2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第七章 7.2平面向量基本定理及坐标表示（word含答案解析）

1、72平面向量基本定理及坐标表示(教师独具内容)1理解平面向量基本定理及其意义借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示会用坐标表示平面向量的加减运算2会用坐标表示平面向量的加减运算与数乘运算能用坐标表示平面向量共线的条件3重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)1本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要是选择题或填空题，命题的重点是平面向量共线的坐标表示2主要考查平面向量的坐标运算，根据给出点的坐标，求向量的坐标以及利用向量共线求参数的值或范围(教师独具内容)(教师独具内容)1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个eq o(,sup3(

2、01)不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使aeq o(,sup3(02)1e12e2.(2)基底：若e1，e2eq o(,sup3(03)不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底注：(1)e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一(3)如果对于一个基底e1，e2，有a1e12e21e12e2，则可以得到eq blcrc (avs4alco1(11，,22.)2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个eq o(,sup3(01)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解3平面向量的坐标运算(1

3、)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abeq o(,sup3(01)(x1x2，y1y2)，abeq o(,sup3(02)(x1x2，y1y2)，aeq o(,sup3(03)(x1，y1)，|a|eq o(,sup3(04)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()eq o(,sup3(05)(x2x1，y2y1)，|eq o(AB,sup6()|eq o(,sup3(06)eq r(x2x12y2y12).4平面

4、向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abeq o(,sup3(01)x1y2x2y10.5常用结论(1)若a与b不共线，且ab0，则0.(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2).(3)已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心G的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2x3,3)，f(y1y2y3,3).(4)ab的充要条件不能表示为eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)，因为x2，y2

5、有可能为0.(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量eq f(1,2)aeq f(3,2)b()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D

6、(1,2)答案D解析a(1,1)，b(1，1)，eq f(1,2)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，eq f(3,2)beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2).eq f(1,2)aeq f(3,2)beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(3,2)，f(1,2)f(3,2)(1,2)故选D.3若向量eq o(AB,sup6()(1,2)，eq o(BC,sup6()(3,4)，则eq o(AC,sup6()()A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)答案A解析eq o(AC,sup6()eq o(AB

7、,sup6()eq o(BC,sup6()(4,6)故选A.4(多选)已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A(4,8)B(4，8)C(4，8)D(4,8)答案BD解析设b(x，y)，依题意有eq blcrc (avs4alco1(r(x2y2)4r(1222)，,y2x0，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y8)或eq blcrc (avs4alco1(x4，,y8.)故选BD.5在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为CO的中点若eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AP,sup6()，则_.答案eq f(4

8、,3)解析四边形ABCD为平行四边形，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AO,sup6()，又eq o(AP,sup6()eq f(3,2)eq o(AO,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(4,3)eq o(AP,sup6()，又eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AP,sup6()，故eq f(4,3).1(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A.eq r(2)B2C5eq r(2)D50答案A解析ab(2,3)(3,2)(1

9、,1)，|ab|eq r(1212)eq r(2).故选A.2(2021全国乙卷)已知向量a(2,5)，b(，4)，若ab，则_.答案eq f(8,5)解析因为ab，所以245，解得eq f(8,5).3(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.答案eq f(1,2)解析由题可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即eq f(1,2).一、基础知识巩固考点平面向量基本定理的应用例1在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(CE,sup6()3eq o(EA,sup

10、6()，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，则eq o(DE,sup6()等于()A.eq f(1,3)aeq f(5,12)bBeq f(1,3)aeq f(13,12)bCeq f(1,3)aeq f(5,12)bDeq f(1,3)aeq f(13,12)b答案C解析eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CE,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(3,4)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6(

11、)eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(5,12)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)aeq f(5,12)b.故选C.例2(2021郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq o(CG,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()(，R)，则eq f(,)_.答案eq f(1,2)解析由题图可设eq o(CG,sup6()xeq o(CE,sup6()(0 x0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值为_答案eq f(32r(2)

