半平面双材料角界面应力奇异性分布规律的探究

1、半平面双材料角界面应力奇异性分布规律的探究论文导读:：本文对半平面双材料角受集中力问题的界面应力场作了深入的探究，特别着重于双材料角端点附近的界面应力的奇异性分布规律。论文关键词：双材料角，应力奇异性，界面应力，应力强度因子0 引言自上世纪八十年代以来，对于双材料角的初始脱粘判据的研究，主要是按照断裂力学【1】的思路进行的，即采用双材料角应力强度因子作为界面强度参数。迄今的研究说明，用双材料角应力强度因子只能建立固定楔角的双材料角的初始脱粘判据，不能用来建立适用于不同楔角的双材料角的初始脱粘的一般判据。为了探索建立不同楔角的双材料角的初始脱粘的一般判据的途径，有必要对双材料角端点附近的界面应力

2、的奇异性分布作深入的研究，藉以求得对双材料角应力奇异性的内禀特性的充分了解。Williams 【2】发现在双材料界面的自由边界处存在应力奇异性，而奇异性应力可以用下式表示：?其中 表示界面应力，为场点至界面端点的距离，称为应力强度因子，而 那么是应力奇异性指数。Bogy ，Hein 【5】采用Airy应力函数和Mellin变换，求解了双材料角的平面特征值问题，得到的奇异性指数不是常数，而是与Dundurs常数及双材料角的二个楔角有关的函数，即(2)式中Dundurs常数是二种材料的四个弹性常数的组合【6】(3)(4)式中为剪切模量,为Poisson比，下标1，2标注二种不同材料。由于，Dund

3、urs常数只能在()坐标平面上的以(1, 0)，(1, 0.5)，(-1, 0)和-1, -0.5)为顶点的平行四边形内取值。双材料角的奇异性指数一般以复数的形式来表示：。根据和的值，双材料角可分为三种情形：(1) 无奇异性 (),(2) 奇异性 (),(3) 振荡奇异性 ().在许多新型材料和结构中常常会遇到双材料角，例如：复合材料，焊接结构，倒装芯片的封装等。由于双材料角的奇异应力场可能导致界面的脱粘，所以是否会发生双材料角初始脱粘的判定格外重要。从Gradin 【7】, Akisanya, Reedy , Labossiere 和Nied 等文献中，可以看到采用双材料角应力强度因子作为界

4、面强度参数，来建立固定楔角的双材料角奇异性初始脱粘判据的研究进展。Mohammed 试图采用内聚力模型来建立适用于不同楔角的双材料角的初始脱粘的一般判据，他们得到的是预测失效载荷的一个由特别的设计参数表示的经验公式，不能称之为一般判据。所以，适用于不同楔角的双材料角的初始脱粘的一般判据至今尚未建立起来。Sinclair 对双材料角的应力奇异性的研究和进展作了全面的综述。他指出如果要把应力分析方法应用于建立双材料角奇异性初始脱粘的一般判据，可以有如下的二个选择。其一是尝试除去应力奇异性以获得物理灵敏性的应力physically sensitive stress。其二是对应力奇异性赋以准确的物理意

5、义的说明。至于怎样做到这二个选项的要求，文中没有论述。Dai 对半平面双材料角受集中力问题 的严格解和渐近解的界面奇异应力场进行了研究，得到的结果是：如果应力奇异性指数较高，双材料角初始脱粘可能发生在双材料角的端点处，如果应力奇异性指数较低，那么双材料角初始脱粘将不发生在双材料角的端点处，而是发生在离端点较远的界面应力的极大值处。这个结果得到了实验的证实。对双材料角界面应力场奇异性的内禀特性的充分了解是建立双材料角奇异性初始脱粘一般判据的理论根底。虽然渐近解给出应力强度因子，并能表示界面应力奇异性分布的主要特点，但它只是奇异性界面应力的渐近表达。所以要获得关于奇异性界面应力场的透彻的了解，同时

6、考察严格解和渐近解是必要的。渐近解以应力强度因子表示应力奇异性，严格解以应力分量表示应力奇异性。要了解双材料角界面应力场奇异性的内禀特性，除了考察严格解和渐近解之外，没有别的途径。本文对半平面双材料角受集中力问题的界面应力的严格解和渐近解作了深入的探究，特别着重于双材料角端点附近的界面应力的奇异性分布规律。通过对严格解和渐近解的比拟，探求对半平面双材料角应力奇异性的内禀特性的透彻了解。这是探索建立不同楔角的双材料角初始脱粘的一般判据的可行途径。1半平面双材料角受集中力问题半平面双材料角受集中力的弹性力学边值问题如图1所示。取极坐标()，坐标原点与双材料角的界面端点重合，面为界面。集中力作用在边

