方法精讲-数量3高照讲义笔记

1、方法精讲-数量 3（讲义）第六节周期问题一、周期余数例 1（2016）文化广场上从左到右一共有 5 面旗子，分别代表中国、德国、英国和韩国。如果将 5 面旗子从左到右分别记作 A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照 ABCDEDCBABCDEDCBA的顺序数，数到第 313 个字母时，是代表（）的旗子。A.英国B.德国C.中国D.韩国例 2（2014 山西）五名工人按甲乙丙丁戊的顺序轮流值夜班，每人值班 1 天休息 4 天。某日乙值夜班，问再过 789 天该谁值班？（）A.甲B.乙C.丙D.戊二、周期相遇例 1（2015 河北）甲，乙，丙，丁每人隔不同的天数去房，甲 2天去一次，乙 3

2、 天去一次，丙 4 天去一次，丁 5 天去一次，上周日四人在健身房同日，下一次四人同日去房是几？（）1A.四B.五C.六D.日例 2（2016）三个学校的志愿队分别去敬老院照顾老人，A 学校志愿队每隔 7 天去一次，B 学校志愿队每隔 9 天去一次，C 学校志愿队每隔 14 天去一次，三个队伍周三第一次同时去敬老院，问下次同时去敬老院是？（）A.周三B.周四C.周五D.周六三、日期推断例（2018 浙江）某工厂员工周一到周五每天工作 8 小时，周六工作 5 小时，周日休息。某年 6 月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500 小时。如当年 7 月 1 日是六，问到该工厂上班的日期是

3、（）。A.6 月 21 日B.6 月 22 日C.6 月 23 日D.6 月 24 日第七节高频几何问题一、公式类例 1（2018 国考）一艘渔船作业时发现其正右方有海上船，于是沿下图所示方向左转 30后，立即以 15 节（1 节=1 海里/小时）的速度逃跑，同时船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前2逃跑的距离刚好与其发现船时与船的距离相同，问船的速度为多少节？（）A.20B.30C.103D.153例 2（2016 联考）围着边长为 50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，跑了 500 米之后，与出发点相距有多远？（）A.5（31）米B.503米C.25（

4、2+1）米D.502米例 3（2018 国考）将一块长 24 厘米、宽 16 厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？（）A.32C.8B.22D.4二、结论类3例 1（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第 1 条直线将平面分成 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块，第3 条直线将平面分成 7 块，按此规律将平面分为 46 块需要（）。A.7 条直线B.8 条直线C.9 条直线D.10 条直线例 2（2018 河北）某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平

5、方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么要造一个深为 3米、容积为 48 立方米的无盖贮水池最低造价是多少元？（）A.6460B.7200C.8160/D.9600例 3（2018 江西）设 a、b、c、d 分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是（）A.d 和 aB.c 和 dC.a 和 dD.d 和 b例 4（2017 联考）如下图所示，甲和乙在面积为 54 平方米的半圆形游泳池内游泳，他们分别从位置 A 和 B 同时出发，沿直线同时游到位置 C。若甲的速度为乙的 2 倍，则原来甲、乙两人相距（）。A.92

6、米B.15 米4C.93米D.18 米三、技巧类例 1（2017）一块三角形农田 ABC（如下图所示）被 DE、EF 两条道路分成三块。已知 BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形 ADE、三角形 CEF 和四边形BDEF 的面积之比为（）。A.1：3：3B.1：3：4C.1：4：4D.1：4：5例 2（2017 江苏）某市规划建设的 4 个小区，分别位于直角梯形 ABCD 的 4个顶点处（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。欲在 CD 上选一点 S 建，使其与 4 个小区的直线距离之和为最小，则 S 与 C 的距离是（）。A.3 千米B.4 千米5C.6 千米D.9

7、千米例 3（2018 江苏 A）燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼之间可铺设管道的路线，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（：百米），则铺设的管道最短长度是（）。A.1800 米B.1850 米C.1950 米D.2000 米第八节经济利润问题例 1（2018 江西）某品牌的葛粉进价为 20 元，现降价 20%卖出，结果还获得进价 52%的利润。那么，该葛粉的定价是多少元？（）A.36B.37C.38D.39例 2（201川）某商店销售一批尾货服装，在进价基础上溢价 20%销售，销售一定数量后为尽快回收，计划将剩余的服装降价销售。商家发现如果以进价的 7

