2019-2020年高二数学9.4直线和平面垂直(第四课时)大纲人教版

1、与平面内的直线 a是相交直线，而后两个图中的斜线PO与平面内的直线a则是异面直线.（打出投影片944 A）2019-2020年高二数学9.4直线和平面垂直（第四课时）大纲人教版教学目标（一）教学知识点 1三垂线定理.2三垂线定理的逆定理（二）能力训练要求1等价转化思想的训练.2进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力（三）德育渗透目标通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习，渗透相对论观点教学重点三垂线定理教学难点 三垂线定理的证明，实际问题的求解教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程、实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径、解决问题的思路 教具准备投影片一张（记作944 A）教学过程I

2、 引入新课师请同学们结合图形用数学语言描述上节课的最小角定理的内容生PA为平面a的垂线，PO为平面a的斜线，AO为斜线PO在平面a内的射影 a为平面a内过点O的直线，B为a上异于点O的一点，则/ POA为斜线PO与平面 a所成的角./ POA / POB.师若AO丄a，此时a与PO的关系如何？若PO丄a,此时a与AO的关系如何？n 新课学习6.三垂线定理师阅读三垂线定理的文字表述，并写出已知、求证和证明过程（学生基本能准确写出已知、求证过程，教师提醒：欲证线线垂直常常通过线面垂直实现转化）已知：PA PO分别是平面a的垂线、斜线，AO是PO在平面a内的射影，且aa,a丄AO 求证：a丄PO.证

3、明：PA丄aa丄 PO.AO丄a 厂a丄面PAO PAA AO=APO 面 PAO教师强调：三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.如下图所示，第一个图中的斜线 PO师三垂线定理的逆命题是什么？是真命题吗?（大部分学生能够准确写出其逆命题，并用符号语言写出已知、求证及证明过程，教师巡视，进行个别辅导，并说明：将三垂线定理的逆命题称为三垂线定理的逆定理）生已知：PA、PO分别是平面a的垂线、斜线，AO是PO在平面a内的射影，且a a ,a PO,求证：a丄 AO.证明:PA丄aPO丄aPAA PO=Pa丄面PAOAO 面 PAO

4、a丄 AO.教师强调：三垂线定理及其逆定理涉及四线PA、PO、AO、a,注意其中PO、FA、a三线间的关系涉及的四线中三个垂直关系有：垂线PA与平面a的垂直；射影 AO与直线a的垂直；斜线PO与直线a的垂直.注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性利用定理的关键要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”及“斜线的 射影”.下列例题就是定理的具体运用 .例1 求证：如果一个角所在平面外一点到这个角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上已知：/ BAC在平面a内，点P aa ,垂足分另是 E、F、O,PE=PF.求证：/ BAO= / CAO.证明

5、:PE _ ABPF _ ACPE 二 PFQE 丄 ABOF _ AC二 OE =OF学生应仔细体会该题是如何运用等价转化思想，并且能感悟分析、解决问题的途径及方法.例2 一条河有一段笔直的河岸，从南岸可以望到北岸的电视塔CD,测量者在南岸，工具有皮尺和测角仪（可测水平角及仰、俯角），不过河怎样测出电视塔顶端 C到南岸的距离？ 分析：设AC为所求距离，将符合题意的图作出.在Rt ADC中，只能测出/ CAD,但不能直接量出任何边长.北在南岸上任取一个不同于点A的点B，可作AB丄AD.为此应用Rt ABD中的AB边可量出及测出水平角/ B，求得AD的长通过AD求AC. 解：在南岸上取一点 A和

6、另一点B，作/ DAB =90，Z ABD=45，则AB丄AC （三垂线定 理），即AC为所求距离，量得AB=a m，/ CAD= 0 .于是有 AD=AB=a m，AC= m.川课堂练习课本卩271,2.1.正方体ABCD Ai B1C1D1中，对角线A与面对角线BD垂直，你能说出这个结论的理由吗?A（问题的解决应从线线垂直想起，要证AC1丄BD,因为CC1丄面ABCD,依三垂线定理知BD丄AC）2.已知点O是厶ABC三条高的交点,PO丄面ABC,连结A、O,并延长AO与BC相交，试说明PA丄BC.P（问题的解决还在于构造图形 ，使之符合定理的情境.连结AO并延长使之交BC于点D,那 么依题

7、知 AD丄BC.又PO丄面ABC,依定理知 BC丄PA,即FAX BC）IV .课时小结1定理中的“平面内”几个字含义深刻，解决问题过程中仔细体会其重要性2定理证明也好，问题解决也好，都体现了等价转化思想V 课后作业（一）课本 P2912,13.如图,一块正方体木料的上底面上有一点P,要经过点E在一底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？C1C（这是一个典型的立体几何问题转化为平面几何问题的范例，转化的桥梁是平面，依据是三垂线定理，关键是找到面的垂线TCC1丄面A1C1,故过点P在面A1C1内作PC1的垂线即可）平面a内有一正六边形，它的中心是 0,边长是2 cm,0H丄a ,0H=4 cm,求点H到这个 正六边形顶点和边的距离解：连结0A,过点0作0D丄AB于点D,连结HD / 0H丄面ABC,故 AB丄HD （三垂线定理）那么HA就是点H到顶点的距离,HD就是点H到边的距离H又T 0A=2 cm,0D= x 2= （cm）,贝 U HA= （cm）,HD= （cm）,即点H到正六边形顶点的距离 HA=2 cm,点H到正六边形边的距离为 HD= cm.（这是有关距离、点与点的距离、点与线的距离问题问题解决可分两步：一是找；二是求.找的过程实际上是证明过程 ，求的过程实质上是在解 直角三角形）（二）1.预习内容P29P30.9