模糊控制理论

1、引言一、模糊控制的发展二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。3、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易5、鲁棒性好。 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出。1模糊控制器构造技术1、硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制2、模糊单片机或集成电路芯片3、可编程门阵列2模糊集合论基础一、模糊集的概念二、模糊集合的运算三、隶属函数的建立四、模糊关系3 经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。

2、 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。经典集合对事物只用1、0简单地表示“属于”或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程度，隶属度是0到1之间连续变化的值。模糊集合特征函数隶属度函数（01连续变化值）一、模糊集的概念4例：人对温度的感觉(0C 40C的感觉)：“舒适”的温度：15C 25C“热”：25C以上“冷”：15C 以下经典集合对温度的定义0 15 25 40冷热(T)1.0舒适温度C0 15 25 40(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对

3、温度的定义经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。与人的感觉一致吗？5设U为一可能是离散或连续的集合，用u表示，论域（Universe of Discourse）： U 所有元素组成的全集元素：u 定义1 模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个在区间0,1上的取值的隶属函数F来表示，即： F ：U 0,1F (u)=1：u完全属于U；F (u)= 0：u完全不属于U；0 F (u)07 1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）(1)查德表示法(2)序偶表示法F =(u1,(u1),(u2 , (u2),(un , (un)(3)向量表示法F =(u1),(u2),(un) （元

4、素u按次序排列）F =例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) 例：F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U=0,1,2,3,4,5）82、论域为连续域例 以年龄为论域，取 。Zadeh给出了“年轻”的模糊集F，其隶属函数为 “年轻”的隶属函数曲线模糊集合表示为：模糊集合的表示方法：9二、模糊集合的运算（1）空集 模糊集合的空集的隶属度为0，即（2）全集 模糊集合的全集的隶属度为1，即（4）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它

5、们的隶属函数相等，则A和B也相等。即（3）子集（包含于） 若B为A的子集，则定义：10设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函数分别为A 和B，则模糊集合中的并、交、补等运算按如下定义：AB= A(u)B(u) 式中，符号“”为取大值运算。AB= A(u)B(u) 式中，符号“”为取小值运算。 定义6 补：模糊集合A的补隶属函数 对所有的u U 被逐点定义为： 定义4 并：并(AB)的隶属函数AB对所有的u U 被逐点定义为取大运算，即： 定义5 交：交(AB)的隶属函数AB对所有的u U 被逐点定义为取小运算，即： =1- A(u)11则A、B的并运算：则A、B的交运算：例设论域U=u1, u2

6、, u3, u4, u5中的两个模糊子集为：A的补运算：12定理1 模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U中的任意模糊子集,则下列等式成立：（2）分配律（1）结合律（3）同一律（4）零一律上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的。13引入概率算子和有界算子：定义7 称 、+ 为概率算子，对a,b0,1,有：a b=aba+b=a+b-ab由定义可知，如a,b0,1,则a b 0,1, a+b 0,1。定义8 设A,B F(U),则定义代数运算：(1)A与B的代数积记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)= A(u)B(u) u UA + B(u)= A(u)+B(u)-

7、 A(u)B(u) u U(2)A与B的代数和记作A + B，运算规则由下式确定：14定义9 称 、为有界算子，对a,b0,1,有：a b= max(0,a+b-1)a b= min(1,a+b)可以证明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1定义10 设A,B F(U),则定义有界运算：(1)A与B的有界积记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U(2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U15模糊集合是用隶属函数描述的。三、隶属度

8、函数的建立隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在0,1区间） 确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。 由于模糊集理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。确定隶属函数应遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形。凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。16203050709500.20.40.6

9、0.81速度（语言变量）Degree of membership适中低高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。很低很高标称名：语言值(个数适中：39个（奇数）)语言值的个数和规则数成正比。173、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。18重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。重叠指数：重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围LU例：(0.20.6为宜)(0.30.7为宜) 重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精度越高。解：求重叠率

10、和重叠鲁棒性191、模糊统计法 通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后在通过“学习”和不断的实践来修整、完善。隶属度函数确立的方法：四种方法： 基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uv020隶属度函数确立的方法：计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则模糊统计公式：例：求中等身材的集合A及 A (1.64)选10人，每人确定A*的元素，假设10个人