12、,2)解析由已知得eq o(AB,sup6()(a2，2)，eq o(AC,sup6()(b2，4)，又eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以(a2，2)(b2，4)，即eq blcrc (avs4alco1(a2b2，,24，)整理得2ab2，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,2)(2ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(2a,b)f(b,a)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(32r(f(2a,b)f(b,a)eq f(32

13、r(2),2)(当且仅当beq r(2)a时等号成立)5.已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，向量eq o(OP3,sup6()与向量a(1，1)共线，若eq o(OP3,sup6()eq o(OP1,sup6()(1)eq o(OP2,sup6()，则()A3B3C1D1答案D解析设eq o(OP3,sup6()(x，y)，则由eq o(OP3,sup6()a知xy0，所以eq o(OP3,sup6()(x，x)若eq o(OP3,sup6()eq o(OP1,sup6()(1)eq o(OP2,sup6()，则(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即

14、eq blcrc (avs4alco1(41x，,32x，)所以41320，解得1.故选D.6已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)若c(ab)，则m_.答案1解析因为ab(1，m1)，c(ab)，所以(m1)2，解得m1.7已知向量eq o(OA,sup6()(k,12)，eq o(OB,sup6()(4,5)，eq o(OC,sup6()(k，10)，且A，B，C三点共线，则k_.答案eq f(2,3)解析eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup

15、6()(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()共线，所以2(4k)7(2k)，解得keq f(2,3).平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)二、核心素养提升例1给定两个长度为1的平面向量eq o(OA,sup6()和eq o(OB,sup6()，它们的夹角为90，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 eq oac(AB,sup15()上运动，若eq o(O

16、C,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，其中x，yR，则xy的最大值是()A1Beq r(2)C.eq r(3)D2答案B解析解法一：如图，设AOC，则eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).过点C作CDOA于D，CEOB于E，则四边形ODCE是平行四边形，所以eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OE,sup6()coseq o(OA,sup6()sineq o(OB,sup6()，又eq o(OC,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6().所以xcos，ysin，所以xycoss

17、ineq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).又eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，则eq f(,4)eq f(,4)eq f(3,4)，所以1xyeq r(2)，即xy的最大值是eq r(2).故选B.解法二：因为点C在以O为圆心的圆弧Aeq xto(B)上，所以|eq o(OC,sup6()|2|xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()|2x2y22xyeq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()x2y2，所以x2y21eq f(xy2,2)，所以xyeq r(2)，当且仅当xy时取等号，所以xy的最大值为e

18、q r(2).故选B.例2在平行四边形ABCD中，BADeq f(,3)，AB1，ADeq r(3)，P为平行四边形内一点，APeq f(r(3),2)，若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(，R)，则eq r(3)的最大值为_答案1解析以点A为原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2)，所以eq o(AB,sup6()(1,0)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2).设eq o(AP,

19、sup6()，eq o(AB,sup6()的夹角为eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,3)，则Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos，f(r(3),2)sin)，所以eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos，f(r(3),2)sin)，则由题意有eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos，f(r(3),2)sin)(1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2)，所以eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)cosf(r(

20、3),2)，,f(r(3),2)sinf(3,2)，)所以eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)sinf(r(3),2)cos，,f(r(3),3)sin，)所以eq r(3)eq f(1,2)sineq f(r(3),2)cossineq f(1,2)sineq f(r(3),2)cossineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3).因为0eq f(,3)，所以eq f(,3)eq f(,3)eq f(2,3)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)的最大值为1，即eq r(3)的最大值为1.课时作业一、单项选择题1已知点A(8，1)，B(1

21、，3)，若点C(2m1，m2)在线段AB上，则实数m()A12B13C13D12答案C解析因为点C在线段AB上，所以eq o(AC,sup6()与eq o(AB,sup6()同向又eq o(AB,sup6()(7，2)，eq o(AC,sup6()(2m9，m3)，故eq f(2m9,7)eq f(m3,2)，所以m13.故选C.2. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，记aeq o(BA,sup6()，beq o(BC,sup6()，则eq o(CF,sup6()()A.eq f(2,3)aeq f(1,3)bBeq f(2,3)aeq f(1,3)b