8、0%销售的话，总销售收入与进价将相同。如商家希望获得相当于进价 10%6的利润，则剩余服装应在进价基础上（）。A.降价 5%B.降价 10%C.涨价 5%D.涨价 10%例 3（2018 吉林甲）某市出租车采用分段计价办法：2.5 公里及以内5元，超过 2.5 公里按每公里 1.5 元计价，每次加收 1 元燃油附加费。某位乘客有22.5 元零钱，最多能走的距离是（）。A.14 公里B.13.5 公里C.12 公里D.15.5 公里例 4（2018 江西）为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过 5 吨，则按2.5 元/吨；超出 5 吨的，超出部分按 4 元/吨，每次时用水量都按整数计算，已知胡

9、家 3 口人，熊家 4 口人。某月月底结算时，胡家69.5 元，比熊家多交了 15.5 元。那么，熊家该月用了多少吨水？（）A.20B.21C.22D.23例 5（2018 江西）某自助餐饮店推出了两种自助方案：甲方案成人每人 90元，小孩每人 60 元；乙方案无论大人小孩，每人均为 70 元。现有 m 人组团就餐，并规定 1 个大人至多带 2 个小孩就餐。那么，对于这些顾客来说（）。A.只要选择甲方案都不会吃亏B.甲方案总是比乙方案更C.只要选择乙方案都不会吃亏D.甲方案和乙方案一样7方法精讲-数量 3（笔记）第六节周期问题【知识点】周期问题：不是每年必考，可能两年考一次，也是比较重要的题型

10、。1.周期余数。2.周期相遇。3.日期推断（重点）。一、周期余数例 1（2016）文化广场上从左到右一共有 5 面旗子，分别代表中国、德国、英国和韩国。如果将 5 面旗子从左到右分别记作 A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照 ABCDEDCBABCDEDCBA的顺序数，数到第 313 个字母时，是代表（）的旗子。A.英国B.德国C.中国D.韩国【】例 1.给出的数很多，不可能去数，而是找规律，要注意周期不是 5，而是 8（ABCDEDCB），313/8=391，说明第 313 个字母=第 1 个字母，第一个字母是 A，对应中国。【选 C】8【知识点】周期余数：方法：看余数。坑是周期。

11、例：（1）123123123，问第 100 个数是谁？答：3 个数为一组，周期为 3，100/3=331，表示有 33 个 123，过了 33 组之后，第 100 个数和第 1 个数相同，为 1。（2）123123123，问第 99 个数是谁？答：99/3=33，余数为 0，经过了 33 个周期，对应周期最后一个，为 3。【注意】在考场上如果没有时间，也要猜中国，人，一定要正统。例 2（2014 山西）五名工人按甲乙丙丁戊的顺序轮流值夜班，每人值班 1 天休息 4 天。某日乙值夜班，问再过 789 天该谁值班？（）A.甲B.乙C.丙D.戊【】例 2.首先理解：再过 789 天，比如今天是周一，

12、过了一天是周二。五人一个循环，789/5=（780+9）/5，780 除以 5 一定是整数，9 除以 5 余 4，再过 789 天=再过 4 天，从乙开始，乙丙丁戊甲，所以再过 789 天该甲值班。【选 A】【注意】一定要注意判定周期是多少。【汇总】1-2：CA二、周期相遇例 1（2015 河北）甲，乙，丙，丁每人隔不同的天数去房，甲 2天去一次，乙 3 天去一次，丙 4 天去一次，丁 5 天去一次，上周日四人在健身房同日，下一次四人同日去房是几？（）A.四B.五C.六D.日【】例 1.判定题型，下一次再相遇，周期相遇问题，2、3、4、5 的最9【知识点】周期相遇：题型判定：下次再相遇。方法：

