2022年一高等数学下册测试题一

1、一高等数学下册测试题一一、挑选题（每道题3 分,本大题共 15 分）D、与平面斜1）设有直线2）L:x3y2z1002xy10 z33）及平面:4x2yz20,就直线 L （C）4）A、平行于平面B、在平面上 C、垂直于平面交5）6）7）8）9）二元函数fx yx2xyy2x y0 , 0在点 0 , 0 处（C）0 x y0 , 0A、连续、偏导数存在B、连续、偏导数不存在C、不连续、偏导数存在D、不连续、偏导数不存在设 fx 为连续函数,F ttdytfx dx,就F2（B）1yA、 2f2B、f2C、f2D、 010） 分析：转变积分次序,可得t x t11）F t 1 dx 1 f x

2、 dy 1 x 1 f x dx F t t 1 f t12）F 2 f 213） 设 是平面 x yz 1 由 x 0 , y 0 , z 0 所确定的三角形区2 3域,曲面积分 3 x 2 y 6 z dS （D）14） A、 7 B、21 2C、14D、 2115） 微分方程 y y e x 1 的一个特解应具有形式（ B）16） A、ae x b B、axe x b C、ae x bx D、axe xbx二、填空题（每道题3 分,本大题共 15 分）xy2z8垂直,1）设平面经过原点及点6 ,3 , 2 ,且与平面 4就此平面方程为2）2 x 2 y 3 z 0；3）设 z arcta

3、n1 xxy y,就 dz 1 , 3 12 dx 14 dy；4）设 L 为 x 2y 21 正向一周,就 . L e dy x 2x 2 y 2 1 2 xe x 20 dxdy 0；5）设圆柱面 x 2y 23,与曲面 z xy在点 x 0 , y 0 , z 0 点相交,且他们的交角为 6,就正数 0z 3 34；6）设一阶线性非奇次方程 y P x y Q x 有两个线性无关的解y 1 , y ,如 y 1 y （, 为常数）也是该方程的解,就应有1；u三、（此题 7 分）设由方程组 x eu cos v 确定 u v关于 x , y 的函数,求y e sin vu v vx及 x和

4、 y；解：利用全微分的不变性1cos v2sinv可得u e ducos vdxsinvdyducosu v dx sinu v dye esin v cos vu dx ue edy1sinv2cosv可得u e dvsinvdxcos vdydv所以ucosv,vsinv,vcosvxu exu eyu e,求函数uln 3 xy3 2 z在点 A处四、已知点A1, 1 ,1及点B3 , 2 ,1uuur 沿 AB方向的方向导数；解：uuur AB2 , 1 ,2uuur AB uuur AB2,1,221x1x4dxxx1x；333五、（此题 8 分）运算累次积分dxe dy ye dy

5、 y1y2y2解：转变积分次序原式2dy2y1x2x2ydy2e 2e ydye 2e 2e2ey21及平面e dx ye y1y 2y1y21六、（此题 8 分）运算 Izdxdydz,其中由柱面xz0 ,z1围成的区域；解：用切片法较好；原式1zdzz212y22z dS,其中是抛物面2zx2y 被020七、（此题 8 分）运算3 x平面z2所截下的有限部分；2 xy24解：在 xoy面上的投影D 为原式D xy3 xy21x2y21x2 y dxdy2注：这里利用了对称性简化运算：八、（此题 8 分）运算4 x2xcos2 xdxx2cos2 xdy,L 是点A2,2yyy2yL到点B,

6、 2在上半平面y0上任意逐段光滑曲线；解：由于P4x2xcosx2,Qx2cosx2yyy2yP2xcosx22x3sinx2Q在上半平面成立,所以此曲线积分在上y2y3yyyx半平面内与路径无关；原式2, 24x2 xcosx2dxx 2cosx2dyx2zx2dxdy,其中为,2yy2 yy九、（此题 8 分）运算xy2dydzyz 2dzdx半球面z1x 2y 的上侧；y21,并取下侧；解：利用高斯公式运算, 设1 为 xoy面上区域x2为,1围成的立体区域；dxdy原式3dxdydzxy2dydzyz2dzdxz12 2十、（此题 8 分）设二阶连续可导函数 y f x ,x st适合

7、 t 2 y 4s y2 0,求 y f x ；解：yf x s2 , yf x 1t t s t2 2 2所以 y2 4 y2 0 可化为 s4 f x 23 sf x 42 f x 0t s t t t解微分方程 x 24 y 2 xy 0,令 P y ,就 P y ,原方程化为十一、（此题 4 分）求方程 y 4 y cos2 x的通解；解：解特点方程 r 24 0,得特点根 r 2 i ,对应其次方程的通解为又由于 p 0 , q 4 2,此方程有特解原方程通解为 y C 1 cos2 x C 2 sin 2 x xsin 2 x4十二、（此题 4 分）在球面 x 2y 2z 2 a

8、的第一卦限上求一点 M ,使以 M 为一个顶点,各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小；解：设 M 点坐标为 x y , z ,以 M 为一个顶点,各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积 S 8 xy xz zy ,由于 x 2y 2z 2 a ；考虑函数解方程组aF x3yz2x020得xyz3a ,所求点为Fyxz2y0F zxy2z033a,3Fx2y2z2a,a ；333有关级数的题目：1）判别级数n1ln 11n1n是否收敛？假如是收敛的,是肯定收n敛仍是条件收敛？2）解：由于ln 11n211,而n1211发散,此级数不肯定收nnn敛；3）又由于ln 21n1ln 11n,且lim nln 11n0,此级数nnn条件收敛；4）求幂级数n0n2n1xn的收敛区间及和函数；2n.5）n121lim nn22 n2120,此幂级数收敛区间为解：lim nn 21n1 .2 n12 n12 nn 2n.,6）n0n2n1xnn1nn1 1nxnn01nxnxn2n.1 .2n .27）nxn1 .x1n11n2n102 .22n.28）x