平行四边形难题

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 平行四边形1（2014祁阳县校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF试说明：EBF=FDE2（2014滕州市校级模拟）（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若SPAB=S1，SPBC=S2，SPCD=S3，SPAD=S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1=S2=S3=S4请你说明理由；（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD若SPAB=S1，SPBC=S2，SPC

2、D=S3，SPAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为；（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若SPAB=S1，SPBC=S2，SPCD=S3，SPAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为请你说明理由3（2014博白县模拟）如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时A的度数4（2014春太仓市期中）ABC中E是AB的中点，CD平分AC

3、B，ADCD与点D，求证：DE=（BCAC）5（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME6（2013长沙）如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，AND=90，连接CM交DN于点O（1）求证：ABNCDM；（2）过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE=1，1=2，求AN的长7（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，

4、y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为运用（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2）在直角坐标系中，有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标8（2011吉林）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：AEFDFC9（2011厦门）如图，在四边形ABCD中，BAC=ACD=90，B=D（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，

5、点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BCCDDA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，BEP为等腰三角形？10（2011大田县质检）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使PQD是等腰三

6、角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由 平行四边形参考答案与试题解析1（2014祁阳县校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF试说明：EBF=FDE考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：通过三角形全等得出DE=BF与BE=DF，即四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD=BC，DAE=BCF，在ADE和CBF中，ADECBF（SAS），DE=BF，同理BE=DF，四边形EBFD是平行四边形，EBF=FDE点评：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问

7、题，应熟练掌握2（2014滕州市校级模拟）（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若SPAB=S1，SPBC=S2，SPCD=S3，SPAD=S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1=S2=S3=S4请你说明理由；（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD若SPAB=S1，SPBC=S2，SPCD=S3，SPAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为S1+S3=S2+S4；（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若SPAB=S1，SPBC=S2，SPCD=S3，SPAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为

8、S1S3=S2S4请你说明理由考点：平行四边形的性质；三角形的面积分析：（1）根据平行四边形的对角相互相平分与如果三角形等底等高面积相同，得解；（2）可以根据ABDCDB求得；（3）由ABP中AP边上的高与BCP中CP边上的高相同与PAD中AP边上的高与PCD中CP边上的高相同，可得即，即，所以，即S1S3=S2S4解答：解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AP=CP，又ABP中AP边上的高与BCP中CP边上的高相同，SPAB=SPBC，即S1=S2，同理可证S2=S3S3=S4，S1=S2=S3=S4；（2）S1+S3=S2+S4；（3）S1S3=S2S4；理由：ABP中AP边上的高与BC

9、P中CP边上的高相同，即，PAD中AP边上的高与PCD中CP边上的高相同，即，S1S3=S2S4点评：此题考查了平行四边形的性质解题的关键是注意：等底等高的三角形面积相等，等底的三角形的面积比等于高的比，等高的三角形面积的比等于底的比3（2014博白县模拟）如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时A的度数考点：平行四边形的判定；等腰三角形的判定专题：动点型分析：（1

10、）欲证BF=FD，可证BF=EF，FD=EF欲证BF=EF，在BEF中，可证BEF=EBF，由于CE为直角ABE斜边AB的中线，所以CB=CE，根据等边对等角，得出CEB=CBE，又CEF=CBF=90，由等角的余角相等得出BEF=EBF；欲证FD=EF，在FED中，可证FED=EDF，由于BEF+FED=90，EBD+EDB=90，而BEF=EBF，故FED=EDF（2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则ACEF，AC=EF，由（1）知AC=CB=AB，EF=BF=BD，则BC=EF=BF，即BA=BD，A=45解答：解：（1）在RtAEB中，AC=BC，CB=CE，CE

11、B=CBECEF=CBF=90，BEF=EBF，EF=BFBEF+FED=90，EBD+EDB=90，FED=EDF，EF=FDBF=FD（2）能理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，则ACEF，AC=EF，BC=BF，BA=BD，A=45当A=45时四边形ACFE为平行四边形点评：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法4（2014春太仓市期中）ABC中E是AB的中点，CD平分ACB，ADCD与点D，求证：DE=（BCAC）考点：三角形中位线定理专题：证明题分析：延长AD交BC于F，证明AC

12、=CF，DE是ABF的中位线，即可求证解答：解：延长AD交BC于F，说明AC=CF，DE是ABF的中位线CD平分ACB，ADCD，ACD=BCD，CD是公共边，ADC=FDC=90，ADCFDC（ASA）AC=CF，AD=FD又ABC中E是AB的中点，DE是ABF的中位线，DE=BF=（BCCF）=（BCAC）点评：此题主要考查三角形的中位线定理，综合利用了三角形全等的知识，证出DE是ABF的中位线是关键5（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）