13、最小公倍数。例：你 2 天洗一次澡，高照 3 天洗一次澡，假设今天都去澡堂了，问下次什么时候再次在澡堂相遇。答：下次再相遇，是 2 和 3 的最小公倍数，只有每个人经历一个大周期，才能再次相遇，大周期就是最小公倍数。小公倍数是 60，即再过 60 天四人再相遇，一个有 7 天，60/7=84，再过 60 天=再过 4 天，今天是日，再过 4 天是四，对应 A 项。【选 A】例 2（2016）三个学校的志愿队分别去敬老院照顾老人，A 学校志愿队每隔 7 天去一次，B 学校志愿队每隔 9 天去一次，C 学校志愿队每隔 14 天去一次，三个队伍周三第一次同时去敬老院，问下次同时去敬老院是？（）A.周

14、三B.周四C.周五D.周六【】例 2.判定题型，下次再相遇，周期相遇问题，每隔 7 天去一次=8天去一次，同理，每隔 9 天去一次=10 天去一次，每隔 14 天去一次=15 天去一次，周期分别为 8、10、15，8、10、15 的最小公倍数是 120，120/7=171，即经过 17 周之后，再过 1 天，今天是周三，再过 1 天，就是周四，对应 B 项。【选 B】【注意】需要注意坑：每隔 7 天=8 天。【汇总】1-2：AB三、日期推断10【知识点】日期推断： 1.方法：连续的 7 天，周一到各有 1 天。连续的 7N 天，周一到 各有 N 天。例：假设今天是周三，接下来是周四、周五、周六

15、、周日、周一、周二，如果接下来再过 7 天，就会有两个周三、周四、周五、周六、周日、周一、周二，可以推出，如果有连续的 7N 天，周一到 各有 N 天。年份：平年有 365 天，闰年有 366 年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。在现在的中，一般都是附近的年份，2018 年附近的年份不会出现百年不润的情况，在公，只要能被 411整除就是闰年。（3）365/7=521，366/7=522，今天是 2018 年 11 月 12 日，为周一，问 2019 年 11 月 12 日是，经历了一个平年，过了 52 个后再过 1 天，所以为周二；2020 年 11 月 12 日，经历了一个闰年，过了 52

16、个后再过 2 天，所以为周四。所以记住口诀：平年加一，闰年加二。注意：过不过闰年，看过不过 2 月 29 日。2019 年 2 月 1 日是五，问 2020 年 2 月 1 日是？没有经历 2020 年的 2 月 29 日，所以经历的是一个平年，只需要加一，所以为六。2019 年 2 月 1 日是五，到 2020 年 2 月1 日没有经历 2020 年的 2 月 29 日，平年加一，2020 年 2 月 1 日是六；2019年 3 月 1 日是四，到 2020 年 3 月 1 日有经历 2020 年的 2 月 29 日，闰年加二，2020 年 3 月 1 日是六。：1、3、5、7、8、10、1

17、2，三十一天永不差；：除了 2 月以外，都是 30 天。31/7=43，过+3；30/7=42，过+2；28/7=40； 29/7=41，29 天+1。快速小技巧：比如过 3 月、4 月、5 月，不需要把天数都相加，利用结论，分别+3、+2、+3。（7）例：某年3 月，共有31 天，其中22 天是工作日，周末有9 天，31/7=43，有 4 个整，每个中有 2 天周末，4 个有 8 天周末，说明剩余的 3 天有且只有一天周末，要么是周六，那么剩余的 3 天只能是周四、周五、周六；要么是周日，那么剩余的 3 天只能是周日、周一、周二，问 3 月 31 日是，要么是周六，要么是周二。问 3 月 1

18、 日，要么周日、要么周四。拓展（2013 国考）根据部分节假日安排，某年 8 月份有 22 个工作日，那么当年的 8 月 1 日可能是：A.周一或周三B.周三或周日C.周一或周四D.周四或周日【】拓展.8 月为，有 31 天，31/7=43，有 22 天工作，说明有9 天休息，有 4 个，说明已经有 8 天休息，只剩下 1 天休息，要么周六，要么周日，若休息日是周六则周四开头，若休息日是周日则周日开头，则 8 月 1日要么周四要么周日。【选 D】例（2018 浙江）某工厂员工周一到周五每天工作 8 小时，周六工作 5 小时，周日休息。某年 6 月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班5

