2019-2020年初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题3新人教版

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题3新人教版令，则2（1 19y =5t2 -1 1 =5 !t，.10 丿 20当时，函数取最小值，此时有，得.当时，函数取最大值此时，.所以，当时，取最小值；当时，取最大值5. 实数、满足，求的最小值.解析令，则2 2 23 1 -3y -2zy 亠2z =t ,整理得26y2 2 18z-9 y 14z2 -12z 3 -1 =0 ,因为是实数，所以Ay =4 *18z 9 2 26（14z2 12z +3t J 0 ,即 324z2 -324z 81 - 364z2312z -78 26t 0 .所以.因为是实数，所以：z

2、=4|36 40 3 26t 0 ,所以，得.当时，.所以，的小最小值为（在，时取到）.评注消去成为二元二次多项式，二次使用判别式再消去、，最后得到的范围，反过来，若，则，所以不等式有实数解（存在），所以，所以方程26y2 2 189 y 14z2 -12z 3 -t =0有实数解（存在），所以也存在.至此，是 3x2 -y2，2z2 x 3y 21的取值范围. 求函数y = x，1 x 2 x 3 x 45在上的最小值、最大值.解析y -以1 x *炉2 x 352 2二 x 5x 4 x 5x 65所以（在，即时取到），（在，即时取到）评注本题利用配方法、换元法将关于的四次函数式化为关于的

3、二次函数式，代换时注意的范围. （1）求函数的最小值和最大值；求函数的最大值.解析（1）所以，（在或4时取到），（在时取到）（2）设，则，所以所以，（在即时取到）求函数y = . 2x2 -3x 1x2 -2x 的最小值.解析易知定义域为或.因为在上递减，在上递增，所以在上递减，在上递增. 所以，所以，（在时取到）.评注 本题的函数可看成两个函数的和.而这两个函数在定义域内的单调性是一致的，利用“单调性一 致的两个函数的和仍具有相同单调性”这一性质求出各个单调区间上的最小值，再比较得出结论.求函数f x = 8x -x2 - 14x -x2 -48的最小值和最大值.解析先求定义域.由 得.当，

4、且增加时，增大，而减小，于是是随着的增加而减小，即在区间上是减函数.所以 已知实数、满足，求 的最小值和最大值.解析因为，所以223 22f x,y =x xy y w x y w 6 ,又当时，故.又因为2 2 1 2 2 1所以fx, y =x xy y x y ，又当，时，.所以评注1 本题所用的方法是不等式法先用不等式估计出的上、下界，再举例说明所得的上、下界是 可以达到的，从而这就是所要求的最大值和最小值.2式这个不等式大家经常忽略，其实我们可以利用不等式12 2 12 2玄 x y w xy w - x y来解决与之间的上、下界关系. 设是正实数，求函数的最小值. 解析先估计的下界

5、.2 1y = x 2x 1 x 21 x又当时，所以，的最小值为1.评注 在求最小（大）值，估计了下（上）界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小（大）值，否则就不一定对了例如，本题我们也可以这样估计：2f 1）y = x2 -2x 1 x 2 -3k x 丿一3 一3,但无论取什么值时，取不到-3,即-3不能作为的最小值.6.5.27 设、是实数，求的最小值.解析先将看作是的二次函数（把看作常数），进行配方后，再把余下的关于的代数式写成的二次函数, 再配方后，便可估计出下界来.31y一4x宁4yj又当，时，所以，的最小值为一1. 对实数、，求代数式的最小值. 解析因为=3s

6、21 -33381 7，当，时等号成立，故所求的最小值为. 若是实数，求的最大值. 解析由得，设，则所以，故，当时等号成立.所以，最大值为. 已知实数、满足等式，求的最大值和最小值. 解析令，则，于是有因为，所以上述关于的二次方程有实数解，从而推知即.当时，代入关于的方程得即，当时，得所以当，时，取得最小值；当，时，取得最大值.求函数的最大值和最小值. 解析由，得由=-X 72 3x 4 3 -4x故，当时等号成立.故的最小值是. 又因为故，当时等号成立.故的最大值是. 评注 本题求最大值时用了一个不等式:印 飞2鸟 2 a2 a2 32 b；. 若，求的最小值.把它们相加得,解析设，则，于是

7、3y 2x -5yx故，2 24x 36y -10 =36y36y -10当，时，等号成立.所以，的最小值为一19. 已知，求的最大值和最小值.9解析令y,于是25 -Xy =x亠4,4所以，当，即时，取最大值；当时，即时，取最小值2.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形（如图），其中，.试在上求一点，使矩形有最大面积.解析 设矩形的边，于是矩形的面积易知，且有即，所以，二次函数的图象开口向下，对称轴为，故当时，函数值是随的增加而增加，所 以，对满足的来说，当时有最大值 实数、使得对于所有满足的实数，都有，求的最大值.解析 不妨设，用代替，得，不改变它的界和，故设.令，由，可得，.若，贝

