D第四章 微分方程

1、第四章微分方程 积分问题 微分方程问题 推广 4.1 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念引例 几何问题物理问题案例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 一、 引出微分方程的两个实例引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住

2、, 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程定义1 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。(本章内容)二、微分方程的基本概念分类例1 如 (一阶)(一阶)(二阶)(一阶)引例2 使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1 通解:特解:定义3 微分方程的解 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线.例1. 验证函数是微分方程的解,的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意

3、常数,利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 内容小结 微分方程的概念微分方程;定解条件;说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程解; 阶;通解;特解 y = x 及 y = C 一、可分离变量微分方程 4.2 可分离变量的微分方程 与齐次微分方程一般形式 解法:（1）分离变量（2）两边积分得 （其中 分别是 的一个原函数）以上这种求解过程叫做分离变量法。例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量，得两边积分，得得( C 为任意常数 )故原方程的通解为 注意： 这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是该微分方程的

4、解，但不是通解。例2. 求微分方程的通解.解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例3. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为练习:解: 分离变量即( C 0 )二、齐次微分方程 一般形式 要解该方程，可作变量代换： 即 将代入方程，得 分离变量，得 两边积分，得 求出积分后，再用代替u，便得齐次方程的解 例4 求微分方程 的通解。 令 即 将其代入方程，得 分离变量，得 两边积分，得 代入，便得原方程的通解： 解：

5、原方程可变形为 它是齐次方程。 即 将 例5 求方程 的通解。 令 即将其代入方程，得 分离变量，得 两边积分，得 解：原方程可变形为 它是齐次方程。 即 将 代入得原方程的通解： 4.3 一阶线性微分方程一般形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为一阶线性非齐次方程 .称为一阶线性齐次方程 ;如 方程 都是一阶线性微分方程，其中 (2) 是齐次的，(1) (3) 是非齐次的。4.3 一阶线性微分方程1. 解齐次方程解法：分离变量两边积分得故通解为下面来研究这类方程的解法：该方程的本质是可分离变量的微分方程。齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即

6、即作变换求得 一阶线性方程解法： 方法1 用常数变易法.方法2 用通解公式 (1)先求出对应的齐次线性方程的通解； (2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数 设为待定函数 即可）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，即可写出非齐次线性方程的通解。例1求方程 的通解。 分离变量，得 两边积分，得 解法1 原方程可变为 即 它是一阶线性非齐次方程,它对应的齐次方程为 即 所以齐次方程的通解为 .( C 为任意常数 ) .则设 为非齐次方程的解,将其代入方程得 于是 即 所以原方程的通解为 （ 为任意常数) .将其代入通解公式 解法2 原方程中例2 求

7、方程 的通解。解：原方程可化为以 为自变量， 为因变量的 一阶线性非齐次微分方程先求它对应的齐次方程 的通解为 再设 为非齐次方程的解，将其带入得 于是 则 所以原方程的通解为 （C 为任意常数 ）例3. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点为平行直线,游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则则鸭子游速 b 为且鸭子定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为( 只要求出此初值问题即可 )( 齐次方程 )

8、4.4 可降阶的二阶微分方程一、 型方程这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.例1 求 的通解.解 逐次积分得这就是所求的通解二、不显含未知函数的方程形如的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程若上式可解,设通解为 ,则有积分便得通解解 令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为三、不显含自变量的方程形如的方程的一个特点是不显含自变量x可设 ，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入方程有如果此微分方程是可解的，设其通解为分离变量后再积分，便得方程的通解解：此方程不显含自变量x,令 ，则代入原方程得例3 求方程 的通解。 得与由 得

9、得原方程的通解为故由 得到的解包含 于之中。由 得分离变量并积分， 当取 时， 4.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式它对应的二阶线性齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程定义1:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关。若存在不全为 0 的常数4.5.1 二阶常系数线性微分方程解的性质两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关定理1（二阶齐次线性微分方程解

10、的叠加原理） 如果y1 , y2是二阶齐次线性微分方程 的两个解,则它们的线性组合也是方程的解； 且当 y1 , y2 线性无关时，为方程的通解，其中C1,C2是任意常数是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 2. （非齐次线性微分方程解的结构） 则是非齐次方程的通解 .证: 将代入方程左端, 得一、二阶常系数齐次线性微分方程其中p，q是常数考虑二阶常系数齐次线性方程由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如 的解,将 代入方程使得 4.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 由于 成立当且仅当从而 是 的解的充要条件为r是代数

11、方程 的根 方程 称为 的特征方程，其根称为 的特征根分三种情形来考虑:(1)如果特征方程 有两个相异实根r1与r2, 根据定理1，此时方程 的通解为这时可得方程的两个线性无关的解(2)如果特征方程 有重根，这时可得到方程的一个解，可以再求一个与之线性无关的解,因此方程 的通解为(3)如果特征方程 有共轭复根 则方程有两个线性无关的解为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式将y1与y2 分别写成由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程 的解,显然它们是线性无关的.于是方程的通解为实根 特 征 根通 解 由上述讨论，求方程 的通解的步骤为： (1)写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 ，

12、(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。 以上求解的方法称为特征方程法.例1 试求方程 的通解.解 特征方程 具有两个不同的实根因此, 和 构成原方程的基本解组.原方程的通解为例2 求微分方程 的通解它具有共轭复根解 特征方程为因此所求方程的通解为例3 求微分方程 特征根为解 原方程的特征方程为则所求方程的通解为满足初始条件的特解. 由 得又因为 从而 故所求方程的特解为 由 得4.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程(其中p,q是常数,f(x)是已知的连续)的通解是它的一个特解与它所对应的齐次线性方程的通解之和而方程 的通解问题在上面已经完全解决了.因此,求方程 的通解关键是求出它的一个特解y*.本书只讨论 的情形，这里是常数, 是m次多项式。这时方程具有形如的特解，其中 是与同次的特定多项式，是特征方程的重根依次取0,1或2. 这种求通解的方法称为“特定系数法”而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者例4 试求方程 的通解.解：（1）求方程 的通解；因为它的特征