19、00 小时。如当年 7 月 1 日是六，问到该工厂上班的日期是（）。A.6 月 21 日B.6 月 22 日C.6 月 23 日D.6 月 24 日【】例.以 7 天为周期，周一至周五工作 8 小时，周六工作 5 小时，则每周工作 5*8+5+0=45 小时。题干给出某天下班后，周日不上班，就没有下班，可以先排除。500/45=115，说明过了 11 个，还余 5 小时，要想经历整整的 5 小时，只能在周六。，连续的每个都是周六开头，第一天上班是周六，月份分为上、中、下旬，7 月 1 日是六，往前推，6 月 24 日为星期六。【选 D】12【小结】周期时间问题：1.周期余数问题：T 为周期，若

20、 N/T=an，则第 N 项等于第 n 项。2.周期下次相遇问题：（1）下一次相遇的时间为各个周期的最小公倍数。（2）每 n 天，周期为 n；每隔 n 天，周期为 n+1。（3）时间推断问题：7 的倍数天，则每一天（）出现的次数是确定的。第七节高频几何问题【知识点】高频几何问题：山东高频考点。1.公式类。132.结论类。3.技巧类。一、公式类【小结】几何公式：1.周长：（1）正方形：4a。（2）长方形：2*（a+b）。（3）圆形：2R。（4）弧长：2R*n/360，类似。2.面积：（1）正方形：a。（2）长方形：a*b。（3）三角形：ah/2。（4）圆形：R。14【知识点】公式类题型： 1.规

21、则图形。不规则图形。勾股定理。（5）扇形：R*n/360。很多人在考场上对于这个公式，一定要记住。（6）梯形：（a+b）/2*h。（7）菱形：对角线乘积/2。菱形对角线垂直，菱形面积占了正方形的一半。3.表面积：（1）正方体：6a。（2）长方体：2*（ab+bc+ac）。（3）圆柱体：2R+2Rh。圆柱体由上表面和下表面、侧面，上表面和下表面都是 R，侧面积是 2Rh，所以圆柱体表面积=2R+2Rh。（4）球体：4R。4.体积：（1）正方体：a。（2）长方体：abc。（3）柱体：Sh。（4）锥体：1/3*Sh。常考圆锥和棱锥，无论是圆锥还是棱锥，体积公式相同。（5）球体：4/3*R。【注意】1

22、.（a+b）的形式是周长的体现，a*b 是面积的体现。2.弧长、扇形、球体、椎体的公式是重点。【知识点】勾股定理：1.考点：a+b=c。2.结论：（1）结论 1：常考勾股数（需要）：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13），其中（6、8、10）、（5、12、13）这两组勾股数，周长=面积，（6、8、10）的周长和面积都是 24，（5、12、13）的周长和面积都是 30。（2）结论 2：30、60、90：短直角边是斜边的一半。长直角边是短直角边的3倍。（3）结论 3：45、45、90：是等腰直角三角形，斜边是直角边的2倍。15【拓展】若一直角三角形的周长与面积的数值相等，且两直角边长

23、之和为14，则该三角形的面积是（）。A.20B.24C.12D.6.2【】拓展.出现直角三角形，想到勾股定理，考虑勾股数（6、8、10），刚好 6+8=14，所以该三角形的面积为 6*8/2=24。【选 B】【注意】1.如果两直角边之和是 17，考虑勾股数（5、12、13）。2.如果不知道结论，设未知数解题，得到方程：a+b=c，a+b+c=1/2*a*b，a+b=14，非常复杂。【知识点】正六边形（重点）：1.正六边形六条边相等。2.每个内角是 120。3.由六个等边三角形。164.经过中心的对角线，把图形分成 6 个等边三角形，每个角都是 60，则六边形的内角为 120。多边形的内角和=1

24、80*（n-2），六边形的内角和=180*4=720。5.正 n 边形，每个内角=180*（n-2）/n。【拓展】一个正三角形和一个正六边形周长相等，六边形面积为正三角形的：A. 2倍B.1.5 倍C. 3倍D.2 倍【】拓展.出现正三角形和正六边形，正三角三条边相等，正六边形六条边相等，两者周长相等，假设三角形的边长为 2，六边形边长就是 1，六边形可切割成 6 个边长为 1 的等边三角形，三角形可切割成 4 个边长为 1 的等边三角形。正六边形面积为正三角形的 6/4=1.5 倍。【选 B】例 1（2018 国考）一艘渔船作业时发现其正右方有海上船，于是沿下图所示方向左转 30后，立即以