8、U a亠b亠c =a亠b亠c -200 10 -300 18 17200=9800.当，时，所以的最小值为 9800 .又W - -200 x _300 x y 17200W -200 0 -300 10 17200=14200 ,当，时，所以的最小值为14200 . 设，是整数，并且满足：(1)，1, 2,，；;求的最大值和最小值.解析设，中有个一1,个1，个2，由题设得 可得r =40 -t0,所以 s =59 -3t 0,t 0,故.x； x2 |l| - x3 - -r s 8t所以.又当，时，；当，时，所以的最小值为19,最大值为133.求函数的最大值，并求此时的值，其中表示不超过的

9、最大整数.解析设，则 这里是的小数部分,f(xx因为，所以故当，即（是整数）时，取最大值. 求的最小值.解析在直角坐标系中，设、，则所以，PA PB AB = 82 62 =10.当且仅当、三点共线时等号成立.即当且仅当、三点共线时原式取最小值.此时，如图，易知，故有,从而.故当时，的最小值为 10. 已知实数、满足，求、中的最大者的最小值；求的最小值.解析(1)不妨设.则由题设知，且于是、是一元二次方程的两实根，所以.又，时，满足题意.故、中的最大者的最小值为 4.(2)因为，所以、为全大于0或一正二负.(i)若、均大于0,则; TOC o 1-5 h z (ii )若、为一正二负，设，则、

10、均小于0.a b|：c=a_b_c=a_2_a ,由(1)知，故.当，时，等号成立.故的最小值为6. 整数，满足条件：，求的最小值.2 2X1 =Xo 2xo 1,xj =xf 2x11,解析由已知可得,- IIIX2002 =X2001 +2x2001 ?2003 =X2002 +2X2002 +1.于是X2003 = X0 +2(X0 +为 +X2 +1)1 +X2002 )+2003 ,又，则即由为整数可得是偶数，比较与的大小，可得1 2Xi + X2 + II I + X2002 + X2003 44 2004 .当,，时等号成立，所以的最小值为34. 设、是正整数，且满足Xi 亠 X

11、2 亠 X3 亠 X4 亠 X5 =XiX2X3X4X5 , 求的最大值.解析 由条件等式的对称性，不妨设，由题设，有111111 =X2X3X4X5 X1X3X4X5 X1X2X4X5 X1X2X3X5 X1X2X3X411111X4X5 X4X5 X4X5 X5 X4由此得，即.若，则，此时题设等式成为，矛盾.若，则，即.当时，容易解得，是满足条件的解，即是能达到的. 所以，的最大值是 5. 实数、使得关于、的方程组xy-x2=1,xy2 亠 ax2 亠 bx 亠 a =0 有实数解.求证:,求的最小值.解析(1)由方程知，且，所以，当时，当时，故.(2)将代入方程，得 所以.因方程组有实

12、数解，所以方程在或的范围内至少有一个实根.(i )当，有，或.即，或.若，即时，由此得，所以当时，上述不等式等号成立，此时. 若，即时，对于满足或的任意实数，均有.(ii )当时，则.综上，的最小值为.X,当X是无理数时 设函数定义为 f x = P 1 p,当x, p,q =1,0 ：: p ：q.q q求在区间上的最大值.解析因为，即.由定义知下面证明若，且是无理数，则 若，且是有理数，设，其中，由于，所以故，所以，因此综上所述，在区间上的最大值为.关于、的方程组有实数解(,)，求正实数的最小值.解析由第一个方程得，进而由第二个方程得xy =6 -z 3x 2y =6 - z a -z由得

13、即.由此可见，开口向上的抛物线经过不在轴上方的点(，),从而该抛物线与轴有公共点.A 2所以，11a 1 -23 144 -a2 0 ,即，(因为).4又当时，所以，的最小值为. 设、是正整数，关于的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值.解析 设方程的两实数根为、，由韦达定理知，、均为负数.由，得，所以b2 4ac = 4 - c2 4 9 136 ,c得，故.又 b = -X1 -冷:：1 -=2，所以，故.a333(1)当时，由，及知，或 12,.但方程有根，不合题意；方程的两根为、，也不合题意.（2）当时，由，及知，11, 12, 13, 14, 15, 16,故由得，易知（

14、11, 12,，16）为增函数，而，故只能为16 .此时而的两根为满足题意.（3）当时，所以，于是若，只能，此时方程的两根为，不合题意，故此时.综上所述，的最小值为25. 求满足下述条件的最小正实数：对任意不小于的4个互不相同的实数、，都存在、的一个排列、，使得方程2 2x px q x rx s =0有4个互不相同的实数根.解析所求最小正实数.一方面，若，取、，使得，则对（，）的任意排列（，,）,方程的判别式2.: = p -4q ： 4k -4q X2 厂X2 X3 亠xx所以.又当，时，“ 100 100 100 100 1001. 3333 J 3所以，的最小值为.评注 欲求的最小值，

15、先估计的下界，即找到一个常数，使，然后再具体构造一个实例：,分别等于什么时，这样的最小值就是. 已知、是正数，满足用表示，中的最大者，求的最小值. 解析显然，1M - a b c a b d a c d b cd 4 v另一方面，当时，所以的最小值为 3.评注 本题利用了这样一个事实：个正数的最大值不小于它们的算术平均. 幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第 2层至第33层中的某一层停一次对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有 32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小 ？最小值是多少?（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解析易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上，设住层的人乘电梯，而住层的人直接上楼，交换两人的上楼方式