《理论力学》6 空间力系

1、第六章空 间 力 系1 本章重点、难点 重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。静 力 学2迎 面风 力侧 面风 力b工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去掉风力后为空间平行力系。静 力 学36-1 空间汇交力系或由仰角 与方位角 来确定。1.力在空间的表示的接触之点。一、力在空间轴上的投影与分解：力的三要素：大小、方向、作用点大小：作用点：方向：由、g 三个方向角确定bg

2、qFxyO物体和力矢的起点或终点静 力 学4 一次投影法（直接投影法）由图可知：即： 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上。静 力 学5 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：而：所以：FxFyFz 已知力的投影求该力 力沿坐标轴分解大小：方向：静 力 学6 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。二、空间汇交力系的合成即：合力等于各分力的矢量和 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。 (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用此方法

3、合成）静 力 学7 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。由于 代入上式 合力投影定理 解析法合力定理: 合力的解析求法大小：方向：静 力 学8解析法平衡充要条件为：几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：三、空间汇交力系的平衡亦称为 空间汇交力系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量 平衡的充要条件 几何法平衡充要条件 解析法平衡充要条件静 力 学96-2 空间力偶系一、空间力偶三要素 力偶矩的大小 ； 力偶作用面的方位 ； 力偶的转向 。决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的转向外,还必须确

4、定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作用效应取决于下列三要素：静 力 学y10 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。二、力偶矩用矢量表示 力偶矩矢 力偶矩矢表示方法 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 矢量的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。静 力 学11 证明 ： 作II/，cd / ab 作一对平衡力R, R (在E点, 且 使-R=R) 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。F

5、1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 由反向平行力合成得：三、空间力偶的等效定理 定理静 力 学12 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（ F2， F2） 推论 在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。 空间力偶矩矢是一个自由矢量 由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。静 力 学13四、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合

6、矢量合成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。 合成即：大小：方向：静 力 学14投影式为：显然空间力偶系的平衡条件是：亦称为 空间力偶系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量 平衡静 力 学156-3 力对点的矩与力对轴的矩一、空间力对点之矩三要素 力矩的大小 ； 力的作用线与矩心所组成的平面的方位 。 力矩的转向 ；决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列三要素：例 力P1， P2 ，P3 对汽车反镜绕球铰链O点的转动效应不同静 力 学16二、力对点的矩的矢

7、量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。 力矩矢的表示方法 力矩矢大小 ： 力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面的法线方位相同静 力 学17注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。 力对点的矩的矢积表达式 如果r 表示A点的矢径，则： 导出静 力 学力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。又 结论 力对点的矩的解析表达式 静 力 学19静 力 学二、力对轴的矩 实例20

8、它是代数量，正负规定 + 定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.静 力 学21 力对轴的矩的解析式由合力矩定理：即同理可得其余两式，即有：力对轴的矩的解析式静 力 学22三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系通过O点作任一轴Z，则： 力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 定理 证明由几何关系： 即：静 力 学23又由于所以力对点O的矩为：大小：方向：四、力对点的矩的解析求法静 力 学24 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 6-4 空间一般力系向一

9、点简化 设作用在刚体上有空间一般力系试将力系向O点简化静 力 学25 根据力线平移定理，将各力平行搬移到O点，得到一空间汇交力系：一、简化方法 任选O点为简化中心 将各力平行搬移到O点和一附加力偶系：静 力 学26 空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。汇交力系合力 合成空间汇交力系 合成附加力偶系附加力偶的合力偶矩静 力 学27二、主矢与主矩1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。 主矢 的解析求法注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。主矢大小:主矢方向:静 力 学28 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 。 大小：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，

10、所以它的大小和方向与简化中心有关。注意： 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:主矩解析求法方向：静 力 学29三、结论空间一般力系向任一点O 简化 ，一般可以得到一力和一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。静 力 学30化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零) 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。6-5 空间一般力系简化结果的讨论 若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。 若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。 若 则力系可

11、合成为一个合力，力系合力等于主矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时主矩与简一、力系平衡二、力系简化为一个合力偶三、力系简化为一个合力静 力 学31 若 , 时，由于做可进一步简化，将MO变成( R,R) 使R与R 抵消只剩下R静 力 学32 例 拧螺丝炮弹出膛四、力系简化为力螺旋力螺旋 由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系 若 ， 时，静 力 学33M和主矢R合成为合力R 而：所以M/和R 在O点处形成一个力螺旋。M/不变，是在平面内的一力偶 若 ，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角 时， 可将M/搬到O处因为M/ 是自由矢量，首先把MO 分解为M/和M ,静 力 学34 力系简化

12、中，不随简化中心改变的量有：R， M/ 简化中心为O时：有M和M/，当简化中心为另一点O1 时，为M和M/ ， 即M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关） 注意, R， M/是力系简化中的不变量静 力 学35 空间力系向O点简化后得主矢 R和主矩 MO , 若MOR，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R 。五、空间力系的合力矩定理 定理 导出静 力 学36 一、空间一般力系平衡的充要条件 6-6 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系平衡必要充分力系的主矢 和主矩 都等于零，即： 平衡的充要条件静 力 学37还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。 解析法平衡充

13、要条件六个独立的方程，只能求解六个未知量亦称为空间一般力系的平衡方程三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 空间汇交力系的平衡方程因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。三个独立的方程，只能求解三个未知量静 力 学38 空间平行力系的平衡方程设各力线都 / z 轴因此均成为了恒等式，而自然满足。即有：三个独立的方程，只能求解三个未知量静 力 学39二、空间约束 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例1、球形铰链2、向心轴承，蝶铰链3、止推轴承静 力 学4

14、04、带有销子的夹板5、空间固定端静 力 学41球形铰链RzRyRx静 力 学42滚珠（柱）轴承 RzRx静 力 学43活页铰静 力 学44滑动轴承静 力 学45止推轴承静 力 学46带有销子的夹板静 力 学47空间固定端静 力 学48静 力 学例 画出车床轮轴的受力图49静 力 学 例 画出起重机C点和 B点的受力图50 例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ 解：选轮轴为研究对象； 受力分析如图； 选Axyz坐标；列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。静

15、力 学51由：静 力 学52静 力 学53方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。静 力 学54 6-7 平行力系的中心 物体的重心一、空间平行力系的中心 平行力系的中心坐标公式由合力矩定理： 矢量形式 定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此平行力系的中心。P0 为沿 方向的单位矢量静 力 学55 此式称矢量形式平行力系的中心坐标公式 直角坐标形式（投影式）物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 二、 物体的重心 定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为物体的重心。静 力

16、学56 重心坐标公式 确定物体重心的意义 保证平衡的稳定性； 保证运动的稳定性； 消除振动。 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。即有：由合力矩定理： 直角坐标形式又静 力 学57 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y 轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：有：得：综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：静 力 学58若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式 积分形式 设I 表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi 第I 个小体积，则代入上式并取极限，可得： 式中 ，上式称为 积分形式重心坐标公式。对于均质物体， = 恒量，上式成为：静 力 学59同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 均质物体重心坐标公式形心（几何中心）坐标 设 表示单位体积的重量，Vi 第i个小体积，则代入直角坐标形式重心坐标公式，可得： 均质立体 同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写出相应的公式。静 力 学60 均质薄曲（平）面 均质细曲（直）杆三、重心的求法 对称法 具有对称点对称轴对称面的均质物体，其重心就在其对称点对称轴对称面上。静 力 学61