2021-2022学年高二物理竞赛课件：粒子流密度和粒子数守恒定律

1、粒子流密度和粒子数守恒定律2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 粒子状态或者说波函数随时间变化，它在一定空间区域内的出现的几率也将随时间变化。t时刻 r 点粒子出现的几率密度为(2.4-1)几率密度随时间的变化率为(2.4-2)由薛定谔方程可得代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有连续性方程的性质。将其对空间某体积积分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左边表示单位时间内体积V中几率的增加,右边是矢量J在体积V的边界面上法向分量的面积分。故可把J解释为几率流密度矢量，Jn表示单位时间内流过S上单位面积的几率。若波函数在无限远处为零，则有(2.4-8

2、)表明整个空间内找到粒子的几率与时间无关。若波函数是归一的，则将保持其归一性不变。这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。定义质量密度质量流密度由（2.4-5）可得2.4-9质量守恒定律，单位时间内体积V内质量的改变，等于穿过V的边界S流进或流出的质量。定义电荷密度电流密度则有2.4-10电荷守恒定律，粒子的电荷总量不随时间改变。2.5 定态薛定谔方程 讨论势能函数与时间无关的情形，即U(r)不含时间，此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。说明： 几率守恒具有定域性质。当粒子在某

3、地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。2.5-1把此式带入方程2.3-10中，两边除以若等式成立，需两边等于一常量，设该常量为E，则有2.5-22.5-3可考虑用分离变量法求薛定谔方程的一种特解。设2.5-2的解为C为任意常数，此式代入2.5-1得到薛定谔方程的特解2.5-4可看出，这个波函数与时间成正弦关系，其角频率是，根据德布罗意关系，E就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。此时能量具有确定值，称这种状态为定态。该波函数称为定态波函数。在定态中，几率密度、几率流密度都与时间无关。2.5-3式

4、称为定态薛定谔方程。函数 也称为波函数，可由2.5-3式和具体条件求出,且有分别乘以2.5-2和2.5-3式两边得2.5-52.5-6算符完全相当，都称为能量算符。也称为哈密顿算符，表示为，2.5-6式可写为2.5-7本征值方程，本征值，本征函数，能量本征态 讨论定态问题就是求出体系可能的定态波函数 ，和这些态中的能量E；亦即解定态薛定谔方程，求出能量的可能值E和波函数 。表示能量算符的第n个本征值 En对应的波函数，则有含时薛定谔方程的一般解可写为式中cn是常系数2.6 一维无限深势阱一维空间中运动的粒子，其势能分布为 （如图）2.6-1U(x)x-a0a一维无限深势阱这种势称为一维无限深势阱。在阱内，体系满足定态薛定谔方程2.6-2在阱外，体系满足定态薛定谔方程2.6-3式中，。根据波函数的连续性、有限性条件，2.6-3式成立需满足2.6-4引入符号2.6-52.6-2式简化为其通解为2.6-6根据边界条件2.6-4式可得两式分别相加减可得2.6-7由于A、B不能同时为零，得到两组解2.6-82.6-9解得（n为奇数，对应第一组解 n为偶数，对