雅可比迭代实验报告

1、雅可比迭代法求解线性方程蛆的实验报告一,实验题目分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：10 x 一 x 一 2x = 7.2一 x +10 x - 2x = 8.3一 x x + 5 x = 4.2v 123使得误差不超过0.00001。二实验引言实验目的掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran语言；了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。实验意义雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。三、算法设计雅可比迭代法原理：设有线性方程组Ax=b满足%丰0,将方程组变形为:x=Bx+f,则雅可比 (Jacobi)迭代法是指X

2、(5 = Bxk + /，即由初始解逐步迭代即可得到方程组的 解。算法步骤如下：步骤1.给定初始值x（0）,x2。）,.,x（0）/精度e,最大容许迭代次数M，令k=1。步骤2.对i=1,2,.,n依次计算x = (b -U a x )/a (a 丰 0,i = 1,2,., n)1 j ij j ii iij=1j &e =1 x 一 x(o)|x(l) x (O)步骤3.求出e = maxe ，若e e，则输出结果x（o）（i = 1,2,.,n），停止计算。1in否则执行步骤4.步骤4.若k M,表明迭代失败，停止计算。算法流程图program jacobiimplicit nonein

3、teger:i,jinteger:ksave kreal,parameter:e=0.001integer,parameter:n=3real:x(n),y(n),b(n)data b/7.2,8.3,4.2/ real:D real:a(n,n) open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/write(10,*)kkkkkkkkk*矩阵A的形式为*kkkkkkkkkwrite(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i = 1:n)x(i)=0end forallk=0100 D=0do i = 1,ny(i)

4、= b(i)do j = 1,nif(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end do2。don-LnDnabs(xeys end do fora=Tla x(Tya) end fora= if(Dvne)ihen knk+1 wme(10、*)=演芫旨薄苛-=、kgoio 100 e-segoio 200 end if=* =wme(10、*)_sjacobiEfffKasi3-=，习BBS洋，write(10,(1x,3f6.2,/)x(:)stopend program五.结果及讨论实验结果大大大大大大大大大大矩阵A的形式为*

5、123456710.00 -1.00 -1.00-1.00 10.00 -1.00-2.00 -2.00 5.00迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为：迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为：*用jacobi方法解得的结果Xt为：1.10 1.20 1.30讨论分析（1）误差从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k增大时，迭代值x1,y1/z1会越来越逼近方程组的精确解x=1.0,y=1.2,z=1.3。（2）收敛性在本题目中，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解该线性方程组，得 到的近似根是收敛的六、算法评价优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。缺点：迭代法要求方程组的

6、系数矩阵有某种特殊性质（譬如是所谓对角占优阵） 以保证过程的收敛性。高斯一塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快（达到同样的 精度所需迭代次数少），但这个结论，在一定条件下才是对的，甚至有这样的方程组， 雅可比方法收敛，而高斯一塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性 方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很正确的解。而通常我们 选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在实际 应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。通过该算法以及编程对 求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代 一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过

7、程中原始矩阵A始终不变，比 较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大， 所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。附：高斯一赛德尔程序program G-S implicit noneinteger:i,jinteger:ksave k real,parameter:e=0.001integer,parameter:n=3real:x(n),y(n),b(n)data b/7.2,8.3,4.2/real:D real:a(n,n) open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/writ

8、e(10,*)kkkkkkkkk*矩阵A的形式为*kkkkkkkkkwrite(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i = 1:n)x(i)=0end forallk=0100 D=0do i = 1,ny(i) = b(i)do j = 1,nif(ij) y(i)=y(i)-a(i,j)*y(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end dodo j = 1,nD=abs(x(j)-y(j)end doforall(i = 1:n)x(i)=y(i)end forallif(D=e) thenk=k+1write(10,*)迭代次数为：侦goto 100else2。goio 2。0 end if=* =wmeQOW-sGaussseide-EfffKasXMs-=wr#e(l。、=(lx、3f6.2s=)xc) siopend programlobo lbo lbo 100 1000 100 2002.。0 500