25、15 节（1 节=1 海里/小时）的速度逃跑，同时船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现船时与船的距离相同，问船的速度为多少节？（）17A.20B.30C.103D.153一个 30、30、120的等腰三角形，【】例 1.根据题意可知，想到直角三角形，直角三角形中，斜边长为 15，30所对的直角边是斜边的一半，即 15/2，长直角边是短直角边的3倍，即 15/2*3，所以长度为 153。【选D】例 2（2016 联考）围着边长为 50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，跑了 500 米之后，与出发点相距有多远？（18）A.5（31）米B.

26、503米C.25（2+1）米D.502米【】例 2.假设从 A 点出发，每条边为 50 米，500/50=10 条边，10 条边分成 6 条边和 4 条边，两点之间为相距的距离，两点之间的连线形成一个 30、30、120的等腰三角形，边长为 50，则短直角边为 25，则长直角边为 253，所以距离为 503。【选 B】例 3（2018 国考）将一块长 24 厘米、宽 16 厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？（）A.32C.8B.22D.4【】例 3.若要求弃去不用的面积最小，要先考虑正方形，分割出的正方形面积应尽

27、可能大，方形面积为 16*16，一个 16*8 的长方形，可以分割出两个圆，则每个内切圆的半径=8/2=4 厘米。【选 D】19【汇总】1-3：DBD二、结论类例 1（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第 1 条直线将平面分成 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块，第3 条直线将平面分成 7 块，按此规律将平面分为 46 块需要（）。A.7 条直线B.8 条直线C.9 条直线D.10 条直线【】例 1.发现一条直线可以分割成 2 个面，两条直线可以分割成 4 个面，三条直线可以分割成 7 个面，四条直线可以分割成 11 个面。前四条线一般不会

28、考查，比较简单，可以自己画出来。5 对应 16，6 对应 22，7 对应 29，8 对应 37，9 对应 46。【选 C】【注意】只需要：5 条直线 16 面，后面的可以依次推出。【拓展】用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第 1 条直线将平面分为 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块。第 3 条直线将平面分成 7 块，按此规律将平面分为 22 块需：A.7 条直线B.8 条直线C.9 条直线D.6 条直线【】拓展.5 条直线对应 16，6 条直线对应 22，对应 D 项。【选 D】20【知识点】结论类：比积累+比。【知识点】1.平面图形中，若周长一定，越接近

29、于圆，面积越大。比如把耳机线对折，无缝衔接，面积为零；如果拉出其中一根线，周长不变，面积会变大，变成圆形时，面积最大。对于四边形，（a+b）的形式代表周长，a*b 的形式代表面积，中有一个前提，一个四边形周长一定，a=b 时，a*b 最大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。a*b 一定，当 a=b 时，a+b 最小。3.四边形中，a=b 时取最值，即正方形时取最值。4.图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。反之，若体积一定，越接近于球，表面积越小。联想到袋，如果什么都不放，里面也没有空气，体积为 0，如果向里面吹气，就会鼓起来，表面积是不变的，继续吹气，体积越来越大。例

30、2（2018 河北）某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么要造一个深为 3米、容积为 48 立方米的无盖贮水池最低造价是多少元？（）A.6460B.7200C.8160/D.9600【】例 2.依题意，体积为 48，高为 3，则 S 底=48/3=16，设长为 a，宽为 b，S 底=a*b=16。注意“无盖”，已知“池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元”，则总造价=底面造价+侧面造价=16*150+（前+后+左+右）=16*150+（3a+3a+3b+3b）=16*150+6*（a+b）

31、*120，底面积一定，当 a=b=4，a+b 最小，即总造价=16*150+6*8*120=16*150+48*120，计算量比较大，采用尾数法，总造价=16*150+48*120=（16*15+48*12）*10，末两位为（0+6）*10=60，排除 B、D 项。根据倍数特性，15、12 都能被 3 整除，则总造价能被 3 整除，6460不能被 3 整除，排除 A 项。【选 C】21【注意】A*B 为一定值，当 A=B 时，A+B 最小。例 3（2018 江西）设 a、b、c、d 分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是（）A.d