13、如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：压轴题分析：（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得ABEF，再根据两直线平行，内错角相等可得BAM=DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM和FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性

14、质求出EBM=45，从而得到EBM=ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MBCF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EMBD，求出BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明ACGDCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出ABCF，再根据两直线平行，内

15、错角相等求出BAM=DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM和FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明BCE和DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得BEC=DEF，然后求出BED=CEF=90，再根据等腰直角三角形的性质证明即可解答：（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点，BM为ADF的中位线，BMCF证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，ABC=CEF=90，ABCE，EF

16、CE，ABEF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=MF，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE是等腰直角三角形，EBM=45，在等腰直角CEF中，ECF=45，EBM=ECF，MBCF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知BCD与ABC为等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=CD=a，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF分别延长FE与CA交于点G，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AGCG=CF=a，C

17、A=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=a=a解法二：如答图1bCB=a，CE=2a，BE=CECB=2aa=a，ABMFDM，BM=DM，又BED是等腰直角三角形，BEM是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AG在ACG与DCF中，ACGDCF（SAS），DF=AG，BM=ME

18、证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，BCE=45，ACD=452+45=135BAC+ACF=45+135=180，ABCF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=FM，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BM=DM，AB=BC=DF，在BCE和DFE中，BCEDFE（SAS），BE=DE，BEC=DEF，BED=BEC+CED=DEF+CED=CEF=90，BDE是等腰直角三角形，又BM=DM，BM=ME=BD，故BM=ME点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是

19、解题的关键，也是本题的难点6（2013长沙）如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，AND=90，连接CM交DN于点O（1）求证：ABNCDM；（2）过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE=1，1=2，求AN的长考点：平行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，B=CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得ABNCDM；（2）易求得MND=CND=2=30，然后由含30的直角三角形的性质求解即可求得答案解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=

20、CD，AD=BC，B=CDM，M、N分别是AD，BC的中点，BN=DM，在ABN和CDM中，ABNCDM（SAS）；（2）解：M是AD的中点，AND=90，MN=MD=AD，1=MND，ADBC，1=CND，1=2，MND=CND=2，PN=PC，CEMN，CEN=90，END+CNP+2=180CEN=90又END=CNP=22=PNE=30，PE=1，PN=2PE=2，CE=PC+PE=3，CN=2，MNC=60，CN=MN=MD，CNM是等边三角形，ABNCDM，AN=CM=2点评：此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等

21、性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用7（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为运用（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）（2）在直角坐标系中，有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案（2）根据题意画出图形，然后可找到点D的

22、坐标解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）（2）如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设D点的坐标为（x，y），以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），BC=，AD=，1+31=1，2+14=1，D点坐标为（1，1），当BC为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AC=2，BD=2，D点坐标为（5，3）当AC为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AB=，CD=，D点坐标为：（3，5），综上所述，符合要求的点有：D（1，1），D（3，5），D（5，3）点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形

23、的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法8（2011吉林）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：AEFDFC考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定专题：证明题分析：根据平行四边形的性质结合题目条件可得出AE=DF及EAF=D，AF=CD，利用SAS即可证明两三角形的全等解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD且ABCD，AF=CD，EAF=ADC，又AF=AB，AF=CD，AE=DF，在AEF和DFC中，AEFDFC点评：此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的证明，熟练掌握并运用平行四边形对边相等且平行的性质

24、是解答本题的关键，另外要熟练掌握全等三角形的判定定理9（2011厦门）如图，在四边形ABCD中，BAC=ACD=90，B=D（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BCCDDA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，BEP为等腰三角形？考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题：几何综合题；压轴题分析：（1）推出ADBC，ABDC，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出AC，当P在BC上时，BP=EB=2，BP=PE，作PMAB于M，根据co

25、sB求出BP，BE=PE=2cm，作ENBC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PQBA于Q，证QAPABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可解答：（1）证明：BAC=ACD=90，ABCD，B=D，B+BAC+ACB=D+ACD+DAC=180，DAC=ACB，ADBC，四边形ABCD是平行四边形（2）解：BAC=90，BC=5cm，AB=3cm，由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，AB=3cm，AE=AB

26、，AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，BEP是等腰三角形，当P在BC上时，BP=EB=2cm，t=2时，BEP是等腰三角形；BP=PE，作PMAB于M，BM=ME=BE=1cmcosABC=，BP=cm，t=时，BEP是等腰三角形；BE=PE=2cm，作ENBC于N，则BP=2BN，cosB=，=，BN=cm，BP=，t=时，BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，AB、CD间的最短距离是4cm，CAAB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQBA于Q，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，QAD=ABC，BAC=Q=90，QAPABC，PQ：AQ：

27、AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，x=，AP=5x=cm，t=5+5+3=，答：从运动开始经过2s或s或s或s时，BEP为等腰三角形点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键10（2011大田县质检）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面