工程数学概率 第二章(一)

1、第二章随机变量及其分布(一) 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布第一讲为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 要将随机试验的结果数量化。随机变量 对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。例1、掷一枚硬币，X = X(e) =1, e = H0, e = T例3.测量某灯泡的寿命,令例2、在n 张已编号的考签中任抽一张，观察号码，X = “抽到考签的号码”定义：设E是随机试验，它的样本空间为则称实值单值函数 X=X(e) 为随机变量。由于X的取值根据试验结果而定

2、，而试验各结果出现有一定的概率，所以X 取各值也有一定的概率。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。 随机变量的分类：随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它 随机变量函数和普通函数的区别：1. 定义域不同机动 目录 上页 下页 返回 结束 离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称X 是离散型随机变量。定义2.设离散

3、型随机变量的所有可能取值为,其中事件的概率：一、离散型随机变量的定义eg: 抛骰子，X=1,2,3,4,5,6;火车站候车人数，X=0,1,2, 称为X的概率分布或分布律。机动 目录 上页 下页 返回 结束 分布律也可用如下表格的形式表示：性质：例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X取球次数，求(1)无放回，(2)有放回情况下X的分布律。解:(1)1234机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则

4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 将带入可得的分布律为34页例2：几何分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 . (01)分布定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(01)分布。二、常用的离散型随机变量及其分布（0 1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.伯努利概型 n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利

5、概型。.二项分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 n重伯努利试验中, X 事件A发生的次数所以注：定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中记为2、二项分布的二项分布,特别,当时,二项分布为这就是（01）分布，常记为某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率解：X0 1 2 30例1、例2、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中随机抽取10件，每次取一件，X10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)无放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1)A 取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,

6、5(3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。 对于固定n 及 p，当k 增加时, 概率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到最大值 , 随后单调减少.当(n+1) p 不为整数时，二项概率P ( X = k ) 在 k =(n+1) p达到最大值；n=10, p = 0.7kPk3、二项分布的图形特点:当(n+1) p 为整数时，二项概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p-1处达到最大值.n=13, p = 0.5Pkk0例3.某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖

7、的概率为0.01，共买800次，求他至少中奖两次的概率。解: 把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为 ，则即由于直接计算比较麻烦, 给出近似计算公式适用条件:泊松定理设 是一常数 ,是正整数 ,若则对任一固定的非负整数 ,有(二项分布的泊松近似).泊松分布若随机变量 X 的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中 是常数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 n 很大，p 很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数 = n p 的泊松分布二项分布就可近似看成是机动 目录 上页 下页 返回 结束 泊松分布的图形特点：机动 目录 上页 下页 返回 结束 近数十年来，泊松分布日

8、益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数 生物存活的个数 放射的粒子数机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业5机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念二、分布函数的性质第三讲三、离散型分布函数的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 为X 的分布函数。设 X 是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数表示 X 落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1

9、)(2)同理，还可以写出机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、分布函数的性质 单调不减性： 右连续性： ，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解:例1. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数当 时, 当 时, 当 时, 所以，例2、 向0,1区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标.特别,令解：长度成正比，求 X的分布函数.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间当 时,当 时,当 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第四讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续型随机变

10、量的定义定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负，使对任意实数则称 X为连续型随机变量，称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。函数1. 概率密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 概率密度的性质 非负性 由于(3) f (x)在点x 处连续，则f (x)的意义：随机变量 X在点x 处的密集程度。3、连续性随机变量的特点(1)(2)(3) F(x)连续。f (x)x例1、设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，例2、求常数 a,b,及概率密度函数 f (x)。例3、，求A , B 及 f (x)。 二、常用的连续型随机变量定义、 若 连续型随机变量 X 的概率

11、密度为：则称 X 服从 a, b上的均匀分布，X U a, b1、均匀分布记作：分布函数为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间上的均匀分布，则随机变量 X 在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。均匀分布的概率背景机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1、 设随机变量X 服从1，6上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、 指数分布定义、若随机变量X 的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的分布函数：机动 目录

12、上页 下页 返回 结束 例2 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X 服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解Y是离散型，其中现在 X 的概率密度为3、正态分布定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为则称X 服从参数为的正态分布或高斯分布，f (x)的图形：特点：(52页）(1) f (x)关于(2) f (x)在(3)定义2、称 X 服从标准正态分布，性质：思考：怎样证明定理： 若，则证明：求的分布函数若例1、解：= 0.8413.= 0.0668.例2.某电子元件的寿命服从求:1) 电子元件寿命在250个小时以上的概率2) 求 k , 使元件寿命在 之间的概率为0.9解:设 X = “电子元件的寿命”2) 由题意,查表，机动 目录 上页 下页 返回 结束 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN (170,62),问车门高度应如何确定? 解 设车门高度为h cm,按设计要求即0.99故