32、和 aB.c 和 dC.a 和 dD.d 和 b【】例 3.依题意，图形中，表面积一定，越接近于球，体积越大，则体积最大的为球体（d），排除 A、D 项。余下 B、C 项，只看四棱台（a）和正方体（c）即可，正方体（c）更接近球，体积比较大，则体积最小的是四棱台（a），对应 C 项。【选 C】【注意】1.图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。2.假如馒头为球体，揉面粉的时候可以发现，如果揉成一个四棱台或者正方体，正方体更接近球体，边接近，越接近球体。例 4（2017 联考）如下图所示，甲和乙在面积为 54 平方米的半圆形游泳22池内游泳，他们分别从位置 A 和 B 同时出发，沿直线同时游

33、到位置 C。若甲的速度为乙的 2 倍，则原来甲、乙两人相距（）。A.92米C.93米B.15 米D.18 米【】例 4.依题意，游泳池为半圆形，面积为 54，即 S 半圆=1/2*R=54，则 S 圆=R=108，R=108，R=108。已知甲的速度是乙的 2 倍，时间相同，则甲的路程是乙的 2 倍，即 AC=2BC。AC 为直径，结论：由圆上一点和圆的直径所组成的三角形一定是直角三角形，即ABC 为直角三角形，30所对应的直角边是斜边的一半，即BAC=30。BC=R=108，AC=2R=2108，AB=3R=3*108=324=18，对应 D 项。【选 D】【注意】结论：由圆上一点和圆的直径

34、所组成的三角形一定是直角三角形。【汇总】1-4：CCCD三、技巧类23【知识点】技巧类：【知识点】相似三角形：1.判定：两个角相等，则三角形相似。2.结论：对应边成比例，面积之比=边长之比的平方。如一条边长为 1 的三角形 A 和一条边长为 10 的三角形 B 相似。如果三角形 A 的一条边为 2，则三角形 B 的一条边为 20；如果三角形 A 的一条边为 10，则三角形 B 的一条边为 100。如三角形 A 的边长为 a、b、c，三角形 B 的一条边为 a*n，对应边成比例，比例为 n 倍，三角形 B 的其余两条边分别为 b*n、c*n。三角形 A 的面积为1/2a*b*sinc，三角形 B

35、 的面积为 1/2a*b*n2*sinc，即面积之比=边长之比的平方。3.例：（1）假如三角形 A 的一条边长为 1，面积为 10，三角形 B 的一条边长为 2，求面积。首先确定边之比例=2/1=2，面积之比=边长之比的平方，即三角形 B 的面积=10*22=10*4=40。（2）如下图，在ABC 中，AB、AC 的中点分别为 E、F，说明 EFBC，AEF24相似三角形。最短路径。ABC。如果 AE=1，则 AB=2，边之比例=AE：AB=1：2。如果AEF 的面积为 10，面积之比=边长之比的平方，则ABC 的面积=10*22=10*4=40，阴影部分面积=40-10=30。（3）如下图，

36、在ABC 中，AB、AC 三等分，EFBC，MNBC，AE=1，则 BE=2，AB=3。AEFABC，先确定边长比例=AE：AB=1：3，如果AEF 的面积为 10，面积之比=边长之比的平方，则ABC 的面积=10*3=10*9=90。例 1（2017）一块三角形农田 ABC（如下图所示）被 DE、EF 两条道路分成三块。已知 BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形 ADE、三角形 CEF 和四边形BDEF 的面积之比为（）。A.1：3：3B.1：3：4C.1：4：4D.1：4：5【】例 1.依题意，E、D、F 点分别是 AC、AB、BC 的三等分点。已知 BD25=2AD，CE=

37、2AE，CF=2BF，如果 AD=1，则 BD=2，AB=3；如果 AE=1，则 CE=2，AC=3；如果 DF=1，则 CF=2，BF=3。ADECEF，边长之比=AE：CE=1：2，则面积之比=1：4。ADEABC，边长之比=1：3，面积之比=1：9。如果SABC=9，则SADE=1，SCEF=4，S 四边形 BDEF=9-1-4=4。因此，SADE：SCEF：S 四边形 BDEF=1：4：4，对应C 项。【选 C】【知识点】最短路径：1.点到点直接连（两点之间线段最短）。2.点到线做对称。设有 A、B 两点，现在要建一个 C 点站，使 C 点车站到 A、B 点距离最短，先做 A 的对称点

