平面向量与四心

1、精品资料欢迎下载一、重心在ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得ABAC2AD。这说明ABAC所在的直线过BC的中点D，从而一定通过ABC的重心。另外，G为ABC的重心的充要条件是GAGBGC0或1OG(OAOBOC)，（其中O为ABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的3结论。例1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是ABC的外心，动点P满足1OP(1)OA(1)OB(12)OC)(R)，则P的轨迹一定通过ABC的3（）A内心B垂心C外心思路分析：取AB边的中点M，则OAOB2OM，D重心OP(1)OA(1)OB(12)OC)(R)可得由133OP2OMOC2

2、(OCOM)3OM(12)MC，所以MP123MC(R)，即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D。点评：本题当12时，MP0，此时点P为线段AB中点。也可当0时1OP(OAOBOC)3，则P的轨迹也通过ABC的重心。但是若取的三角形以C为直角顶点，则点P过点C为垂心，得出了意想不到的错误，因而解题过程中也应注意解题方法的优化。二、垂心|AB|cosB在ABC中，由向量的数量积公式，可得(ABAC|AC|cosC)BC0，这说|AB|cosB明ABAC|AC|cosC所在直线是BC边上的高所在直线，从而它一定通过ABC的精品资料欢迎下载垂心。例2（2005年全国卷）点O是ABC所在平面内的

3、一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点思路分析：由OAOBOBOC，得OB(OAOC)OBCA0，所以OBAC，即OBAC。同理OCAB,OABC。因此O是ABC三条高的交点，故选D。点评：解题中应注意实数运算、向量运算相同与不同之处，由OAOBOBOC不能推得OAOC（因为OA、OC方向不相同），因此学生不要生搬硬套地把代数运算照搬过来。三、内心|AB|在ABC中，由两单位向量相加，可得ABAC|AC|所在直线是A的平分线所在的直线，从而一定经过ABC的内心。例3（2003年全国卷）O是平面上

4、定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(则P的轨迹一定通过ABC的（）AB|AB|AC|AC|),0,)，A外心B内心C重心D垂心思路分析：设(AB|AB|)AB为AB上的单位向量，(AC|AC|)AC为AC上的单位向量，则(AB|AB|AC|AC|)的方向为BAC的角平分线AD的方向，又0,，所以(AB|AB|AC|AC|)与(AB|AB|ACABAC)的方向相同，而OPOA()，所以|AC|AB|AC|AB|为AB上的单位向量，以及菱形的对角线平分角等知识。点P在AD上移动，故P的轨迹一定是通过ABC的内心，选B。点评：本题要求学生掌握AB|AB|精品资料欢迎下载例4（

5、2006年陕西卷理）已知非零向量AB与AC满足(ABAC|AC|)BC0且12（ABAC|AB|AC|，则ABC为）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形思路分析：1根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择支，故选D。|AB|2由于ABAC|AC|eqoac(,)所在直线穿过ABC的内心，则由(AB|AB|AC|AC|)BC0知，ABAC（等腰三角形的三线合一定理）；又AB1，所以A，即eqoac(,)ABCAC|AB|AC|23|AB|是与AB同向的单位向量，并能领会向量表达式与三角形的内心的关为等边

6、三角形，故选D。点评：思路1抓住了该题选择支的特点而采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；思路2要求学生掌握AB系。四、外心（人教版第一册（下）第151页第6题）已知点O是ABC所在平面内一点，OAOBOC0,|OA|OB|OC|eqoac(,1)求证：ABC是正三角形。由已知条件可知，ABC的重心、外心都是点eqoac(,O)，因此ABC为正三角形。例5（2005年全国卷）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m=_思路分析：eqoac(,1)特殊法：设ABC为直角三角形，则O为斜边BC中点，H与A重合，所以OAmOA，即m=1。2由AHOHOAm(OAOBOC)OA(m1)OAm(OBOC)，又AHBC，因此AHBC0，即(OHOA)(OCOB)0，所以(m1)OA(OCOB)m(OBOC)(OCOB)0，又(OBOC)(OCOB)OCOB0，且OA(OCOB)0，因此m=1。精品资料欢迎下载223利用特殊法推得m=1，下面来证明OHOAOBOC，即AHOBOC。设BC中点为D，连线AD、OH且ADOHG，且G为重AH心，因此AG2GD，又AHBC,ODBC，则AHOD