2022年不等式的证明技巧

1、轮换对称不等式的证明技巧 轮换对称不等式形式美丽,证明技巧许多,但规律难寻；本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明,只要领会添项的技巧,这类不等式完全可以程式化证明,供参考；一、凑项升幂法例1已知x,y,zR,且xyz1,4=” 成立,于是4x14y14z17 3；求证：4x1y4y14z121z1时,上述不等式的“分析：由于当x3证明：由于274x174x1,所以x13 2x5 ,同理4y132y5 ,33774z13 2z5,上述三式相加,并将xyz1代入化简即得证；7二、凑项降幂法例2证明 Cauchy 不等式a 1 2a2 2a2 na 1a2nan2in a12 ina22ai

2、n a1i,证明：设a 1a2ana,就a2 ia22aai,所以nnnn即a 1 2a2 2a2 na 1a2nan2；三、凑项去分母法例 3设x1,x2,xn是正数,且x 1x 2xn1,ix2 ii11 4x i3x i1；求证：x 1x2 12xx2 2x2 n1x n 21x2x 3xn1x nxnx 12分析：由于当x 1x 2x n1时等号成立,于是xnxx 1,由于x ix i211 4x ix i1x i证明：设xn1x i1 2；所以inx ixi211in x i 1inx i1in x i 1,即inx ixi21x i411x i1b 证明：原不等式等价于1R,且ab

3、c1,求证：a31cb31例 4设a,b,ca bcc3a2b2c2c2a2a2b23abc bcacab2当a=b=c=1时 等 号 成 立 , 此 时b2c21a bc, 所 以 ,b2c21abcbc, 同 理 ,a bc4a bc4bc2a21b caca,a2b21c abab,上述三式相加并化简得ca4c ab4b2c2bc2a2a2b21abbcca33abbcca3 21a bcca c ab 22例 5 设角 A、B、C满意cos2Acos2Bcos2C求证：1A1B1C9sin2sin2sin22sin2Asin2Bsin2C2时等号成立,于是分析：原条件等价于sin2As

4、in2Bsin2C2,当31A9sin2A3,1B9sin2B3,1C9sin2C3上述三式相加并化简得证,证明略；sin24sin24sin24四、凑项平稳系数法例 6设 z0,zxy,就x2y2z 26yzzxxy； , 将 上 述 三 式 相 加 并 化 简 得 ,5分析：当 x=y=z 时等号成立；2证 明 ： 因 为x2z2xz,y2z2yz,3x2y23 xy222x2y21z22xzyz 6xy555xzyz 6xy所以,x2y2z24z22xzyz 6xy4z xy2555555即x2y2z26yzzxxy；5注：只有式的系数凑成3 ,式中 xy 的系数才能是 26 ；5上述各

5、种凑项方法不是相对独立的,可以交替使用,但凑项的关键是在求和时能利用已知条件,并能取到等号；拼凑技巧：一、 拼凑常数降幂例 3如a3b32, , a bR ,求证：ab2；分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能,它能在“ 等” 与“ 不等” 的互化中架设桥梁,能为解题供应信息,开创捷径；此题已知与要求证的条件是ab1,为解题供应了信息,发觉应拼凑项,奇妙降次,快速促成“ 等” 与“ 不等” 的辩证转化；证明：a33 13 13 33 a3 31 13 3 , a b3 13 1333 b3 31 13 b ；3 a3 b463ab,ab2.当且仅当ab1 时,上述各式取“=” ,故原

6、不等式得证；评注： 此题借助取等号的条件,制造性地使用基本不等式,简洁明白；例 4如x3y32, , x yR ,求x2y25xy 的最大值；y3,解：3 1xx1x33 x,31yy1y3y3,31xy1x3例 52 xy25xy13 x3 x13 y3y35 13 x3 y77x33 y7；3当且仅当ab1时,上述各式取“=”,故2 xy25 xy 的最大值为7；已知a b c0,abc1,求证：a3b3c3abbcca ；证明：1a3b33 1ab,1b3c33 1b c,1c3a33 1c a ,323 a3 b3 c3abbcca ,又abbcca332 2a b c23,323 a

7、3 b3 c2abbcca3,3 a3 b3 cabbcca；当且仅当abc1时,上述各式取“=” ,故原不等式得证；二、 拼凑常数升幂例 6如a b cR ,且abc1,求证a5b5c54 3；分析：已知与要求证的不等式都是关于a b c 的轮换对称式,简单发觉等号成立的条件是a2bc1,故应拼凑a16 3,奇妙升次,快速促成“ 等” 与“ 不等” 的辩证转化；16c5：54 33证明16a516 35 ,216b516b5 ,216c5,33333216a5b5c531abc32.a5b5c3；例 7当且仅当abc1时,上述各式取“=” ,故原不等式得证；43 a3 b ；3如ab2, ,

8、 ,R ,求证：a3b32；证明：3 1 1a3 13 1a3,31 1b3 13 1b3,3ab又ab2,a3b32；当且仅当ab1时,上述各式取“=” ,故原不等式得证；2 2 2例 8 如 a b c R ,求证 a b c 1a b c；b c c a a b 2分析：留意结构特点：要求证的不等式是关于 a b c 的轮换对称式,当 a b c时,等式成立；2此时 a a,b c 22设 m b c a,解得 m 1,所以 a应拼凑帮助式 b c 为拼凑的需要而添,经此一添,2 4 b c 4解题可见眉目；证2 acb4c2a2cb4ca ,b2ac明2b2ac4ab ,c2ba4b2

9、：a4bcac2bbc4caab；ba2ccb2aac2b1abc；当且仅当 abc时,上述各式取“=” ,故原不2等式得证；三、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观看出匹配的系数,但利用“ 等” 与“ 定” 的条件,建立方程组,解地待定系数,可开创解题捷径；例 9已知x y zR ,且xyz1,求1 x49的最小值；99zxyz解： 设0,故有xyz10；x4x149149xyz11xyzxyzxyz24612；当且仅当1x,4y,同时成立xyz时上述不等式取“=” ,yz1,解得36 ,此时 1236 ,故即x1,y2,z3,代入x149的最小值为36；xyz四、 引入对偶式拼凑依据已知不等

10、式的结构,给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子,然后一起参加运算,制造运用均值不等式的条件；例 10设a a2,a na为互1不n相等的n正整数,求,证a 1a 2a 3a 1an111 n；d11112 12232n2123a 3a证明： 记b n2,构造对偶式2 1222 3n2a 1a2a 3an就b ndna 11a 21i ia 31a n12111,1 n,2 1a 12 2a 22 3a 32 na n123当且仅当iaN,in 时,等号成立；又由于a a2a 为互不相等的正整数,所以dn1111,因此nb1111；123n123n评注： 此题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式；五、 确立主元拼凑在解答多元问题时,假如不分主次来讨论,问题很难解决；假如依据详细条件和解题需要,确立主元,削减变元个数,恰当拼凑,可制造性地使用均值不等式；例 11 在ABC 中,证明cosAcosBcosC1；218分析： cosAcos cos C为轮换对称式,即A B C 的位置相同,因此可选一个变元为主元,将其它变元看作常量（固定）,削减变元个数,化生疏为熟识；证明： 当 cosA0时,原不等式明显成立；当 cosA0时,cosAcosBcosC1cosAcosBCcosBC21 cos 2AcosBCcosA1cosA1cosA1