38、 A，AC=AC，此时 AB 最短。如果做 B 点的对称点 B，此时 AB最短。例 2（2017 江苏）某市规划建设的 4 个小区，分别位于直角梯形 ABCD 的 4个顶点处（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。欲在 CD 上选一点 S 建，使其与 4 个小区的直线距离之和为最小，则 S 与 C 的距离是（）。26A.3 千米B.4 千米C.6 千米D.9 千米【】例 2.依题意，距离之和为 SA+SB+SC+SD，已知 SD+SC=CD=12，要想距离之和最小，即 SA+SB 最短。两点之间线段最短，先做镜像，做 A 点的镜像点为 A，连接 AB，与 CD 的交于 S 点，SDA

39、SCB。已知 CD=12，S 点更靠近 D 点，则 SCSD，SC6，只有 D，当选。【选 D】例 3（2018 江苏 A）燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼之间可铺设管道的路线，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（：百米），则铺设的管道最短长度是（）。27A.1800 米B.1850 米C.1950 米D.2000 米【】例 3.依题意，一共 6 栋楼，最少需要铺 5 条管道。以 A 为起点，A到 F 为 3，A 到 C 为 4，C 到 D 为 2.5，C 到 E 为 3，D 到 B 为 6，即总长度=AF+AC+CD+CE+DB=（3+4+2.5+3

40、+6）*100=1850 米，对应 B 项。【选 B】【注意】三个点组成的三条边，一定选两条短边为最短，如在ACF 一定选AC 和 AF，如果是钝角，选钝角旁边的两条边。【拓展】（2016）近期正在装修新房，他计划将长 8 米、宽 6 米的客厅按右图所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的四边形铺设多少平方米的瓷砖？A.3B.6C.12D.24【】拓展.依题意，S 四边形=8*6*1/2*1/2*1/2=6，对应 B 项。【选 B】【注意】结论：1.连接任意四边形各边中点，里面面积变为原来的二分之一。2.连接任意三角形各边中点，里面面积变为原来的四分之一。【汇总

41、】1-3：CDB28【小结】高频几何：1.公式类：必须会，是前提。（1）规则图形直接用公式。（2）不规则图形转化为规则图形再用公式。2.结论类：（1）已知第 1、2、3 个推第 n 个：枚举归纳找规律。（2）连接各边中点：三角形则面积减少为 1/4。四边形则面积减少为 1/2。（3）圆内接三角形：直径所对是直角。直角所对弦是直径。（4）面积的比例：底相等则面积与高成正比。3.技巧类：（1）相似三角形：29对应边长比、高度比均等于相似比。面积比等于相似比的平方。（2）最短路径：平面反射：镜面对称再连线。表面：展开成平面再连线。第八节经济利润问题例 1（2018 江西）某品牌的葛粉进价为 20 元

42、，现降价 20%卖出，结果还获得进价 52%的利润。那么，该葛粉的定价是多少元？（）A.36B.37C.38D.39【】例 1.依题意，进价即成本，成本为 20 元，设定价为 x，降价是在30【知识点】经济利润： 1.利润=售价-成本。利润率=利润/成本。售价=成本*（1+利润率）重点。例 1：我花 10 块钱买了一辆法拉利，期望获利 20%，求售价。答：售价=成本*（1+利润率）=10*（1+20%）。例 2：我以 12 块钱卖出了一辆法拉利，获得了 20%的利润，求成本。答：售价为 12 元，利润率为 20%，售价=成本*（1+利润率），12=成本*（1+20%）。折扣=售价/。总价=单价

43、*数量；总利润=单个利润*数量。6.（1）高老师没钱了，去卖鞋，鞋子进价为 5 元，定价为 1000 元，不打折，售价为 1000 元，利润=1000-5=995 元，利润率=利润/成本=995/5。（2）成本为 5 元，定价为 1000 元，如果打 1 折，折扣=售价/定价，则售价为 100 元，利润=95 元，利润率=95/5。7.数量关系：利润率=利润/成本，资料分析：利润率=利润/收入。定价的基础上降价，则售价为 0.8x，利润=售价-成本=0.8x-20，利润率=利润/成本=（0.8x-20）/20=52%，扩大 10 倍，式子=8x-200=20*5.2，即 8x=200+52*2