7、界上，作用点离双材料角的端点的距离为。Bogy 采用Airy应力函数和Mellin变换，求得了半平面双材料角受集中力的弹性力学边值问题的严格解和渐近解。1.1 界面剪应力与正应力的严格解令tij (r, q)表示极坐标中的应力分量，表示无量纲坐标:。无量纲界面剪应力和界面应力分别记作和。Bogy给出和 的严格解rigorous solution的积分表达式如下：(5) (6) 其中 (7) (8),(9)图 1 二个1/4平面粘合的双材料角受集中力Fig. 1Scheme of edge-bonded quarter-planes under concentrated normal force

8、由于严格解中包含有由Mellin反变换所带来的积分图 3 界面剪应力Fig. 3 Interfacial shear stress图 4 界面正应力Fig. 4 Interfacial normal stress在奇点附近，和的数值非常小，B4到B6的和列出在本文附录的附表A中。由附表A可以看到，在奇点附近的变化有正负相间，向奇点衰减的振荡现象；在每一次正负变号的地方，一定有一个的零点。的零点也就是严格解和渐近解的交点。在某一个零点的外面，衰减的振荡现象突然消失。由附表A可见，Dt 的零点不是唯一的，但是衰减的振荡现象在此突然消失的零点却是唯一的。这个唯一的零点，具有特殊的意义，定名为转换点T

9、ransition point。转换点是衰减的振荡应力的起始点，其坐标用表示。双材料角B1到B6的界面剪应力的转换点的位置在图5中用标出。图5的坐标轴采用对数形式，图中，实线是严格解，虚线是渐近解。图 5 界面剪应力曲线上的转换点 ()Fig. 5 Transition point of interfacial shear stress ()图 6 界面正应力曲线上的转换点()Fig. 6Transition point of interfacial normal stress ()需要强调说明的一点是：转换点图7, 双材料角 B4-B6的Dt 曲线图 7 渐近段内双材料角的严格解与渐近解之差

10、Fig. 7Difference Dt of bimaterial corners B4 to B6界面剪应力曲线上的转换点的剪应力和正应力分别记作和，的最大幅值记作，转换点的坐标记作。双材料角B1到B6的，和的数值列于表2。作为比拟，界面剪应力的极大值在的附近也在表2中给出。从表2看到：(Dt)max 与相比，是一个可以忽略的小的数值。此外，值得注意的一点是：随着的提高而提高，而对的影响较小。从表2看到：B1到B3的大于，伴随着奇异性指数的增大，B4到B6?的大于cssci期刊目录。有与 类似的情况，见表3。界面正应力曲线上的转换点的剪应力和正应力分别记作和，的最大幅值记作。从表2和表3看到

11、，B1到B6的界面正应力的转换点分别在对应的界面剪应力的转换点的靠近端点的一侧。表2 双材料角B1到B6的剪应力曲线上的转换点 双材料角 ? ? B1 0.1468 0.0015 0.0884 -0.3189 0.00071 0.2169 B2 0.1940 0.00275 0.1348 -0.4205 0.00144 0.2293 B3 0.2436 0.00425 0.1981 -0.5465 0.00249 0.2426 B4 0.2952 0.00558 0.2911 -0.7180 0.00381 0.2570 B5 0.3489 0.00727 0.4182 -0.9338 0.0

12、0540 0.2716 B6 0.3839 0.00869 0.5601 -1.1601 0.00683 0.2877 Asymptoticpoints on interfacial shear stress of B1 to B6table2表3 双材料角B1到B6的正应力曲线上的转换点 双材料角 ? ? ? B1 0.1468 0.000144 0.1252 -0.4431 0.000201 0.2336 B2 0.1940 0.000324 0.2054 -0.6235 0.000501 0.2355 B3 0.2436 0.000589 0.3230 -0.8623 0.001053

13、0.2353 B4 0.2952 0.000942 0.4953 -1.1829 0.001817 0.2327 B5 0.3489 0.001367 0.7536 -1.6291 0.002812 0.2268 B6 0.3839 0.001759 1.0568 -2.1220 0.003736 0.2190 Asymptoticpoints on interfacial normal stress of B1 to B6table34 渐近段的渐近表达式界面剪应力的转换点是向端点作微幅震荡衰减的的起始点，当自转换点减小到零，渐近解是以的微幅震荡衰减的方式来和严格解趋近的。所以，自奇点到转换

