工科数学分析基础课件1

1、第一、极限、连集合与函12数列的极函数的极3无穷小量与无穷大4连续函5第一、极限、连集合与函12数列的极函数的极3无穷小量与无穷大4连续函5习题习题数列极限的概定义1依次排列的一列n称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列项xn称为通项(一般项).数列(1)xn.为xn f,2n1n数列极限的概定义1依次排列的一列n称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列项xn称为通项(一般项).数列(1)xn.为xn f,2n1n;1111 n n2 4 2x2x4x3xn1、 数列的简单性（1）有界M, 定义否则,成立有界则称数n.xN 使得xNMM n;nnnxn 1、 数列的简单性（1）有界M

2、, 定义否则,成立有界则称数n.xN 使得xNMM n;nnnxn （2）单调,xx1, 1 n11 1nnnnxn n1（2）单调,xx1, 1 n11 1nnnnxn n1 3,2、数列极限的概xn无限接近于某一limxn 刻画它.limxn a Nn 使n 注意）与有a 2、数列极限的概xn无限接近于某一limxn 刻画它.limxn a Nn 使n 注意）与有a 时nlim xn a a ,即a a使n时,naa xNaxx2lim xn a a ,即a a使n时,naa xNaxx2xN1x3n都落在a当 时, 所有的只有有限个(只有N落在其)n1n例1 nn n)n1 xn 证nn

3、1 或n 1 nn时所以取N 当)n1)n1nn1 )n1n例1 nn n)n1 xn 证nn1 或n 1 nn时所以取N 当)n1)n1nn1 即nnn设n .例nnn xn, 证n使得有nn有anan故.nn设n .例nnn xn, 证n使得有nn有anan故.nn()nn数n2lian , 或或0则正整数N 当n N时 推论2.1（保序性li有)nnan lin ,若存在正整数 N,当n N时,恒有 则()nn数n2lian , 或或0则正整数N 当n N时 推论2.1（保序性li有)nnan lin ,若存在正整数 N,当n N时,恒有 则 lim,n(2)lim A其中B (3)11

4、Bn 2()2)例2) lim,n(2)lim A其中B (3)11Bn 2()2)例2)2)四数列收敛性的判别准定理如果数准则x,及zn (n1()lim yn a,n那么数列xn.nnyn zn 数列收敛性的判别准定理如果数准则x,及zn (n1()lim yn a,n那么数列xn.nnyn zn 证 12 当有nna nN NN,两式同时成立即a a aynnaa. 时当n 成立即nnn,出与的极限是容易求的 且与 当有nna nN NN,两式同时成立即a a aynnaa. 时当n 成立即nnn,出与的极限是容易求的 且与11例1 222nn1n1,1解2222nn1 1 2nnnn1

5、 由1n2nn1n2111 (2. 22n11例1 222nn1n1,1解2222nn1 1 2nnnn1 由1n2nn1n2111 (2. 22n定理2.6（单调有界准则） 单调增有上界（有极限x1xxx3xnxnMA，有上界设设其为则 必有上确界 -使xN又xN n N A Axn A定理2.6（单调有界准则） 单调增有上界（有极限x1xxx3xnxnMA，有上界设设其为则 必有上确界 -使xN又xN n N A Axn An 例an2aa 是单调递减;nnlim .所以an有下界又an 2aa, nnnn 解得 A n 22232n4n.012an 0由n 例an2aa 是单调递减;nn

6、lim .所以an有下界又an 2aa, nnnn 解得 A n 22232n4n.012an 0由x2 ,设x1 xn 2n证2,#1n由归纳法,nlimxn1n2）n a 对式nnx2 ,设x1 xn 2n证2,#1n由归纳法,nlimxn1n2）n a 对式nn2 1 )n的极限是存在.nn1) n)1n1证n1 1n 111n2n)(!1nnn 1n1211)( 1x)2n( 1nn, x 是单调递增的xn 1 1 11 1 )n的极限是存在.nn1) n)1n1证n1 1n 111n2n)(!1nnn 1n1211)( 1x)2n( 1nn, x 是单调递增的xn 1 1 111 3

7、nn1n12存在22x 是有界的lim 无理数ennnlim(1 1)n (e nn(e lim(1 11例nnn( 111ne1)nlim(1 1(e lim(1 11例nnn( 111ne1)nlim(1 1)x xlim(1 1)n 数列与其子列的收敛性关an ，任取正整数N 的一个无穷子 其中n1 1kkn,nn1k组成的数列称an的一个子列，记ank k子列中的第 k项an 是原数列中的nkk由an 列a2例的偶数子列 an1设 1a,则 k2数列与其子列的收敛性关an ，任取正整数N 的一个无穷子 其中n1 1kkn,nn1k组成的数列称an的一个子列，记ank k子列中的第 k项

