苏教版高中数学选择性必修一第5章5.2.3《简单复合函数的导数》课件

1、苏教版高中数学课件简单复合函数的导数同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.导语一、复合函数概念的理解问题1函数yln(2x1)是如何构成的？提示yln(2x1)，其中的2x1“占据”了对数函数yln x中x的位置，f(x)ln x，而f(2x1)ln(2x1)，这里有代入、代换的思想，则函数yln(2x1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.复合函数的概念一般地，对于两个函数y

2、f(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.知识梳理例1(多选)下列哪些函数是复合函数A.yxln x B.y(3x6)2解析A不是复合函数；BCD都是复合函数.反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数yf(g(x)或函数yg(f(x)均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数.跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数二、求复合函数的导数问题2如何求函数ysin 2x的导数？提示y2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y2cos2

3、x2sin2x2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数ysin u，它的导数ycos u，内层函数是幂函数的线性组合u2x，它的导数是u2，发现yxyuux.复合函数的求导法则一般地，我们有，若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yx_.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.知识梳理yua例2求下列函数的导数：所以yu4u5，ux3.(3)ylog2(2x1)；解设ylog2u，u2x1，(4)ye3x2.解设yeu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3

4、eu3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.跟踪训练2求下列函数的导数：解y ，设y ，u12x，则yx(2)y5log2(1x)；解函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x)三、复合函数的导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2 相切，求a的值.f(1)2a2，又f(1)a2ln 1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即

5、2(a1)xya20.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟踪训练3曲线yf(x)e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为 ，求直线l的方程.解ye2xcos 3x的导数为y2e2xcos 3x(3sin 3x)e2xe2x(2cos 3x3sin 3x).曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0(2cos 03sin 0)2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y2x1，解得t6或4.则直线l的方程为y2x6或y2x4.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复

6、合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结随堂演练1.(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是A.yun，ux21 B.y(u1)n，ux2C.ytn，t(x21)n D. tx21, ytn123412342.已知函数f(x)ln(ax1)的导函数是f(x)，且f(2)2，则实数a的值为12343.设f(x)ln(3x2)3x2，则f(0)等于12344.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析易知yaeax，kae0a，2课时

7、对点练基础巩固1.(多选)下列函数是复合函数的是解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，D由yu4，u2x3复合而成.12345678910111213141516123456789101112131415162.设f(x)log3(x1)，则f(2)等于123456789101112131415163.函数yxln(2x5)的导数为123456789101112131415164.函数yf(x)x(1ax)2(a0)，且f(2)5，则a等于A.1 B.1 C.2 D.2解析y(1ax)22ax(1ax)，则f(2)12a28a15(a0)，解得a1(舍负).123456789101112

8、131415165.曲线y2xex2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2解析y2xex2，y2ex22xex2，k2e04e06，故选C.123456789101112131415166.(多选)下列结论中不正确的是12345678910111213141516对于B，ysin x2，则y2xcos x2，故正确；对于C，ycos 5x，则y5sin 5x，故错误；123456789101112131415167.已知f(x)xln x，若f(x0)f(x0)1，则x0的值为_.解析因为f(x)ln x1.所以由f(x0)f(x0)1，得ln x01x0ln x01.

9、解得x01.1123456789101112131415168.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，2又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.123456789101112131415169.求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；解令uexx2，则yln u.12345678910111213141516(2)y102x3；解令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.12345678910111213141516解设y ，u1x2，则

10、yx12345678910111213141516解ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.(4)ysin 2xcos 3x.1234567891011121314151610.曲线ye2x1在点 处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.解因为ye2x1，所以y2e2x1，所以k2，设直线l的方程为2xym0(m2)，所以直线l的方程为2xy70或2xy30.12345678910111213141516综合运用11.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角

11、形的面积为解析依题意得ye2x(2)2e2x，k2e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在平面直角坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示.直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，123456789101112131415161234567891011121314151612.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是解析设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行.解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0).123456789101112131415161234567891

12、011121314151613.(多选)已知点P在曲线y 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是因为ex0，所以y1,0)，所以tan 1,0).又因为0，)，123456789101112131415161234567891011121314151614.设函数f(x)cos( x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.其为奇函数，又0，12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.若曲线y 在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为12345678910111213141516曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一