22、Ceq f(1,4)aeq f(3,8)bDeq f(3,4)aeq f(5,8)b答案D解析取aeq o(BA,sup6()，beq o(BC,sup6()作为基底，则eq o(BE,sup6()aeq f(1,2)b.因为BF3FE，所以eq o(BF,sup6()eq f(3,4)eq o(BE,sup6()eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(3,4)aeq f(3,8)b，所以eq o(CF,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(3,4)aeq f(3,8)bbeq f(3,4)aeq f(5,

23、8)b.故选D.3. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量eq o(AB,sup6()的坐标是()A(2,2)B(2，2)C(1,1)D(1，1)答案D解析因为A(2,2)，B(1,1)，所以eq o(AB,sup6()(1，1)故选D.4在ABC中，点D在BC边上，且eq o(CD,sup6()2eq o(DB,sup6()，eq o(CD,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，则rs等于()A.eq f(2,3)Beq f(4,3)C3D0答案D解析因为eq o(CD,sup6()2eq o(DB,sup6()，所以eq o(CD,sup6()eq f(2

24、,3)eq o(CB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，则rseq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)0.故选D.5(2021山东省枣庄、滕州高三上期末)已知向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)c，则()A3B3Ceq f(1,7)Deq f(1,7)答案C解析由题意ab(1，13)，(ab)c，2(13)1，解得eq f(1,7).故选C.6(2021太原模拟)设向量a(m,2)，b(1，m1)

25、，且a与b的方向相反，则实数m的值为()A2B1C2或1Dm的值不存在答案A解析向量a(m,2)，b(1，m1)，因为ab，所以m(m1)21，解得m2或m1.当m1时，a(1,2)，b(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m2时，a(2,2)，b(1，1)，a与b的方向相反，符合题意故选A.7在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限的点，且AOCeq f(,4)，|eq o(OC,sup6()|2，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，则()A2eq r(2)Beq r(2)C2D4eq r(2)答案A

26、解析因为|eq o(OC,sup6()|2，AOCeq f(,4)，所以C(eq r(2)，eq r(2)，又因为eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，所以(eq r(2)，eq r(2)(1,0)(0,1)(，)，所以eq r(2)，2eq r(2).故选A.8. 在直角梯形ABCD中，ABAD，AB2AD2CD.若P为ABC边上的一个动点，且eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()neq o(AD,sup6()，则下列说法正确的是()A满足meq f(1,2)的点P有且只有一个Bmeq f(1,2)n的最大值不存在Cmn的取

27、值范围是eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)D满足mn1的点P有无数个答案C解析A中，当P与C重合时，P为AB的中点时，meq f(1,2)，所以满足meq f(1,2)的P点有两个，A错误；B中，当P与B重合时，meq f(1,2)n取最大值为1，B错误；C中，当P与A重合时，mn有最小值0，当P与C重合时，mn有最大值eq f(3,2)，C正确；D中，连接BD交AC于E，P与E，B重合时，mn1，所以满足mn1的点P有两个，D错误故选C.二、多项选择题9已知向量eq o(OA,sup6()(1，3)，eq o(OB,sup6()(2，1)，eq o(OC,sup6()(m

28、1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A2Beq f(1,2)C1D1答案ABD解析若A，B，C三点不共线即可构成三角形因为eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(2，1)(1，3)(1,2)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.所以只要m1，A，B，C三点就可构成三角形故选ABD.10(2022辽宁盘锦高三期末)在直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足eq o(BP,sup6()2eq

29、 o(PC,sup6()，点M，N在过点P的直线上，若eq o(AM,sup6()meq o(AB,sup6()，eq o(AN,sup6()neq o(AC,sup6()(m0，n0)，则下列结论正确的是()A.eq f(1,m)eq f(2,n)为常数Bm2n的最小值为3Cmn的最小值为eq f(16,9)Dm，n的值可以为meq f(1,2)，n2答案ABD解析如图所示，由eq o(BP,sup6()2eq o(PC,sup6()，可得eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()2(eq o(AC,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AP,sup6()eq f(