14、点，这一段可以称为渐近段。在自奇点到转换点的渐近段内，式19成立，并可改写成(21)由式21可见，自渐近段内，严格解等于渐近解与之和。由于在整个渐近段范围内，与相比，只是一个小量。假设允许有的误差，那么在渐近段内严格解可以用渐近解来近似，并表示如下， (22)式22称为渐近段的渐近表达式。在的零点位置上，公式左端取等号，在其它位置上，公式左端取近似号。由于震荡衰减应力在趋近端点时趋于消失，所以式22的准确性也逐渐提高。转换点也是渐近解显著偏离严格解的起始点，当大于，只有严格解是正确的，界面剪应力的分布只能由严格解确定。自转换点到无穷远，是界面剪应力曲线的根本段。对于界面正应力，有相似的结果，即

15、(23), (24)5 渐近段界面剪应力奇异分布的特点根本段内的界面剪应力是由严格解确定的，而渐近段内的界面剪应力虽然也是由严格解确定的，但它还可以用渐近表达式表征。这充分说明渐近段的特殊性。渐近段的特殊性，植根于应力奇异性。渐近段界面剪应力的分布由渐近表达式22表征。渐近表达式中的参变数只有二个，即奇异性指数和应力强度因子。仅依赖于由结构决定的参数和，与外力的作用无关，可称为结构参量。的值由外力决定，是力学参量。在渐近表达式中，决定界面剪应力按的规律分布，和的乘积确定渐近段内界面剪应力的渐近值。无论外力如何改变，它只影响的数值，界面剪应力也随着按比例变化，却不会改变渐近段界面剪应力按的分布规

16、律。这种界面剪应力奇异分布的规律从奇点开始，一直保持到转换点，其影响范围普及渐近段，反映了应力奇异性的存在。渐近段界面剪应力的规律具有深刻的内涵。界面端点是界面剪应力的一个奇点，界面端点处，界面剪应力趋于无限大。在转换点，界面剪应力急剧降至。在端点至转换点的范围内，有了任何一点的坐标值和相应的界面剪应力值，就可以根据渐近表达式推算出应力强度因子。当然，也可以推算出任意另外一点的界面剪应力值，包括端点和渐近点。这说明渐近段内的任意一点及其界面剪应力，就可以确定出整个渐近段的界面剪应力。渐近段内不同点的界面剪应力，不管是无限大还是有限大，不管是较大还是较小，它们都对应于同一个应力强度因子，而是用作

17、控制界面端点处初始脱粘是否发生的力学参量 【7】。由此可见，渐近段内不同点的界面剪应力不能再用作控制界面端点处初始脱粘是否发生的力学参量。换言之，渐近段内的界面剪应力不具有物理灵敏性。这种情形使得我们没有方法以一般的应力场来看待渐近段的奇异应力场。6 渐近段界面剪应力的非奇异分布渐近段界面剪应力奇异分布的规律是应力奇异性造成的。我们不能以一般的应力场来看待渐近段奇异分布的界面剪应力。那么，渐近段内能否找到按非奇异分布的界面剪应力呢？这里，非奇异分布的界面剪应力是指未受奇异性干扰，不按规律分布的界面剪应力。根本段的界面剪应力是一般的应力场，具有物理灵敏性，是非奇异分布的界面剪应力，可以用作控制界

18、面初始脱粘是否发生的力学参量。转换点是渐近段和根本段的连接处，是根本段的非奇异分布和渐近段的奇异分布的过渡点。因此，转换点可以作为考察渐近段内的界面剪应力的非奇异分布的出发点。在还没有关于渐近段内的界面剪应力的非奇异分布的可靠分析前，我们可以作如下的定性估计。由于转换点的位置非常靠近自由边界，其间的距离通常以微米度量，将根本段的界面剪应力自转换点外插到界面端点，可以作为渐近段内非奇异分布界面剪应力的近似。由此可以得到界面端点处的非奇异分布的界面剪应力的近似值。以B1到B6为例，用外插法得到的界面端点处的非奇异分布的界面剪应力既不是零，也不是无限大物理论文，而是一个与转换点界面剪应力相近的有限值

19、。那么，为什么在半平面双材料角B1到B6的弹性力学严格解中，我们看不到这种渐近段的非奇异分布的界面剪应力呢？这是因为对于B1到B6，如果界面端点处的非奇异分布的界面剪应力是有限值，就会在端点产生应力奇异性。7 半平面双材料角端点存在应力奇异性的条件考虑到有的半平面双材料角在端点出现应力奇异性，如B1到B6，而另外的半平面双材料角的端点处不出现应力奇异性，如B7。由此可见，半平面双材料角界面端点本身并非一定是界面应力的奇点，要使得端点变成界面应力的奇点，必有别的附加条件。半平面双材料角B7与B1到B6的些微差异表现在端点的非奇异分布的界面剪应力上。B7的端点的非奇异分布的界面剪应力为零见图3，而

