最新2022年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题

1、金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 2008年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题本卷满分为120分，考试时间为100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素（ ）个 A2 B4 C6 2设为的边的中点，为内一点，且满足,，则（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， （ ） A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对4已知是函数 的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）A1 B2008 C D5函数的定义

2、域为D，若满足在D内是单调函数，存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”，则的取值范围是（ ）A B C D6若，则等于（）A B C D7如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（）。 A B C D8若为完全平方数，则正整数n满足 （ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。9已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 . 10已知向量满足，若，则

3、 .11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 .12把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 三、解答题：本大题共4小题，共54分。13. （本大题满分10分）能否将下列数组中的数填入33的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24

4、,36,72.14（本大题满分10分） 已知定义域为R的函数是奇函数，求的值。得分评卷人15（本小题12分）已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，不等式的解集为B，求实数的取值范围。16(本小题满分16分) 设,若,.得分评卷人（1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整数，求的最小值。2008地都中学高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为120分，考试时间为100分钟1已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素 （ C ）个 A2 B4 C6 【分析】显然，有6组解，有6个元素，选C。2设为的边的中点，为内一点，且满足

5、,，则 （ C ）A. B. C. D. 【分析】如图四边形DPEB为平行四边形，选C。3. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D4已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 （ A ）AB CD【分析】当时，函数取最大值，解得：，是它的一条对称轴，选A。4已知是函数 的一个零点，是函数的一个零点，则的值为 （ B ）A1 B2008 C D【分析】如图：是曲线与曲线交点A的横坐标，是曲线

6、与曲线交点B的横坐标，函数与互为反函数，A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标，选B5函数的定义域为D，若满足在D内是单调函数，存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”，则的取值范围是 （ C ）A B C D【分析】因为函数在其定义域内为增函数，则若函数为“好函数”，方程必有两个不同实数根，方程有两个不同的正数根，选C。6若，则等于（）A B C D解：7如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方

7、体的每条棱还剩余 （ D ）A B C D【分析】大球的半径为，设小球的半径，则设小球切截面CDE于F，则设，利用等积法求得，所以选D。8若为完全平方数，则正整数n满足 （ ）A B C D【分析】，当，即时，上式为完全平方数。当时，有，所以上式不可能为完全平方数。选B 二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 【分析】当时，函数取最大值，解得：，是它的一条对称轴。得分评卷人10已知向量满足，若，则.【分析】且，11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个

8、多面体的体积为 48 .【分析】从三视图看，顶点已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为。12把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米 【分析】设这两段的长度分别为米、米则、满足关系，其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为，看成是个圆的方程，这个圆经过点或时，最大，其最大值为平方米。三、解答题：本大题共4小题，共48分。13. （本大题满分10分）能否将下列数组中的数填入33的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；

9、若不能，请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（）不能. 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是3622481218672424681218243648=236224812186724（）可以. 如右表表中每行、每列及对角线的积都是2623. 14（本大题满分10分） 已知定义域为R的函数是奇函数，求的值。（本大题满分12分）解：因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得,从而，又由，即，解得得分评卷人15（本小题112分）已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，不等式的解集为B，求实数的取值范围。【解】（1），由解得：，在区间上单调递增。8分（2），又解得而，得16(本小题满分16分) 设,若,.得分评卷人（1）求证：方程在区间（0，1）