30、1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6().若eq o(AM,sup6()meq o(AB,sup6()，eq o(AN,sup6()neq o(AC,sup6()(m0，n0)，则eq o(AB,sup6()eq f(1,m)eq o(AM,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(1,n)eq o(AN,sup6()，eq o(AP,sup6()eq f(1,3m)eq o(AM,sup6()eq f(2,3n)eq o(AN,sup6().M，P，N三点共线，eq f(1,3m)eq f(2,3n)1，eq f(1,m)eq f(2,n)

31、3.当meq f(1,2)时，n2，故A，D正确；m2n(m2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3m)f(2,3n)eq f(2n,3m)eq f(2m,3n)eq f(5,3)2eq r(f(2n,3m)f(2m,3n)eq f(5,3)3，当且仅当mn1时，等号成立，故B正确；mn(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3m)f(2,3n)eq f(n,3m)eq f(2m,3n)12eq r(f(n,3m)f(2m,3n)1eq f(2r(2),3)1，当且仅当neq r(2)m时，等号成立，故C错误故选ABD.三、填空题11设向量a(2,1)，b(

32、m，4)，若(ab)(ab)，则实数m_.答案8解析因为a(2,1)，b(m，4)，所以ab(m2，3)，ab(2m,5)，又因为(ab)(ab)，所以(m2)53(2m)，解得m8.12. 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq o(AC,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(BN,sup6()，则_.答案eq f(8,5)解析设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，则eq o(BN,sup6()eq f(1,2)ab，eq o(AM,sup6()aeq f(1,2)b，由eq o(AC,sup6()eq o(AM,sup6()e

33、q o(BN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)ab)ab，得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)1，,f(1,2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(6,5)，,f(2,5)，)所以eq f(8,5).13在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9，若eq o(PA,sup6()meq o(PB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)m)eq o(PC,sup6()(m为常数)，则CD的长度是_答案eq

34、f(18,5)或0解析如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0，3)由eq o(PA,sup6()meq o(PB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)m)eq o(PC,sup6()，得eq o(PA,sup6()m(eq o(PA,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)m)(eq o(PA,sup6()eq o(AC,sup6()，整理得eq o(PA,sup6()2meq o(AB,sup6()(2m3)eq o(AC,sup6()2m(4,0)

35、(2m3)(0,3)(8m,6m9)又因为AP9，所以64m2(6m9)281，解得meq f(27,25)或m0.当m0时，eq o(PA,sup6()(0，9)，此时C，D重合，CD0；当meq f(27,25)时，直线PA的方程为yeq f(96m,8m)x，直线BC的方程为eq f(x,4)eq f(y,3)1，联立两直线方程可得xeq f(8,3)m，y32m，即Deq blc(rc)(avs4alco1(f(72,25)，f(21,25)，CDeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(72,25)2blc(rc)(avs4alco1(f(21,25)3)2)eq f(18,

36、5).CD的长度是eq f(18,5)或0.14. 如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC2，AB6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设eq o(AP,sup6()meq o(AD,sup6()neq o(AB,sup6()(m，nR)，则mn的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(1，f(5,3)解析如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,2)，C(2,2)，B(6,0)，则直线BD的方程为x3y60，点C到BD的距离deq f(2,r(10)eq f(r(10),5).所以以C为圆心且

37、与BD相切的圆的方程为(x2)2(y2)2eq f(2,5).设P(x，y)，则eq o(AP,sup6()(x，y)，eq o(AD,sup6()(0,2)，eq o(AB,sup6()(6,0)，又eq o(AP,sup6()meq o(AD,sup6()neq o(AB,sup6()(m，nR)，所以(x，y)(6n,2m)，则x6n，y2m，所以neq f(x,6)，meq f(y,2)，所以mneq f(x,6)eq f(y,2).因为动点P在圆上，所以(x2)2(y2)2eq f(2,5).设直线eq f(x,6)eq f(y,2)b0与(x2)2(y2)2eq f(2,5)有交点，则圆心C(2,2)到eq f(x,6)eq f(y,2)b0的距离为eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(2,6)f(2,2)b),r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq r(f(2,5)，解得1beq f