8、an 是原数列中的nkk由an 列a2例的偶数子列 an1设 1a,则 k22knnn1ka.k k1nn对于 an的每个子anknkk，证nn则 使得n NN a ，n从而，对an的任一子当k Nankk 有N a ，knnkk若an的每个子annkkkannn对于 an的每个子anknkk，证nn则 使得n NN a ，n从而，对an的任一子当k Nankk 有N a ，knnkk若an的每个子annkkkann.nan收敛于不同的极限， ana2 ,a.(1)nksin n2a,a4k24111422,3 a2kan收敛于不同的极限， ana2 ,a.(1)nksin n2a,a4k24

9、111422,3 a2k间套是一列闭区间，满定义()(2),则为一个闭区间,.间套定理闭 即存在唯一的实n1x间套是一列闭区间，满定义()(2),则为一个闭区间,.间套定理闭 即存在唯一的实n1x区区a bn 证n1故，使得liman limbn .) 由 supan infbn又an bn即 n1若还有 a bn 证n1故，使得liman limbn .) 由 supan infbn又an bn即 n1若还有 n1 * 即n，,令n ,则 nn * 即是一列闭区间，满)(2), 则存在唯一的实n11(,0,n1n 显然 (a,b 但 ,n11n 1n有 ,10,1 n1是一列闭区间，满)(2

10、), 则存在唯一的实n11(,0,n1n 显然 (a,b 但 ,n11n 1n有 ,10,1 n1定理(Weierstrass定理有界实有收敛的子列设xn有界则使得xn ,a,则其中至少有一个有xn 的无穷多二等， 如此下去闭区, 存在唯一n1lin 中都,xn n可的无穷多项且k得到列， 满足令k ,kkklim 定理(Weierstrass定理有界实有收敛的子列设xn有界则使得xn ,a,则其中至少有一个有xn 的无穷多二等， 如此下去闭区, 存在唯一n1lin 中都,xn n可的无穷多项且k得到列， 满足令k ,kkklim 以 n的一个收敛子列nkk定义：数列的任一收敛子列的极限称为该

11、列的极限Weierstrass定理表明，有界有无穷项在极限点的附近，所以极限点也称聚点Weierstrass定理又称为聚点原理聚点的另一定义：若a的任何去心邻域中都数集A中的点，则称a是A的定义：数列的任一收敛子列的极限称为该列的极限Weierstrass定理表明，有界有无穷项在极限点的附近，所以极限点也称聚点Weierstrass定理又称为聚点原理聚点的另一定义：若a的任何去心邻域中都数集A中的点，则称a是A的一个聚点设为一实数列，且满足下 列条件Cauchy 0 使得 mn a,则称an 为Cauchy数列或基本数列。满足的条件称为 0 N 使当 p Naan定理（Cauchy收敛原理设为

12、一实数列，且满足下 列条件Cauchy 0 使得 mn a,则称an 为Cauchy数列或基本数列。满足的条件称为 0 N 使当 p Naan定理（Cauchy收敛原理数列an收敛 an是Cauchy0n N N恒使an ，则 0 N am (an a 使nn22a)m an a m 0n N N恒使an ，则 0 N am (an a 使nn22a)m an a m 0,N N使nNn0n N N恒使an （充分性）设an 是Cauchy分两步证明1 证明 an1） an是Cauchy列2收 使n 故当nNNn,1aN10n N N恒使an （充分性）设an 是Cauchy分两步证明1 证明

13、 an1） an是Cauchy列2收 使n 故当nNNn,1aN1 令1,aN, Man存在收敛的n列an由聚点原理k，下面证也收敛于 a.annk0n N N恒使an 知， 使k 的 nkK Na n2kCauc 因 是 使得 n a,m112N，恒, (1 2式， n 取N N a 0n N N恒使an 知， 使k 的 nkK Na n2kCauc 因 是 使得 n a,m112N，恒, (1 2式， n 取N N a annNN.n111例1 a1nn23所以数1aN11 nn n )2111 (nn)()()111 1nn1nn n1 取,n 则 及 p ,n111例1 a1nn23所以数1aN11 nn n )2111 (nn)()()111 1nn1nn n1 取,n 则 及 p ,nanan不是Cauchy例 N nm 11213 1 1 ann11n 2n n )22n2 可见， n,m ,2n