非线性控制系统分析和方法

1、非线性控制系统分析和方法127.1 引言非线性系统在实际物理系统中大量存在。本章主要讨论两种经典的方法：描述函数法37.1.1 非线性系统非线性系统运动规律要用非线性代数方程或非线性微分方程、非线性差分方程来描述，不能用线性方程描述的系统。另外，控制系统中若含有非线性环节，则称为非线性系统。非线性系统一般不满足叠加原理。47.1.2 非线性系统的特点1多平衡点与系统的稳定性在线性系统中，系统的稳定性只与其结构形式及参数有关，而与初始条件无关。其稳定性只取决于其特征值在s平面上的分布。而非线性系统的情况要复杂得多，非线性系统往往有多个平衡点。5例7-1研究一阶非线性系统其初始条件为线性化系统61

2、非线性系统7结论非线性系统的稳定性除了与其结构形式及参数有关以外，还与初始条件有关。当系统存在外部输入时，稳定性也可能与其输入有关。8例7-2研究非线性系统当输入 时，当输入 时，92极限环（limit cycles）在非线性系统中，往往有这样的现象：即使无外部激励，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，叫做极限环或自激振荡。极限环是非线性系统特有的一种重要现象，在工程实践中经常会遇到。10例7-3研究Van der Pol方程其中 、 、 为正常数，它相当于描述一个含有相关组尼系数 的质量-弹簧-阻尼器系统，或者说描述一个含有非线性电阻的RLC电网络。11Van der Pol方

3、程的物理背景对照12当输入为零时对照1305101520253035404550-3-2-101234Van der Pol方程的状态响应曲线14无阻尼的质量-弹簧系统的传递函数为其极点位于复平面的虚轴上，这是临界稳定系统。在一定的初始条件下，系统的输出为系统的输出也是一种等幅振荡。15临界稳定线性系统的等幅振荡输出非线性系统的等幅振荡极限环两者之间完全不同！16不同点极限环自激振荡的幅值与初始条件无关；而临界稳定线性系统的等幅振荡幅值由初始条件决定。临界稳定线性系统对于参数的变化十分敏感，参数的微小变化可能导致收敛或不收敛；而非线性系统的极限环不易受参数变化的影响。173非线性控制系统的频率

4、响应非线性系统正弦输入信号含有高次谐波分量的非正弦周期函数不能用频率特性或传递函数方法来分析和综合非线性系统。184非线性控制系统的其他特性跳跃共振次谐波振荡异步抑制分形现象混沌现象197.1.3 非线性系统的分析方法1线性近似方法小偏差线性化2分段线性化方法3相平面方法4描述函数法5李雅普诺夫直接法经典方法20较为现代的方法1逆系统方法（或称为动态逆方法）2自适应控制方法3变结构控制方法4微分几何方法5微分代数方法6神经网络方法217.2 控制系统中的典型非线性特性典型非线性的共同特点不能应用小偏差线性化方法将其线性化，一般称这类非线性特性为本质非线性。非线性特性是静态的、定常的，不涉及动态

5、特性，即不涉及微分关系。227.2.1 饱和特性线性区宽度线性区特性的斜率237.2.2 死区特性死区宽度线性输出的斜率247.2.3 间隙特性间隙宽度间隙特性的斜率257.2.4 继电器特性26继电器吸上电压继电器释放电压继电器饱和输出27若 ，则继电器的吸上电压与释放电压均为零，称为理想继电器特性，如图：28若 ，则继电器的吸上电压与释放电压相等，称为含死区无滞环继电器特性，如图：29若 ，则继电器的正向释放电压等于反向吸上电压，称为仅含有滞环的继电器特性，如图：307.2.5 变增益特性317.3 相平面法的基本概念及相轨迹的绘制庞卡莱于1885年提出相平面分析法。主要用于研究二阶系统的

6、运动特性。相平面分析法的优点：不但适用于平滑非线性，而且适用于本质非线性；可以直观准确地反映非线性系统的稳定性、平衡状态和稳态精度；可以反映初始条件对系统运动轨迹的影响；无需求解非线性微分方程，用图解法即可分析。32相平面分析法的缺点：相平面分析法不适用于三阶以上的系统。337.3.1 相平面方法的基本概念设二阶系统由下述微分方程描述：其解 及 均为时间 的函数，即：消去参数 ，在 - 平面内所画出的轨迹，称为相轨迹。34例7-4研究一个弹簧-质量系统的微分方程：0357.3.2 相轨迹的性质1相轨迹的斜率设二阶系统由下述微分方程描述：即：36上式两边同除以 得：这就是相轨迹上点 处的斜率。称

7、为斜率方程372相轨迹的对称性条件关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点的斜率互为相反数；关于原点对称的曲线，其对称点的斜率相等。推论1如果满足 ，即是 的偶函数，则相轨迹关于 轴对称。38推论2如果满足 ，即是 的奇函数，则相轨迹关于 轴对称。推论3如果满足 ，关于原点对称。则相轨迹393相轨迹的奇点根据相轨迹上点 处的斜率可知：若相轨迹上某点处不同时满足及，则其斜率可唯一确定，通过该点的相轨迹只有一条，相轨迹不可能在该点处相交。40若相轨迹上某点处同时满足及，即 型，则其斜率不确定，这样的点称为奇点。相轨迹有无穷多条，通过该点的奇点实际上是系统的平衡点。一般来说，线性系统只有一个奇点；一般来说

8、，非线性系统有多个奇点。41例7-5给定一个非线性二阶系统求它在相平面内的奇点。424相轨迹通过 轴处的斜率相轨迹通过 轴处的斜率为 ，即相轨迹与轴垂直相交。0435相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，相轨迹从左向右运动；在相平面的下半平面，相轨迹从右向左运动。447.3.3 相平面图的绘制1解析法所谓解析法就是求得相轨迹方程有两种方法对斜率方程直接积分，求取相轨迹方程。45例7-6设系统的微分方程为 ，其中为常量，初始条件为 ， 。绘制系统的相轨迹图。46根据给定的微分方程式分别求出 和 关于时间的函数关系，然后再从这两个关系式中消去变量 ，得到相轨迹方程。继续分析上一个例子。4700482等倾线法等倾线法的优点是不必求解微分方程，而通过作图即可近似地画出系统的相轨迹。它适合于分析能用数学解析表达的非线性系统，也适合于分析线性系统。49在相轨迹的斜率方程中，令斜率为某一指定的常数 ，则可得：上式表示一条曲线，