|，0r1 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性174例2.6.1 已知 分析其因果性和稳定性。 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。 (1) 收敛域a-1|z|，对应的系统是因果

49、系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2) 收敛域0|z|a，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 (3) 收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。175 图2.6.1 例2.6.1图示 176例题：一个线性移不变离散时间系统的差分方程为：y(n)

50、 + 0.6y(n-1) - 0.16y(n-2) = x(n)+x(n-1)1）求系统的系统函数H(z)，计算系统的极零点，并画出极零点分布图；2）讨论H(z)的收敛域及系统的因果和稳定性，并求出其单位脉冲响应h(n) ；3）求稳定系统的频率响应；4） x(n)=u(n)，求稳定系统对应的输出y(n)。177系统函数:(2.6.4) 式中A=b0/a0，cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性178设系统稳定，将z=e j，得到频率响应函数 (2.6.5) (2.6.6)

51、 设N=M，由(2.6.6)式得到(2.6.7)采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响分子分母同乘以z N+M179 在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量用 表示，同样ej-dr用由极点指向ej点B的向量用 表示： 和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表示将 和 表示式代入得到180图2.6.2 频响的几何表示法(2.6.8)(2.6.9) 系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8-9)式确定。 当频率从零变化到2时,这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周,按照(2.6.8)式(2.6.9)式,分别估算出系统的幅度特性和相位特性。表示了具

52、有一个零点和二个极点的频率特性。幅度特性相位特性181对于幅度响应： 越靠近极点，则越小，越大且越靠近单位圆（ ）, 则，越靠近零点，则越小，越小越靠近单位圆（ ），且，若，根据系统函数的零、极点分布可定性地确定频率响应B182系统函数的零、极点分布对频率响应影响小结：1. 极点位置主要影响频率响应的峰值位置及尖锐程度；2. 零点位置主要影响频率响应的谷点位置和形状。183例2.6.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0， 幅度特性 |H(e j)|=1, 相位特性 ()=- 用几何方法也容易确定：当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。 由该例可以得

53、到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。184例2.6.3 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n-1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。 解：由系统差分方程得到系统函数为 系统极点z=b，零点z=0， 当B点从=0逆时旋转时，在=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在=时形成波谷。z=0处零点不影响频响。 极零点分布及幅度特性图：185例2.6.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性解： H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。 H(z)的零点有N个，由分子多项式的根决定N个零

54、点等间隔分布在单位圆上。186图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性 设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,(N-1)。 一般将具有如图2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。 187例 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。解： 零点：极点： 设N=8，z=1处的极点零点相互抵消。N=8矩形序列极零点分布及其幅频特性： 阶零点 188这一节介绍几种特殊的系统，即全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统等。2.6.4几种特殊系统的系统函数及其特点（了解）

55、189 则该滤波器称为全通滤波器(或称全通系统、全通网络)。全通滤波器的频率响应函数可表示成 表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随()改变，起纯相位滤波作用。 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即1. 全通滤波器（2.6.10） 190全通滤波器的系统函数一般形式如下式： （2.6.12） 二阶滤波器级联形式：（2.6.13） 上面两式中的系数均为实数。容易看出，全通滤波器系统函数H(z)的构成特点是其分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反。191（2.6.14） 式中，。证明（2.6.12）式表示的滤波器具有全通幅频特性。由于系数ak是实数，因此 192 这就

56、证明了（2.6.12）式表示的H(z)具有全通滤波特性。 下面分析全通滤波器的零点和极点的分布规律。设zk为H(z)的零点，按照（2.6.4）式，必然是H(z)的极点， 记为， 则pkzk=1，全通滤波器的极点和零点互为倒数关系。如果再考虑到D(z)和D(z1)的系数为实数，其极点、零点均以共轭对出现， 这样，复数零点、复数极点必然以四个一组出现。例如，zk是H(z)的零点，则必有零点、极点、。对实数零极点，则以两个一组出现，且零点与极点互为倒数关系。零极点位置示意图如图 2.6.6所示。193图2.6.6 全通滤波器一组零极点示意 194观察图2.6.6，如果将零点zk和极点组成一对，将零点

57、与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：（2.6.15） 195 显然，（2.6.15）式中极点和零点互为共轭倒易关系。其全通特性的证明留作习题。应当注意，为了保证分子、分母多项式系数是实数，极点、零点分别以共轭对形式出现，当N=1时，零点、极点均为实数。全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计一个具有线性相位的FIR滤波器，也可以先设计一个满足幅频特性要求的IIR滤波器，再级联一个全通滤波器进行相位校正，使总的相位特性是线性的。 196 在前一节例2.6.4中，曾提到具有如图2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器，显然，梳状滤波器起名于它的幅度特性形状。下面介绍一般梳状滤波器的构成方法。 设滤波器的系统函数为H(z)，我们知道，如果其频