复变函数与积分变换第1章

1、复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform教材： 复变函数与积分变换主要参考书: 复变函数， 西安交大（第四版） .一、复变函数 我们以复数为自变量的函数复变函数，研究其在复数域上的微积分，并以解析函数为中心内容。学习方法：要善于同实变函数进行比较、区别，特别要注意复变函数特有的那些性质与结果。 1. 复数的概念及运算 2. 复数的表示方法Ch1 复数和复平面1 复 数 1. 在十六世纪中叶，时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被Cardan

2、o引入后，在很长一段时间内不被人的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式, 背景介绍2. 直到十七与十八世纪，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。复指数函数与三角函数之间的关系。，揭示了Gauss (德国1777-1855)与Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。3. (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 （1）复数 形如 ，其中x和y是实数，i是

3、虚单位( ), 称为复数。其中x和y分别称为复数z的实部和虚部，分别记作： 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。1. 复数的概念及运算(2)复数的四则运算 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 (对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。相当于代数中的多项运算 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积、商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2

4、)+i(x2y1+x1y2)定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.(conjugate)共轭复数的性质（3）共轭复数 （1）点的表示 （2）向量表示法 （3）三角表示法 （4）指数表示法2 复数的表示方法（1） 点的表示点的表示： 数z与点z同义.（2） 向量表示法oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时) z=0时，辐角不确定。 辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足 的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz。 计算argz(z0) 的公式

5、 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。 oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知(3). 三角表示法(4). 指数表示法注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要. (1) 复数三角表示的乘积与商 （2）复数的乘幂 （3）复数的方根3 复数的乘幂与方根定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2)

6、= r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘积与商的几何意义因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。证明 Argz=Argz2-Argz1 即：由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg

7、 z2（ z10）设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。乘幂定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。特别：当|z|=1时，即：zn=cosn+isin n，则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛(De Moivre)公式。问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的 复数。方根（开方）乘方的逆运算 当z0时，有n个不同的值与 相对应，每一个这样的值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复

8、出现。几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyo练习：求下列复数的模与辐角主值（1） （2） （3） （4） 解（2）（3）(4) 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域2 复平面点集1. 平面点集邻域复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0| 0, 对任意 z D, 均有|z|R，则D是有界区域；否则无界。闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,(1) 圆环域:(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 带形域:2. 简单曲线（或Jordan曲线)令z(t

9、)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：z=z(t)， atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点 设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于t1(a，b), t2 a, b,当t1t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jordan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线3. 单连通域与多连通域简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复平面唯一地分成三个互不相

10、交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；非单连通域称为多连通域。例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域例 求过复平面C上不同两点a,b的直线表示式。解二、复球面1. 南极、北极的定义NSPyzZx 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.2. 复球面的定义我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的