2022年不等式知识点大全一

1、不等式学问点大全一考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含肯定值的不等式考试要求： （1）懂得不等式的性质及其证明（2）把握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定 理,并会简洁的应用（3）把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式（4）把握简洁不等式的解法（5）懂得不等式a - b a+b a + b 06. 不 等 式 学问要点1.不等式的基本概念ab ;ab0ab .（1）不等（等）号的定义：ab0ab ;ab0（2）不等式的分类：肯定不等式；条件不等式；冲突不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等

2、式的基本性质（1）abba（对称性）（2）ac（传递性）ab,bc（3）abacbc（加法单调性）（4）ab ,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab ,cdacbd（异向不等式相减）（6）a .b ,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法单调性）（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）1 / 5 9ab0,0cdab（异向不等式相除）cd10ab ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn nZ,且n1（平方法就）（12）ab0nanbnZ,且n1 （开方法就）3. 几个重要不等式（1）如aR ,就|a|0,a202b22|ab|2ab（当仅当a=b 时取等号）（2）如a、

3、bR,就a2b22ab 或a（3）假如 a,b 都是正数,那么aba2b.（当仅当a=b 时取等号）极值定理：如x yR,xyS xyP 就：1 假如 P 是定值 ,那么当 x=y 时, S 的值最小；2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时, P 的值最大 . 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等. a4 如 、 、cR,就abc3abc（当仅当a=b=c 时取等号）35 如ab0,就ba2（当仅当a=b 时取等号）abx6a0 时,x|a2 xa2xa或xa ;|x|a2 xa2a（7）如 a、bR ,就|a|b|ab|a|b|4. 几个闻名不等式2 / 5 （1）平均不等

4、式：假如 a,b 都是正数,那么121aba2ba22b2.（当仅当aba、b 为正数）：ab）a=b 时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（特殊地,aba2b2a22b2（当 a = b 时,a2b2a22b2a2b2c2abc2a,b,cR ,abc 时取等33幂平均不等式：a2a2.a21a 1a2.an212nn11 nn2注：例如：acbd2a2b2c2d2. 常用不等式的放缩法：1n1111111n1nn nn2n nn1nn1n121nn1n1nn1n1（2）柯西不等式：如a 1 ,1 b 1a2,a 3 ,2 b 2a 1, a na 3 b 3a 2R ,b1,b2

5、, b 3b n 2a n,b n a2R ; 就a 2 2a2a2b 1 2b2b2b2（aaaa3n13n23n当且仅当时取等号b 1b 2b 3bn（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数如定义在某区间上的函数fx,x 2对于定义域中任意两点x 1,x 2x 1x2,有fx 12x 2f x 12f x2或fx 12f x 12f x2.就称 fx为凸（或凹）函数. 5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法 . 3 / 5 6. 不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化,求根,标轴,穿线（偶重根打结）,定解 . 特例 一元一次

6、不等式 axb 解的争论；一元二次不等式 ax 2+bx+c0 a 0 解的争论 . （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f 0f 0;f 0f x g x 0g x 0g x g x （3）无理不等式：转化为有理不等式求解12f x x g x xf x x 0定义域f g x x 0 03fxgxf g x x 0 0 x2g x 0fgx2或f g x f g 0 0fx g fx g（4） . 指数不等式：转化为代数不等式afxag xa10f x g x ;af ag 0a1f x g x afxb a0,bf x lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式logaf x logag x a1f x 0;logaf x logag x 0a1f x 0g x 0g x 0f x g x f x g x （6）含肯定值不等式1应用分类争论思想去肯定值；4 / 5 3 应用化归思想等价转化|fx |gxg x g x0fxgx0 或g f x x 0gx 或fxgx|fx |gxgx0 fx,gx 不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：x1x21x