量子物理题解3

1、量子物理第3章原子中的电子（崔砚生 助教李丹）3.5 1884年瑞士的一所女子中学的教师巴尔末仔细研究氢原子光谱的各可 见光谱线的“波数” V （即1/九）时，发现它们可以用下式表示，n = 3,4,5，其中R为一常量，叫里德伯常量。试由氢原子的能级公式来求里德伯常量的表示 式并求其值（现代光谱学给出的数值是R = 1.097 373 153 4x 107m-1）。解：氢原子的能级公式为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document Eme41n2（ 0）2 力 2 n 2氢原子的可见光谱是从n 3的态跃迁到n = 2的态时发的光

2、形成的，根据频率条件可得各谱线的波数应为1 v AEm e4V = _ = = e人 c ch 4n （ 4 8i 2 力 3 0上式与题给的巴耳末公式对比，可得里德伯常量的表示式为m e4 R =e4兀(4兀 )2力3c9.109 x 10-31 x(L,602 x 10-19)代入数据得R = f徉4兀 xV4n x 8.854 x 10-12 / V1.054 x 10-34 / x 2.998 x 108=1.099 x 107 m-1=1.10 x 107m-1（式中a0是玻尔半径）此外，也可利用氢原子能级公式的另一表达式E n2（4兀 ）a n200求得各谱线的波数为4 n2对比题

3、给的巴尔末公式得R =2(4 ns 0 )a0 hc(1. 6 仪2 -190 2 )2(n x 8. 8 5x4 -1i0 x ) 0.方 2 9戮 1 0 x 2.x9 9 8 x1 0 6.46 2 6 1 0=1.097x 107m-1牝 1.10 x 107m-1说明：如果要保证结果的3位有效数字是正确的，那么运算中所取的数据至 少应有4位有效数字。本题代入的数据均取了 4位有效数字，结果在3位有效数 字上与R的精确值取3位有效数字是一致的。书上的答案虽给出了 3位有效数字 但与精确值取3位有效数字有差异（只在2位有效数字上是一致的），这是由于 在运算中所取数据的有效数字位数不够（都

4、只有3位）所造成的。3.8天文学家观察远处星系的光谱时，发现绝大多数星系的原子光谱谱线有 红移现象。在室女座外面一星系射来的光的光谱中发现有波长为411.7nm和 435.7nm的两条谱线。（1）假设这两条谱线的波长可以由氢原子的两条谱线的波长乘以同一因子 得出，它们相当于氢原子谱线的哪两条谱线？相乘因子多大?（2）按多普勒效应计算，该星系离开地球的退行速度多大?解：（1）由于所测波长在紫光附近，故可设想该两条谱线属于氢原子的巴耳 末系。已知X = 411.7nm,九=435.7nm，设想红移量不大，以人计算较高能级的量子数n，则有 _ c _ c h_, c h 、一 v - AE 一 E

5、(1 /n 2 - 1 /)41-1 / 2由此得1 ch+4人E11 _ +4 4 1 1. X7 -9 02. 9 欧8,8x06x 6 264 11 3. 5 9 x1. 6-1 / 2=5.93习 6与人相应的地面上测得的氢谱线的波长应为ch0 = E1J 62-1/4 )2.998 x 108 x 6.626 x 10-3413.59 x 1.602 x 10-19 x(1/ 4 -1/36)=4. 1 06 -7 0 =m4 1 0. 6nm相乘因子为m = X / 人=411.7/410.6 = 1.00270星光中A，所以v n 22n21因此必有4 3 5.n22（*）由此解

6、得 n2 0 /）&. 0 1 0=6.6 x 10-34J. s1915年，Duane和Hunt曾用这种方法测出h值并和由光电效应测出的h值相比较，结果二者相一致，这说明了h的普适性。3.25某元素的X射线的Ka线的波长为3.16nm。(!)该元素原子的L壳层和K壳层的能量差是多少？(2)该元素是什么元素？解：(1)K以谱线是L层电子向K层跃迁所发出的谱线，故该元素原子的L 壳层和K壳层的能量差是E - h = hc / 人=6.63 x 10-34 x 3.00 x 108 /(3.16 x 10-9)=6.29 x 10-17J = 393eV(2)由计算元素的Ka线的莫塞莱公式寸丁 =

7、 4.96 x 107(Z -1)可得该元素的 原子序数为7 切3.00 x 108/(3.16 x10-9)Z =+1 =+ 1 = 7.214.96 x 1074.96 x107Z取整数7,可知该元素为氮(N)。3.27 CO2激光器发出的激光波长为10.6 nm。和此波长相应的CO2的能级差是多少？温度为300K时，处于热平衡的CO2气体中在相应的高能级上的分子 数是低能级上的分子数的百分之几？如果此激光器工作时其中的CO2分子在高能级上的分子数比低能级上 的分子数多1%，则和此粒子数布居反转对应的热力学温度是多少？解：(1)与题目给出的波长对应的能级差是AE = hv = ch/X =

8、 3.00 x 108 x 6.63x 10-34/(10.6x 10-6)=1.88 x 10-20J=0.117eV根据玻耳兹曼分布率，可得T=300K时处于热平衡的CO2气体中在相 应的高能级上的分子数与低能级上的分子数的比率为% /IN、= exp (-AE /(kT) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark141 o Current Document =exp)- 1.8 8 -210 0 /乂1.-32& 103 00)=1.07%若此激光器工作时CO2分子在高能级上的分子数比低能级上的多1%，nrlN 1. 0 1 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document