44、，x=304/8，采用尾数法，只有 38*8 尾数为 4，对应 C 项。【选 C】【知识点】关于线段法的再拓展：1.盐=浓度*盐水，浓度=盐/盐水。2.增长量=增长率*基期量，增长率=增长量/基期量，可以用现期量代替基期量。3.总量=平均数*人数，平均数=总量/人数。4.利润=利润率*成本，利润率=利润/成本。5.温馨提示：线段法中的量是分母，混合平均数的量是人数，混合利润率的量是各部分总成本。【拓展】（2013 年山东）某共有职工 72 人，年底考核平均分数为 85 分，根据考核分数，90 分以上的职工优秀职工，已知优秀职工的平均分数为 92分，其他职工的平均分数是 80 分，问优秀职工的人

45、数是多少？（）A.12B.24C.30D.42【】拓展.平均数混合，优秀职工和其他职工混总体，混合之前写两边，左边为其他职工（平均分数为 80 分），右边为优秀职工（平均分数为 92 分），混合之后写中间（平均分数为 85 分），左边距离为=85-80=5，右边距离为=92-85=7，距离之比为 5：7，距离和量成反比，量为人数，量之比=其他职工：优秀职工=7：5，发现优秀职工是 5 的倍数，对应 C 项。【选 C】例 2（201川）某商店销售一批尾货服装，在进价基础上溢价 20%销售，销售一定数量后为尽快回收，计划将剩余的服装降价销售。商家发现如果以31进价的 70%销售的话，总销售收入与进

46、价将相同。如商家希望获得相当于进价 10%的利润，则剩余服装应在进价基础上（）。A.降价 5%B.降价 10%C.涨价 5%D.涨价 10%【】例 2.依题意，“在进价基础上溢价 20%销售”，如果进价为 100，溢价 20%，以 120 元销售，即利润率为 20%；“以进价的 70%销售”，如果进价为 100，以 70 元销售，亏了 30 元，即利润率为-30%。已知“总销售收入与进价将相同”，即总收入=总进价，利润率为 0%。（1）混合之前写两边，左边为打折总成本，利润率为-30%，右边为溢价总成本，利润率为 20%。混合之后写中间，利润率为 0%。距离之比=30：20=3：2，距离和量成

47、反比，则量之比为 2：3，即打折总成本/溢价总成本=2/3。总成本=每个成本*数量，则第一次销售数量为 3 件，第二次销售数量为 2 件。（2）已知“商家希望获得相当于进价 10%的利润”，量之比=2：3，距离之比为 3：2，右边距离=20%-10%=10%，2 份是 10%，左边距离为 3 份，3 份是 15%，10%-15%=-5%，对应 A 项。【选 A】【知识点】分段计价：1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不等。问：在不同标准下，一共需要的费用？2.计算方法：（1）按标准，分开。（2）计算后，汇总。3.例：某地出租车标准为 3 公里内 8 元，超出 3 公里，每公里 2 元，

48、高老师坐车走了 10 公里，共花费？32答：走了 10 公里，前 3 公里 8 元，后 7 公里 7*2 元，相加即可。例 3（2018 吉林甲）某市出租车采用分段计价办法：2.5 公里及以内5元，超过 2.5 公里按每公里 1.5 元计价，每次加收 1 元燃油附加费。某位乘客有22.5 元零钱，最多能走的距离是（）。A.14 公里B.13.5 公里C.12 公里D.15.5 公里【】例 3.分段计费问题。依题意，设总路程为 x，02.5 公里为 5 元，超过 2.5 公里，每公里 1.5 元，每次加收 1 元燃油附加费，列式：5+（x-2.5）*1.5+1=22.5，即（x-2.5）*1.5=16.5，x-2.5=11，解得 x=13.5，对应 B 项。【选B】例 4（2018 江西）为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过 5 吨，则按2.5 元/吨；超出 5 吨的，超出部分按 4 元/吨，每次时用水量都按整数计算，已知胡家 3 口人，熊家 4 口人。某月月底结算时，胡家69.5 元，比熊家多交了 15.5