南京、盐城、2017届高三年级三模数学(完整版)

1、南京市南京市2017届高三三模考试数学试卷第 页共31页12xo所以kik2=-2yo2y。1xo16分19.(本小题满分16分)已知常数p0,数列an满足an+1=|pan|+2an+p,nN*.(1)若a1=1,p=1,求a4的值；求数列an的前n项和Sn.(2)若数列an中存在三项ar,as,at(r,s,tN*,rvsvt)依次成等差数列,求印的取值范围.P【考点】等差，等比数列求和等差数列的性质分类讨论【解析】解：(1)因为p=1,所以an+1=|1an|+2an+1.因为a1=1，所以a2=|1af+2a1+1=1,a3=|1a2|+2a2+1=3,a4=|1a3|+2a3+1=9

2、.3分因为a2=1,an+1=|1an|+2an+1,所以当n2时，an1,从而an+1=I1an|+2an+1=an1+2an+1=3an,于是有an=3n2(n2).当n=1时，S1=1；当n2时，Sn=1+a2+a3+-+an=1+1-3n13n-1-31，n=1,所以Sn=3旷1-32,即Sn=3n13(2)因为an+1an=|pan|+an+Ppan+an+P=2p0,10分所以an+1an,即an单调递增.10分当一1时，有aip,于是anajAp,p所以an+1=|pan|+2an+p=a*p+2an+p=3an，所以an=3n1ai-若an中存在三项ar,as,at(r,s,t

3、N*,rvsvt)依次成等差数列，则有即2X3s1=3r1+3t1.(*)因为swt1，所以2x3s1=|x3sv3t1v3r1+3t1,即(*)不成立.故此时数列an中不存在三项依次成等差数列.a1当1v-pv1时，有pva1vp.此时ai=|pa1|+2a1+p=pa1+2印+p=a1+2pp,于是当nA2时，ana2p,从而an+1=|pan|+2an+p=anp+2an+p=3an所以an=3n2a2=3n2(a1+2p)(nA2).若an中存在三项ar,as,at(r,s,tN*,rvsvt)依次成等差数列，同(i)可知，r=1,于是有2x3s2(a1+2P)=a1+3t2(a1+2

4、p).因为2ws1时，f(x)0恒成立，求入的最大值.【考点】导数，切线，极值，分类，转化【解析】解：(1)因为f(x)=exe入nx,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f(1)=0,又切点为(1,f(1)，即(1,0),所以切线方程为y=0.2分x.y入(2)g(x)=eeAnx,g(x)=e一.x故此时g(x)无极值.4分当A0时，设h(x)=ex故此时g(x)无极值.4分当A0时，设h(x)=ex；,则h(x)=ex+*0恒成立，所以h(x)在(0,+)上单调递增.6分当0vAve时，入Ah(1)=eA0,hQ=eeev0，且h(x)是(0,+)上的连续函数，因此存在唯一的x0

5、(-,1)，使得h(x0)=0.e当Ae时，h(1)=eAW0,h(A手eA10,且h(x)是(0,+)上的连续函数，因此存在唯一的x01,入)，使得h(x0)=0.故当A0时，存在唯一的X00，使得h(x)=0.且当0vxvX0时，h(x)v0,即卩g(x)v0,当xX0时，h(x)0,即卩g(x)0,所以g(x)在(0,X0)上单调递减，在(X0,+8)上单调递增，因此g(x)在x=X0处有极小值.10分所以当函数g(x)存在极值时，A的取值范围是(0,+).10分(3)g(x)=f(x)=ex-e入nx,g(x)=exX若g(x)0恒成立，则有xex恒成立.设x)=xex(x1)，贝U0(x)=(x+1)ex0恒成立，所以0(x)单调递增，从而0(x)0(1)=e,即卩e.于是当e时，g(x)在1,+)上单调递增，此时g(x)g(1)=0,即f(x)0,从而f(x)在1,+s)上单调递增.所以f(x)f(1)=0恒成立.当-e时，由(2)知，存在xo(1,-，使得g(x)在(0,xo)上单调递减,即f(x)在(0,x)上单调递减.