《高等数学A（下）96学时》教学大纲

1、课程代码：09011240课程名称：高等数学A（下）学分数：6总学时数：96课程内容：高等数学A是工科类对数学要求较高的本科专业学生的一门必修的重要公共基础理论课程。其内容包括：（1）向量代数与空间解析几何（2）多元函数微积分学（3）无穷级数（4）常微分方程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得高等数学的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法。培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力和自学能力；使学生接受到数学分析的基本概念、理论、方法以及用这些概念、理论、方法解决几何、物理等实际问题，提高学生的科学素养，同时为学习后续课程以及将来进一步自学数学奠

2、定必要的基础知识和方法训练。教材：刘坤、沈京一、许定亮编，高等数学，高等教育出版社，第1版。后续课程：线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等。教学大纲高等数学A（下）教学大纲课程编码: 课程名称: 高等数学A（下）学分: 6 总学时: 96适用专业: 工科类数学要求较高的本科专业学生一、本课程的性质和任务本课程是理工类数学要求较高的本科专业学生的一门必修的公共基础理论课。通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法。培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力和自学能力；使学生接受到数学分析的基本概念、理论

3、、方法以及用这些概念、理论、方法解决几何、物理等实际问题，提高学生的科学素养，同时为学习后续课程以及将来进一步自学数学奠定必要的基础知识和方法训练，并能从纷杂的数学数据中，通过数学方法的处理抽象出科学的结论。二、本课程的教学内容和基本要求一、空间解析几何与向量代数1教学内容（1）空间直角坐标系；（2）向量及其运算（包括加减法、数乘、点乘、叉乘及混合积）；（3）曲面及其方程；（4）空间曲线及其方程；（5）平面及其方程；（6）空间直线及其方程；（7）二次曲面。2基本要求（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；（2）掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件；

4、（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）掌握平面的方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解有关问题；（5）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；（6）了解空间曲线的参数方程和一般方程；（7）了解曲面的交线在坐标平面上的投影。重点：向量的坐标表达式，数量积，向量积，平面的点法式方程，直线的点向式方程，曲面方程，空间曲线的参数方程和一般方程。难点：向量积，空间曲线与曲面方程，空间曲线在坐标平面上的投影。二、多元函数微分学1教学内容（1）多元函数的基本概念；（2）偏导

5、数；（3）全微分及其应用；（4）多元复合函数的求导法则；（5）隐函数的求导公式；（6）微分法在几何上的应用；（7）方向导数与梯度；（8）多元函数的极值及其求法；（9）二元函数的Taylor公式。2基本要求（1）理解多元函数的概念；（2）了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质；（3）理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；（4）了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；（6）会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；（7）了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它

6、们的方程；（8）理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的Lagrange乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，多元复合函数的导数。难点：二元函数的极限，多元复合函数的高阶导数、多元隐函数的导数。三、多元函数积分学1教学内容（1）二重积分的概念、性质及计算法（直角坐标系、极坐标系下计算）；（2）二重积分的应用；（3）三重积分的概念及计算法；（4）利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分；（5）对弧长、对坐标的曲线积分（概念、计算方法及联系）；（6）Green公式及其应用；（7）对面积、对坐标的曲面积分（概念、计算方

7、法及联系）；（8）Gauss公式、Stokes公式；（9）通量与散度，环流量与旋度介绍。2基本要求（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质；（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；（3）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；（4）会计算两类曲线积分；（5）掌握Green公式，会应用平面曲线积分与路径无关的条件解题；（6）了解两类曲面积分的概念及Gauss、Stokes公式并会计算两类曲面积分；（7）了解散度、旋度的概念及其计算方法；（8）会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量

8、（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。重点：二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与计算方法，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，Green公式。难点：重积分化为累次积分上下限的确定，曲面积分的计算。四、无穷级数1教学内容（1）常数项级数的概念、性质及审敛法；（2）幂级数；（3）函数展开成幂级数及其应用；（4）Fourier级数；（5）正弦级数和余弦级数；（6）周期为2l的周期函数的Fourier级数；2基本要求（1）理解无穷级数收敛、发散以及部分和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；（2）掌握几何级数和P级数的收敛性；（3）了解正项级数的比较

9、审敛法，掌握正项级数比值审敛法；（4）了解交错级数的Leibniz定理，会估计交错级数的截断误差；（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系；（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；（7）掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）；（8）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质；（9）了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件；（10）会利用、和的Maclaurin展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数（包括逐项求导、逐项积分方法）；（11）了解幂级数在近似计算上的简单应用；（12）理解函数展开为Fourier级数的Dirichlet条件，会将

10、定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。重点: 无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，绝对收敛与条件收敛的概念，幂级数的收敛半径及其收敛区间的求法，函数展开成幂级数，Fourier级数。难点：正项级数的比较审敛法，条件收敛，把某些函数展开成幂级数，Fourier级数。五、常微分方程 1教学内容（1）常微分方程基本概念；（2）可分离变量的微分方程；（3）齐次方程；（4）一阶线性微分方程；（5）全微分方程；（6）可降阶的高阶微分方程；（7）高阶线性微分方程；（8）二阶常系数（非）齐次线性微分方程；（9）Euler方程及微分方程幂级数解法介绍

11、。2基本要求（1）了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；（2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；（3）会解齐次方程和Bernoulli方程，并从中领会用变量代换法求解方程的思想，会解全微分方程；（4）会用降价法解下列类型方程：，和；（5）理解二阶线性微分方程解的结构；（6）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；（7）会求自由项为形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；（8）会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。重点：微分方程的概念，通解，特解，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性方程，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程。难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的确定。三、课程学时分配序号内 容讲授习题课学时合计1空间解析几何与向量代数122142多元函数微分学162183多元函数积分学266324无穷级数124165常微分方程12416合 计781896四、其它1、先修课程：无2、教学方法建