20、B1到B6的端点的非奇异分布的界面剪应力是一个与转换点界面剪应力相差不大的有限值近似插值，见节7。根据剪应力互等定理，由于在自由边界的端点处，给定的剪应力为零，所以要求端点处的界面上的剪应力也必须是零。B1到B6的端点的非奇异分布的界面剪应力等于有限值，而在自由边界的端点处，给定的剪应力为零，这使得剪应力互等定理在界面端点得不到满足。于是B1到B6的端点成为边界条件的一个奇点，端点处的应力奇异性由此产生。结果是：在存在边界条件奇点的严格解中，出现渐近段内界面剪应力按规律的奇异分布。对于双材料角B7，端点处没有剪应力互等定理的矛盾，所以不是边界条件的奇点。半平面双材料角端点存在应力奇异性的条件归

21、结为：1应力奇异性指数，2在界面端点处，给定的边界剪应力为零，3在界面端点处，非奇异分布的界面剪应力是有限值。应力奇异性指数是半平面双材料角应力奇异性的必要条件，剪应力互等定理在界面端点无法满足是半平面双材料角应力奇异性的充分条件。8 界面应力强度因子与转换点剪应力的关系式渐近段内的奇异性界面剪应力不具有物理灵敏性，可是，转换点是个例外。转换点是根本段的非奇异分布和渐近段的奇异分布的过渡点。所以转换点的界面剪应力是具有物理灵敏性的。把转换点代入渐近段的渐近表达式由于转换点是严格解曲线和渐近解曲线的一个交点，公式25是准确的，没有因略去而造成的误差。公式25具有特殊的意义。由于转换点也属于根本段

22、，所以是根本段的非奇异分布的界面剪应力。公式25把表征渐近段奇异分布的应力强度因子，与转换点的非奇异分布界面剪应力之间建立了变换的数量关系。因为可以用作双材料角界面奇异性初始脱粘的强度参量【7】，由式25可知，将是与等效的强度参量。由此可见，在双材料角界面奇异性初始脱粘判据的研究中，式25将起到重要的作用。的量纲是，的量纲随而变，这是双材料角界面奇异性初始脱粘判据研究中多年来难以克服的困难。的量纲是，的量纲是确定不变的。关系式25的意义在于它提供了解决双材料角初始脱粘判据的的量纲问题的途径。为此，需要进一步研究的问题是：对任意楔角的双材料角建立界面剪应力强度因子与转换点界面剪应力的关系式。对半

23、平面双材料角的界面正应力，有相同的结果26式中是转换点处的界面正应力。9 结论要深入研究双材料角端点附近的界面应力的奇异性分布规律，需要用到严格解和渐近解。Bogy 求解了半平面双材料角受集中力问题，得到的界面应力的严格解和渐近解，是本文研究的根底。通过对半平面双材料角受集中力问题的严格解和渐近解的界面应力的比拟，发现在半平面双材料角端点邻近，严格解和渐近解的差是一个向端点衰减的微幅震荡的应力分布。这个向端点衰减的微幅震荡应力的起始点，本文称之为转换点。在转换点之外，渐近解显著地偏离严格解，单调下降并趋近于零。自端点到转换点，严格解等于渐近解与微幅震荡衰减应力的叠加，称为渐近段。自转换点到无穷

24、远，界面应力由严格解确定，是界面应力的根本段。所以，转换点将界面应力曲线分成渐近段和根本段。根据渐近段的渐近表达式，本文讨论了渐近段界面剪应力奇异分布的特点。渐近段界面剪应力的规律具有深刻的内涵。渐近段内不同点的界面剪应力，不管是无限大还是有限大，不管是较大还是较小，在渐近段的范围内，它们都对应于同一个界面剪应力强度因子。界面剪应力奇异分布的规律从奇点开始，一直保持到转换点，反映了应力奇异性的影响范围普及渐近段。根据渐近段界面剪应力的非奇异分布的推论，本文讨论了半平面双材料角端点存在应力奇异性的条件。半平面双材料角存在应力奇异性的条件归结为：应力奇异性指数，界面端点处，给定的边界剪应力为零，而

25、非奇异分布的界面剪应力是有限值。剪应力互等定理在界面端点无法满足是半平面双材料角应力奇异性的充分必要条件。转换点的意义在于它是渐近段和根本段的过渡点。把转换点代入渐近段的渐近表达式，即可导出表征奇异性的界面剪应力强度因子与转换点的界面剪应力的关系式。这个关系式将有利于双材料角界面奇异性初始脱粘判据的研究和建立。最后，需要说明的一点是：本文所作的数值计算得到的数字，仅仅用于附表A和表1到表3，以及用于图3到图7，藉以从数值结果方面查明转换点的存在。而在式25的推演过程中，既没有做过数值运算，也没在公式中引入数值运算得到的数字。因此公式25具有与严格解和渐近解相同的精确度。参考文献【1】Irwin

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