11、所确定的A*分别是：1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.731.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.7721随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是v0对A的隶属度。计算量大。模糊统计法的特点：2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A 的隶属度函数。3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。22模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：1.左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定。2.左小右大的偏大型上升函

12、数（S函数）：适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。0 x1.0(x)矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0(x)曲线分布01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲线分布3.对称型凸函数（函数）：适用于输入值位于中间时隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲线分布x23四、模糊关系（用于模糊推理决策）1.模糊关系的定义关系：客观事物间的相互联系。普通关系：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事模糊关系：多元关系，像父子。 A、B两集合的直积：例：设A=0,1，B=a,b,c则AB=(0,a)，(1

13、,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意： AB BA序偶：24关系R：AB的子集，记为例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、中、差，则A=甲,乙,丙，B=优,良,中,差AB：12种序偶的集合。一次考试：R=(甲,优)，(乙,中)，(丙,差)A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，关系之间地运算可转换为矩阵间运算。矩阵：A甲 乙 丙B优 良 中 差关系对应25模糊关系R：以AB为论域的一个模糊子集且有：且定义：模糊矩阵：有限集A，B，有即序偶模糊矩阵中的元素记为模糊矩阵R记为

14、: 一致(一一对应)其中26例设求模糊关系RAB，模糊矩阵解：求方法1：方法2：对应元素取小27例已知两个模糊集合A、B的隶属度函数分别为求它们的模糊关系CA其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V 解：模糊关系作用：模糊推理ABR=ABA/B/ =?B/=A / R模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。28定义 笛卡尔积 若A1 、A2分别是论域U1、U2 中的模糊集，则A1 、A2的笛卡儿积是在积空间U1U2中的一个模糊子集，其隶属度函数为 A1, A2 直积（极小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 或代数积 ： A1 A2 (u1

15、, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)对于连续情况，关系矩阵可定义为：R=A B =为了区分直积、代数积 ，用 min表示直积；用AP表示代数积。记号t算子：表示笛卡儿积29定义14 模糊关系的合成：如果R和S分别为笛卡儿空间UV和VW上的模糊关系，则R和S的合成是定义在空间U W上的模糊关系，并记为RS。其隶属度函数的计算方法：模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示2、模糊关系的合成上确界（Sup)算子30S祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩阵S可表示为R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为也可以用模糊矩阵R来表示该家中父母与

16、祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求 ）解： 此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。31模糊关系运算：例：求：解：32结合律：分配律：模糊关系合成算子sup-min的性质：33模糊化算子作用：清晰概念的单词如“大概”、“近似于”、“大约”等精确数：5例设论域X上的清晰集A(x)的特征函数为“大约是5”（模糊数）x图214模糊数5参数的取值大小决定于模糊化算子的强弱程度越大，模糊化程度越？答：越强模糊词34在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，就必须首

17、先把精确量进行模糊化，而模糊化过程实质上是使用模糊化算子来实现的。35判定化算子（清晰化算子）作用：模糊词清晰概念的词例如：“倾向于”、“大半是”、 “偏向”等判定化算子与模糊化算子的作用相反表示： ，一般取 ，即 ，表示“倾向于”50例：求倾向于老：36模糊推理一、模糊语句将含有模糊概念的语法规则所构成的语句称为模糊语句。根据其语义和构成的语法规则不同，可分为以下几种类型：（1）模糊陈述句：语句本身具有模糊性，又称为模糊命题。如：“今天天气很热”。（2）模糊判断句：是模糊逻辑中最基本的语句。语句形式：“是a”，记作（a），且a所表示的概念是模糊的。如“张三是好学生”。37（3）模糊推理句：语句形式：若是，则是。则为模糊推理语句。如“今天是晴天，则今天暖和”。二、模糊推理 常用的有两种模糊条件推理语句：If A then B else C；If A AND B then C下面以第二种推理语句为例进行探讨，该语句可构成一个简单的模糊控制器，如图所示。38图 二输入单输出模糊控制器其中A，B，C分别为论域x，y，z上的模糊集合，A为误差信号上的模糊子集，B为误差变化率上的模糊子集，C为控制器输出上的模糊子集。39 模糊推理语句“If A AND B then C”确定了三元模糊关系R，即：R=(AB)T1C其中(AB)T